Ряди Тейлора: наближення функцій многочленами

Ідея: збіг похідних

Многочлени — найзручніші у використанні функції. Їх можна обчислювати самими лише додаваннями й множеннями, а диференціювати чи інтегрувати їх — рутина. Функції на зразок $e^x$, $\sin x$ і $\ln x$ вручну обчислювати значно складніше. Ідея ряду Тейлора — знайти многочлен, який поблизу вибраної точки $a$ поводиться як функція.

Пряма, що найкраще прилягає до кривої в точці, — це дотична: у цій точці вона має те саме значення й ту саму першу похідну, що й функція. Парабола може додатково мати ту саму другу похідну й тим самим повторювати кривину графіка. Кубічна функція може збігатися ще й за третьою похідною, і так далі. Кожна нова спільна похідна змушує многочлен триматися функції на дедалі більшій ділянці довкола точки. Якщо продовжувати так без кінця, вийде ряд Тейлора.

Формула ряду Тейлора

Якщо вимагати, щоб $n$-та похідна многочлена в точці $a$ дорівнювала $f^{(n)}(a)$, коефіцієнт при $(x - a)^n$ має дорівнювати $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$. Факторіал з'являється тому, що $(x - a)^n$, продиференційоване $n$ разів, дає $n!$. Повний ряд має вигляд:

При $a = 0$ ряд називають рядом Маклорена, і степені — просто $x^n$. Многочлен із членів до $(x - a)^n$ — це многочлен Тейлора степеня $n$, що позначається $P_n(x)$. Перші два члени самі по собі дають наближення дотичною, яке називають також лінеаризацією.

Будуємо ряд експоненти

Підставивши $x = 1$, отримаємо знамениту формулу для самої сталої: $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$, яка вже через дюжину членів дає 2,71828, бо факторіали зростають дуже швидко.

Розвинення, які варто знати

Ці ряди Маклорена трапляються постійно, і майже всі інші можна отримати з них підстановкою, множенням, диференціюванням чи інтегруванням:

У ряді синуса лише непарні степені, що узгоджується з тим, що синус — непарна функція, а в ряді косинуса лише парні, що відповідає його симетрії. Якщо почленно продиференціювати ряд синуса, вийде ряд косинуса — точно так, як похідна $\sin x$ і має дорівнювати $\cos x$.

Для перевірки: $\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$, а точне значення дорівнює $0.0998334$. Два члени вже дають шість правильних знаків після коми: тому калькулятори так швидко обчислюють тригонометричні функції за допомогою коротких многочленів.

Розвинення в точці, відмінній від нуля

Якщо вибрати $a$ поруч із потрібним значенням, наближення збігається значно швидше. Щоб оцінити $\sqrt{4.1}$, розвиньте $\sqrt{x}$ у точці $a = 4$, де квадратний корінь відомий одразу.

Наскільки велика похибка?

Теорема Тейлора дає похибку многочлена Тейлора. Якщо $|f^{(n+1)}| \le M$ між $a$ і $x$, то залишковий член після члена степеня $n$ задовольняє нерівність:

Для $e^{0.5}$ при $n = 3$ четверта похідна $e^t \le e^{0.5} < 2$ на цьому відрізку, тому похибка не більша за $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$. Фактична похибка, $0.0029$, вкладається в цю межу. Вона працює й у зворотний бік: каже, скільки членів потрібно, щоб гарантувати задану точність, ще до початку обчислень.

Для знакопереміжних рядів, як-от ряди синуса й косинуса, є ще простіша оцінка: похибка не перевищує першого відкинутого члена. Ідеї, що стоять за цим правилом, розібрано в статті ознаки збіжності рядів.

Де ряд збігається

Ряд Тейлора не завжди й не скрізь збігається зі своєю функцією. Геометричний ряд для $\frac{1}{1 - x}$ працює лише при $|x| < 1$; при $x = 2$ ліва частина дорівнює $-1$, а члени ряду необмежено зростають. Множина значень $x$, за яких ряд збігається, — це інтервал довкола $a$, і половина його ширини є радіусом збіжності. Зазвичай його знаходять за допомогою ознаки д'Аламбера.

Ряди для $e^x$, $\sin x$ і $\cos x$ збігаються при всіх дійсних $x$. Ряд для $\ln(1 + x)$ збігається при $-1 < x \le 1$; при $x = 1$ він дає несподіваний результат $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$, хоча й збігається дуже повільно.

Навіщо потрібні ряди Тейлора

• Обчислення функцій: калькулятори й програми використовують поліноміальні наближення, дуже схожі на многочлени Тейлора.
• Границі: замінивши $\sin x$ на $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$, бачимо, що $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$, без правила Лопіталя.
• Інтеграли без елементарної первісної: почленне інтегрування ряду для $e^{-x^2}$ дає $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$, дуже близько до точного значення $0.7468$.
• Фізика: наближення малих кутів $\sin\theta \approx \theta$ для маятника — це перший член ряду синуса.
• Формула Ейлера $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, яку отримують порівнянням трьох рядів.

Калькулятор рядів Тейлора розвиває будь-яку функцію до потрібного порядку в будь-якій точці й показує кожну похідну. Уміння диференціювати тут необхідне, тому добрим доповненням будуть правила диференціювання з поясненнями.

Порядок дій для будь-якого многочлена Тейлора

1. Виберіть точку розвинення $a$: точку поруч із місцем, де потрібні значення, у якій функцію та її похідні легко обчислити.
2. Продиференціюйте функцію стільки разів, скільки вимагає потрібний степінь, і спростіть кожну похідну.
3. Обчисліть кожну похідну в точці $a$.
4. Поділіть значення $n$-го порядку на $n!$, щоб отримати кожен коефіцієнт.
5. Запишіть многочлен за степенями $(x - a)$, а не $x$, крім випадку $a = 0$.
6. Перевірте перший коефіцієнт: $P_n(a)$ має дорівнювати $f(a)$, а кутовий коефіцієнт $P_n$ у точці $a$ — дорівнювати $f'(a)$.

Часто швидше побудувати новий ряд з відомого, ніж багаторазово диференціювати. Наприклад, замінивши в ряді $e^x$ змінну $x$ на $-x^2$, одразу отримуємо $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$, а помноживши ряд синуса на $x$, отримуємо ряд для $x\sin x$.

Наближення на графіку

Побудуйте $\cos x$ разом із його многочленами Тейлора степеня 2, 4 і 6, і проявиться чітка закономірність. Многочлен степеня 2, парабола з вітками вниз, добре повторює косинусоїду біля нуля, але приблизно через одиницю відходить від неї. Многочлен степеня 4 довше лишається поруч, а степеня 6 повторює криву майже на всій її першій хвилі. Кожен многочлен зрештою йде в нескінченність, бо жоден многочлен не може коливатися вічно, але що більше членів додано, то далі відбувається це розходження: саме це й означає збіжність ряду на практиці.

Така картинка — найкращий спосіб розвинути інтуїцію: наближення чудове поблизу точки розвинення й погіршується з віддаленням від неї. Побудовник графіків може намалювати функцію разом із кількома її многочленами Тейлора, щоб ви побачили, як вони збігаються.

Поширені запитання