Композиція функцій — обчислення f(g(x)) крок за кроком

Про калькулятор композиції функцій

Композиція з'єднує дві функції ланцюжком, так що результат однієї стає входом іншої. Так із простих функцій виходять складені: $\sqrt{x - 4}$ — це квадратний корінь, застосований після віднімання 4, а $(2x - 3)^2 + 1$ — піднесення до квадрата й додавання одиниці після лінійної функції. Уміння бачити ці шари необхідне для правила диференціювання складеної функції, для обернених функцій і для моделювання процесів, що відбуваються в кілька етапів.

Калькулятор підставляє одну функцію в іншу, розкриває дужки, спрощує результат і знаходить область визначення композиції, зокрема обмеження, що йдуть від внутрішньої функції. Якщо ввести значення, він також обчислить композицію в цій точці зсередини назовні, щоб було видно, як число проходить через кожну функцію.

Що таке композиція функцій?

Композиція $f$ і $g$ , що записується $(f \circ g)(x)$ і читається «f після g» або «композиція f і g», визначається як $f(g(x))$ : спершу застосовується $g$ , а потім до результату застосовується $f$ . Функція, що стоїть праворуч, діє першою, тобто проти напрямку читання.

Композиція не комутативна. Для $f(x) = x^2$ і $g(x) = x + 1$ отримуємо $f(g(x)) = (x + 1)^2$ , тоді як $g(f(x)) = x^2 + 1$ . Функцію можна скласти й із самою собою: $f \circ f$ застосовує $f$ двічі.

Як користуватися калькулятором композиції функцій

Введіть зовнішню функцію f(x) і другу функцію g(x), обидві від $x$ .
Оберіть композицію: f∘g, g∘f, f∘f або g∘g.
За бажання введіть значення $x$ , щоб обчислити композицію в цій точці.
Натисніть «Скласти композицію», щоб побачити підстановку, спрощений результат і його область визначення.
Порівняйте зі зворотним порядком, щоб побачити, як змінюється результат.

Формули

Означення

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Область визначення композиції

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f)\}

Асоціативність

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

Перевірка обернених функцій

f(f^{-1}(x)) = x

Розв'язаний приклад: f(g(x)), f = x² + 1, g = 2x − 3, при x = 2

У прикладі використано $f(x) = x^2 + 1$ і $g(x) = 2x - 3$ і складається $f \circ g$ . Кожен $x$ у $f$ замінюється всім виразом $2x - 3$ , що дає $(2x - 3)^2 + 1$ , тобто $4x^2 - 12x + 10$ після розкриття дужок.

Крім того, приклад обчислює значення при $x = 2$ . Крок за кроком $g(2) = 1$ і $f(1) = 2$ ; спрощена формула дає $16 - 24 + 10 = 2$ , те саме значення. Обидві функції — многочлени, тому область визначення — усі дійсні числа.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10

Як ми зрозуміли вашу задачу

Знайдемо (f ∘ g)(x) = f(g(x)) і обчислимо значення.

f(x) = {x}^{2}+1,\ g(x) = 2x-3

Покроковий розв'язок

Записуємо функції
$f(x) = {x}^{2}+1,\quad g(x) = 2x-3$
(f ∘ g)(x) означає f(g(x)): підставляємо g(x) замість кожного x у f
$(f \circ g)(x) = f\big(2x-3\big)$
Підставляємо
$(f \circ g)(x) = {\left(2x-3\right)}^{2}+1$
Розкриваємо дужки й зводимо подібні доданки
$(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10$
Область визначення: x має бути допустимим у g, а g(x) — допустимим у f
$\text{Область визначення } f \circ g:\ (-\infty, \infty)$
Обчислюємо зсередини назовні при x = 2: спершу g(2) = 1
$g(2) = 1$
Потім f(1) = 2
$f\big(1\big) = 2$

Використані формули

Композиція
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$

Композиція подає результат g на вхід f. Порядок важливий: у f∘g спершу застосовується g, і зазвичай вона відрізняється від g∘f. Область визначення знаходимо до спрощення, бо скорочення множників може приховати значення, недопустимі для композиції.

Перевірка

Перевірено: f(g(x)) і підсумкова формула збігаються в контрольних точках.
Перевірено: спрощена формула теж дає 2 при x = 2.

Докладне пояснення

Правильна підстановка

Найнадійніше складати композицію, записавши зовнішню функцію з порожніми дужками замість $x$ , наприклад $f(\;) = (\;)^2 + 1$ , а потім поставивши весь внутрішній вираз у кожну пару дужок. Дужки важливі: замінивши $x$ у $x^2$ на $2x - 3$ , ви отримуєте $(2x - 3)^2$ , а не $2x - 3^2$ .

Після підстановки розкрийте дужки й зведіть подібні доданки. Калькулятор спершу показує неспрощену підстановку, щоб її можна було порівняти зі своїм записом, а потім спрощену форму.

Знаходження області визначення

Вхід належить області визначення $f \circ g$ , лише якщо його допускає $g$ і якщо $f$ допускає те, що видає $g$ . Для $f(x) = \sqrt{x}$ і $g(x) = x - 4$ функція $g$ приймає будь-яке число, але $f$ потребує невід'ємного входу, тому $x - 4 \geq 0$ , і область визначення дорівнює $[4, \infty)$ .

Обмеження внутрішньої функції зберігаються, навіть якщо спрощення їх приховує. При $f(x) = x^2$ і $g(x) = \sqrt{x}$ композиція спрощується до $x$ , але допустимі лише $x \geq 0$ , бо спершу має бути визначена $g$ . Тому область визначення знаходять за обома етапами, а не лише за підсумковою формулою.

Де застосовується композиція

Похідну складеної функції знаходять за правилом $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ . Розпізнати внутрішню й зовнішню функції — перший крок до його застосування. Композиція описує також переведення одиниць, послідовні зміни у відсотках і зсуви графіків: $f(x - 2)$ — це $f$ у композиції зі зсувом на дві одиниці праворуч.

Розкладання — обернена навичка: для $h(x) = \sqrt{3x + 7}$ обирають внутрішню функцію $g(x) = 3x + 7$ і зовнішню $f(x) = \sqrt{x}$ , так що $h = f \circ g$ . Часто допустимі кілька розкладань, і найкраще з них те, що полегшує наступний крок, наприклад диференціювання чи обернення. Тренуючись із калькулятором в обидва боки, ви звикнете бачити у функціях шари.

Типові помилки

Застосовувати функції в неправильному порядку; у $f(g(x))$ першою діє внутрішня функція $g$ .
Перемножувати функції замість композиції: $f(g(x))$ — це не $f(x)\,g(x)$ .
Забувати дужки під час підстановки, через що змінюються степені й знаки.
Знаходити область визначення лише за спрощеною формулою й втрачати обмеження внутрішньої функції.
Вважати, що $f \circ g = g \circ f$ ; перевіряйте обидва порядки.

Поради

Перевіряйте спрощену композицію, провівши крок за кроком обчислення для простого числа.
Перед підстановкою запишіть зовнішню функцію з порожніми дужками.
Спершу випишіть обмеження внутрішньої функції, потім зовнішньої.
Знайдіть обернену функцію калькулятором оберненої функції, а потім складіть композицію, щоб переконатися, що $f(f^{-1}(x)) = x$ .
Визначте внутрішню й зовнішню функції, перш ніж диференціювати складену функцію.

Поширені запитання

Що означає f(g(x))?

Це означає спершу застосувати g до x, а потім застосувати f до результату. Композиція записується як f∘g («f після g»), і функція праворуч завжди діє першою.

Чи збігається f∘g з g∘f?

У загальному випадку ні. Для f(x) = x² і g(x) = x + 1 маємо f(g(x)) = (x + 1)², але g(f(x)) = x² + 1. За допомогою калькулятора можна обчислити обидва порядки.

Як знайти область визначення композиції?

Візьміть входи, які допускає внутрішня функція, і залиште лише ті, виходи яких допускає зовнішня функція. Обмеження внутрішньої функції зберігаються, навіть якщо спрощена формула їх приховує.

Чи можна скласти композицію функції із самою собою?

Так. Оберіть f∘f або g∘g. Для f(x) = 2x + 1 отримуємо f(f(x)) = 4x + 3, тому f(f(3)) = 15.

Як пов'язані композиція й похідна?

За правилом диференціювання складеної функції похідна f(g(x)) дорівнює f′(g(x)), помноженому на g′(x). Розпізнати внутрішню й зовнішню функції — перший крок.

Чи обчислює калькулятор композицію в точці?

Так. Введіть значення x, і калькулятор працюватиме зсередини назовні: спершу внутрішня функція при цьому значенні, потім зовнішня функція від результату. Підстановка того самого значення в спрощену формулу має дати те саме число.

Як перевірити, що дві функції взаємно обернені?

Складіть їхню композицію в обох порядках. Якщо і f(g(x)), і g(f(x)) спрощуються до x на своїх областях визначення, функції взаємно обернені.

Спробуйте калькулятор композиції функцій

Введіть f і g та отримайте спрощену композицію, її область визначення й значення в точці.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Калькулятор композиції функцій