Калькулятори математичного аналізу: похідні, інтеграли й границі
Математичний аналіз вивчає зміну й накопичення. Похідна вимірює, як швидко змінюється величина; інтеграл додає малі частини, щоб знайти площі й сумарні величини. Ці калькулятори показують, яке правило працює на кожному кроці, і перевіряють кожен результат.
Калькулятори
Калькулятор похідних
Дивіться, яке правило диференціювання застосовується на кожному кроці — від зовнішньої операції до внутрішніх.
Калькулятор інтегралів
Невизначені й визначені інтеграли з назвою методу на кожному кроці; кожна первісна перевіряється перед виведенням.
Калькулятор визначених інтегралів
Введіть функцію й обидві межі інтегрування та отримайте точне значення визначеного інтеграла з первісною, обчисленням F(b) − F(a), а для невласних інтегралів — із границею, яка вирішує питання про збіжність.
Калькулятор границь
Введіть функцію та значення, до якого прямує x, і отримайте границю з розпізнаною невизначеністю, правилом, яке її розкриває, і чисельною перевіркою результату.
Калькулятор частинних похідних
Введіть функцію кількох змінних і змінну або послідовність змінних, за якими потрібно диференціювати, і отримайте частинну похідну з поясненням кожного правила й за бажання її значення в точці.
Калькулятор неявного диференціювання
Введіть рівняння з x та y, щоб знайти dy/dx неявним диференціюванням: із правилом складеної функції для кожного доданка з y, виразом y′ і за бажання кутовим коефіцієнтом і дотичною в точці.
Калькулятор рядів Тейлора
Введіть функцію, центр розкладу й степінь, щоб побудувати її многочлен Тейлора з кожною похідною в центрі, точними коефіцієнтами й, якщо вказати значення x, порівнянням наближення з точним значенням.
Калькулятор збіжності рядів
Введіть загальний член ряду, щоб дізнатися, збігається він чи розбігається, яка ознака це вирішує й чому, з точною сумою щоразу, коли ряд геометричний.
Теми розділу
- Диференціювання
- Похідна степеня, добутку, частки й складеної функції, похідні вищих порядків і значення в точці.
- Інтегрування
- Первісні, заміна змінної, інтегрування частинами, розклад на найпростіші дроби й визначені інтеграли.
- Границі
- Пряма підстановка, правило Лопіталя, однобічні границі й границі на нескінченності.
- Функції кількох змінних і неявне диференціювання
- Частинні похідні, мішані похідні й dy/dx з неявного рівняння.
- Ряди
- Многочлени Тейлора й Маклорена та ознаки збіжності рядів.
Як інструменти аналізу показують розв'язання
Кожна похідна розкладається на правила, з яких вона складається. Калькулятор визначає зовнішню операцію, застосовує відповідне правило й потім просувається всередину: так задача на похідну складеної функції показує зовнішню й внутрішню похідні до того, як їх перемножити. Для інтегралів зазначається використаний метод — табличний інтеграл, заміна змінної, інтегрування частинами чи розклад на найпростіші дроби, — і кожна первісна перевіряється повторним диференціюванням.
Границі за змоги обчислюються прямою підстановкою, інакше — спрощенням, за правилом Лопіталя або порівнянням зростання на нескінченності. Визначені інтеграли дають точне значення, якщо первісна існує, а інакше — чітко позначене наближене значення.
Розвиваємо інтуїцію
Аналіз дається легше, коли символи пов'язані з картинками. Похідна — це кутовий коефіцієнт дотичної, визначений інтеграл — орієнтована площа, а многочлен Тейлора — крива, що притискається до вихідної функції поблизу точки. Використовуйте побудовник графіків разом із цими інструментами, щоб побачити, що означає кожен результат, а потім перевірте, чи узгоджуються знак і порядок величини вашої відповіді з графіком.
Посібники
- Правила диференціювання з поясненнями й розібраними прикладами
Обчислювати похідні за означенням через границю виснажливо. Невеликий набір правил, кожне з яких один раз доведено з цього означення, дає змогу продиференціювати майже будь-яку формулу за кілька рядків. Цей посібник подає кожне правило, пояснює, чому воно працює, і показує, як їх поєднувати.