Калькулятор рядів Тейлора

Q: Чим ряд Тейлора відрізняється від ряду Маклорена?

Ряд Маклорена — це ряд Тейлора з центром у 0. Введіть a = 0, щоб отримати многочлен Маклорена; будь-який інший центр дає загальний многочлен Тейлора за степенями (x − a).

Q: Який степінь обрати?

Беріть степінь із вашої задачі. Інакше низькі степені від 2 до 4 показують ідею, а вищі дають більшу точність поблизу центра. Калькулятор приймає степені від 0 до 12.

Q: Чому в моєму многочлені бракує деяких степенів?

Їхні коефіцієнти дорівнюють нулю. Непарні функції на зразок sin x в околі 0 містять лише непарні степені, парні функції на зразок cos x — лише парні. Доданки з нульовим коефіцієнтом у готовому многочлені не показуються.

Q: Як ввести натуральний логарифм?

Напишіть log(x); калькулятор розуміє log як натуральний логарифм ln. Пам'ятайте, що ln x не можна розкласти в околі 0, тому використовуйте центр на зразок a = 1.

Q: Що показує значення похибки?

Це різниця між точним значенням функції та значенням многочлена у вибраній вами точці x. Мала похибка означає, що многочлен добре замінює функцію в цій точці.

Q: Чому калькулятор відхиляє деякі функції?

Многочлен Тейлора вимагає, щоб функція та її похідні існували в центрі розкладу. Якщо якась із них не визначена, як у |x| або √x у 0, калькулятор називає похідну, що спричиняє проблему, і пропонує інший центр.

Q: Чи може центр розкладу бути ірраціональним числом на зразок π/4?

Так. Введіть pi/4 або подібне значення. Коефіцієнти виводяться точно, якщо вони прості кратні сталих на зразок √2, а інакше — десятковим дробом зі знаком ≈.

Q: Многочлен Тейлора степеня 1 — це дотична?

Так. T₁(x) = f(a) + f′(a)(x − a) — це саме дотична при x = a, яку також називають лінійним наближенням або лінеаризацією f.

Q: Чим многочлен Тейлора відрізняється від ряду Тейлора?

Многочлен Тейлора обривається після скінченної кількості доданків і є наближенням. Ряд Тейлора триває нескінченно й на своєму інтервалі збіжності точно дорівнює функції. Цей калькулятор будує многочлен вибраного вами степеня.

Про калькулятор рядів Тейлора

Многочлен Тейлора замінює складну функцію простим многочленом, який дуже схожий на неї поблизу вибраної точки. Калькулятори використовують цю ідею, щоб обчислювати $\sin x$ і $e^x$ , фізики — щоразу, коли кажуть «за малих кутів $\sin\theta \approx \theta$ », а інженери з її допомогою лінеаризують системи, які інакше не піддавалися б аналізу. Це одна з найпрактичніших ідей усього математичного аналізу.

Калькулятор будує многочлен точно так, як вимагає формула. Він знову й знову диференціює вашу функцію за допомогою символьного модуля похідних, обчислює кожну похідну в центрі розкладу, ділить на відповідний факторіал і збирає доданки. Коефіцієнти залишаються точними, доки вони раціональні або є простими кратними сталих на зразок $\sqrt2$ , $\pi$ чи $e$ : ви побачите $\frac{x^3}{6}$ , а не $0.1666667x^3$ .

Якщо вказати значення x, калькулятор обчислить у ньому многочлен, порівняє його з точним значенням функції й назве похибку, щоб було видно, наскільки добре наближення. Многочлен перевіряється контролем того, що його похибка спадає так швидко, як передбачає формула Тейлора, а функції, які не можна розкласти у вибраному центрі, відхиляються з поясненням.

Що таке ряд Тейлора?

Ряд Тейлора функції $f$ в околі точки $x = a$ — це нескінченна сума $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$ . Кожен доданок будується за похідною $f$ в одній-єдиній точці $a$ . При $a = 0$ його зазвичай називають рядом Маклорена — на честь Коліна Маклорена, який часто користувався цим окремим випадком.

Якщо обірвати суму після доданка з $(x - a)^n$ , вийде многочлен Тейлора степеня $n$ , що позначається $T_n(x)$ . Це єдиний многочлен степеня не вище $n$ , значення й перші $n$ похідних якого в точці $a$ збігаються зі значенням і похідними $f$ . Що більше похідних збігається, то точніше повторюється форма кривої, тому вищі степені зазвичай дають кращі наближення поблизу центра.

Для багатьох функцій повний ряд дорівнює функції на проміжку навколо $a$ . Ряди для $e^x$ , $\sin x$ і $\cos x$ збігаються для всіх дійсних $x$ ; ряд для $\ln x$ в околі 1 збігається лише при $0 < x \le 2$ . Поза цим проміжком многочлен і далі існує, але нові доданки вже не допомагають, і наближення може сильно погіршуватися замість того, щоб покращуватися. Тому знати, де ряд збігається, так само важливо, як знати його коефіцієнти.

Як користуватися калькулятором рядів Тейлора

Запишіть функцію від x, наприклад e^x, sin(x), log(x) для натурального логарифма або sqrt(x).
Введіть центр розкладу a. Вкажіть 0 для многочлена Маклорена; підійдуть і значення на зразок 1, 4 або pi/4.
Оберіть порядок n — ціле число від 0 до 12.
За бажання введіть значення x, щоб порівняти наближення многочлена з точним значенням.
Натисніть «Знайти многочлен Тейлора», щоб побачити таблицю похідних, коефіцієнти й готовий многочлен.

Формули

Многочлен Тейлора степеня n

T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k

Залишковий член у формі Лагранжа

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}\ \text{для деякого } c \text{ між } a \text{ і } x

Показникова функція

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

Синус і косинус

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots,\quad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

Геометричний ряд

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,\quad |x| < 1

Розв'язаний приклад: eˣ в околі 0, порядок 4, при x = 1

Приклад обчислюється в реальному часі для $e^x$ в околі $a = 0$ до степеня 4 з подальшим наближенням при $x = 1$ . Усі похідні $e^x$ дорівнюють $e^x$ , і $e^0 = 1$ , тому коефіцієнти — просто $\frac{1}{k!}$ . Многочлен має вигляд $T_4(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}$ .

При $x = 1$ отримуємо $T_4(1) \approx 2.708333333$ , тоді як точне значення $e \approx 2.718281828$ , тобто похибка близько 0,00995. Наступний доданок, $\frac{1}{120}$ , приблизно дорівнює 0,0083, що пояснює величину похибки: залишок визначається першим відкинутим доданком.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

T_{4}(x) = 1+ x+\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{x}^{3}}{6}+\frac{{x}^{4}}{24}

Як ми зрозуміли вашу задачу

Знайдемо многочлен Тейлора порядку 4 для f(x) = e^x в околі точки x = 0.

f(x) = {e}^{x},\ a = 0,\ n = 4

Покроковий розв'язок

Многочлен Тейлора порядку 4 у точці x = 0 (многочлен Маклорена)
$T_{4}(x) = \sum_{k=0}^{4} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}(x - 0)^k$
Диференціюємо й обчислюємо значення в центрі розкладу
$f^{(0)}(x) = {e}^{x} \Rightarrow f^{(0)}(0) = 1 \\ f^{(1)}(x) = {e}^{x} \Rightarrow f^{(1)}(0) = 1 \\ f^{(2)}(x) = {e}^{x} \Rightarrow f^{(2)}(0) = 1$
Продовжуємо диференціювати
$f^{(3)}(x) = {e}^{x} \Rightarrow f^{(3)}(0) = 1 \\ f^{(4)}(x) = {e}^{x} \Rightarrow f^{(4)}(0) = 1$
Ділимо кожне значення на k! і складаємо многочлен
$T_{4}(x) = 1+ x+\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{x}^{3}}{6}+\frac{{x}^{4}}{24}$
Наближаємо f(1) многочленом
$T_{4}(1) \approx 2.708333333,\quad f(1) \approx 2.718281828,\quad |\text{похибка}| \approx 0.00995$

Використані формули

Многочлен Тейлора
$T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$

Кожен коефіцієнт дорівнює похідній k-th у центрі розкладу, поділеній на k!, тому многочлен збігається з f і її першими 4 похідними в точці x = 0. Поблизу центру він наближає f з похибкою порядку (x − a)^5.

Перевірка

Перевірено: похибка f(a + h) − Tₙ(a + h) спадає як h^5 (h = 0.1 → 8.47e-8, h = 0.05 → 2.63e-9).

Докладне пояснення

Звідки беруться коефіцієнти

Нехай многочлен $c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$ має збігатися з $f$ у точці $a$ . Підстановка $x = a$ знищує всі доданки, крім $c_0$ , тому $c_0 = f(a)$ . Одне диференціювання й підстановка $x = a$ залишають $c_1 = f'(a)$ . Два диференціювання залишають $2c_2 = f''(a)$ , і в загальному випадку $k!\,c_k = f^{(k)}(a)$ .

Це і є все доведення, і воно пояснює факторіали: вони компенсують сталі, що накопичуються, коли $(x - a)^k$ диференціюють $k$ разів. Калькулятор показує це таблицею $f^{(k)}(a)$ і $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ для кожного $k$ — тією самою таблицею, яку ви склали б вручну.

Закономірності найпоширеніших рядів

Для $\sin x$ в околі 0 похідні проходять цикл $\sin, \cos, -\sin, -\cos$ , який у 0 дає значення $0, 1, 0, -1$ . Усі коефіцієнти при парних степенях дорівнюють нулю, і многочлен степеня 7 дорівнює $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040}$ . Косинус, навпаки, дає парні степені: до степеня 4 він дорівнює $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ .

Для $\ln x$ в околі 1 похідна порядку $k$ дорівнює $(-1)^{k+1}(k-1)!/x^k$ , тому коефіцієнти дорівнюють $\pm\frac1k$ , а ряд має вигляд $(x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots$ . Хто впізнає ці закономірності, може виписувати багато рядів без жодної похідної й робити в них підстановки, наприклад замінювати $x$ у ряді $e^x$ на $-x^2$ .

Наскільки точне наближення?

Формула Тейлора обмежує похибку. Залишковий член $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ дорівнює $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ для деякого $c$ між $a$ і $x$ . Малим його роблять дві речі: близькість до центра розкладу, щоб $(x - a)^{n+1}$ було крихітним, і факторіал у знаменнику, який рано чи пізно обганяє будь-який степінь.

Приклад із коренем показує перший ефект. Многочлен степеня 3 для $\sqrt{x}$ в околі 4 дорівнює $2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64} + \frac{(x-4)^3}{512}$ . При $x = 4.1$ він дає приблизно 2,024845703 проти точного значення 2,024845673, тобто похибку близько $3\times10^{-8}$ , бо $0.1^4$ уже дуже мале.

Далеко від центра все інакше. Для $\frac{1}{1-x}$ многочлени добре наближають при $x = 0.1$ , але марні при $x = 2$ , бо ряд збігається лише при $|x| < 1$ . При $x = 2$ многочлен степеня 5 дає значення 63, тоді як функція дорівнює $-1$ : похибка 64, яка зростає з кожним новим доданком. Значення похибки в калькуляторі робить це наочним: спробуйте ту саму функцію того самого степеня в близькій і в далекій точці й порівняйте.

Вибір центра розкладу

Обирайте центр, у якому функцію та її похідні легко обчислити й який близький до місця, де потрібне наближення. Розкладати $\sqrt{x}$ в околі 4 природно, бо $\sqrt4 = 2$ точно. Розкласти $\ln x$ в околі 0 неможливо, бо там функція не визначена, а розклад $|x|$ в околі 0 не вдається, бо там вона не диференційовна; калькулятор пояснює такі випадки, а не видає безглуздий многочлен.

Многочлени Тейлора на практиці

Наближення малих кутів $\sin\theta \approx \theta$ — це просто многочлен Маклорена степеня 1 для синуса, і його похибка залишається меншою за 1 % для кутів приблизно до 14 градусів. Формула періоду коливань маятника, параксіальне наближення в оптиці й закон Гука для пружин отримують, якщо залишити лише перший або перші два доданки розкладу Тейлора.

Многочлени Тейлора роблять легкими й складні задачі. Границя на зразок $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ стає очевидною, щойно $\cos x$ замінюють на $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$ , а інтеграл без елементарної первісної, такий як $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ , можна наближено обчислити, почленно проінтегрувавши многочлен.

Типові помилки

Забувати ділити кожну похідну на $k!$ .
Писати степені $x$ замість степенів $(x - a)$ , коли центр розкладу не дорівнює нулю.
Обчислювати похідні в точці $x$ , а не в центрі розкладу $a$ .
Вважати, що більше доданків завжди покращує наближення, навіть поза інтервалом збіжності.
Плутати степінь із кількістю ненульових доданків; у $\sin x$ до степеня 7 лише чотири доданки.
Використовувати градуси в тригонометричних рядах; вони правильні лише для кутів у радіанах.

Поради

Обирайте центр розкладу поруч зі значеннями x, які вас цікавлять.
Вивчіть ряди для $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ і $\frac{1}{1-x}$ ; багато інших отримують із них підстановкою.
Для знакозмінних рядів оцінюйте похибку за першим відкинутим доданком.
Перевіряйте $T_n(a) = f(a)$ як швидкий контроль многочлена.
Використовуйте степінь 1, щоб отримати дотичну — найпростіше лінійне наближення.
Порівнюйте два степені при тому самому x; якщо результат майже не змінюється, наближення стабілізувалося.
Побудуйте графік функції та її многочлена разом, щоб точно побачити, де збіг слабшає.

Поширені запитання

Чим ряд Тейлора відрізняється від ряду Маклорена?