Математичний аналіз вивчає зміну й накопичення. Ці посібники пояснюють границі, похідні, інтеграли й ряди на розібраних прикладах і розкривають міркування, на якому тримається кожне правило.
Кожна тема математичного аналізу спирається на попередню. Границі визначають похідну, похідні дають правила для швидкостей зміни, інтеграли обертають диференціювання й вимірюють накопичену площу, а ряди наближають функції многочленами. Посібники цього розділу йдуть цим шляхом.
Окрім правил, ви знайдете їхні обґрунтування, повністю розв'язані приклади й перевірки, що виявляють більшість помилок: продиференціювати первісну, щоб переконатися в ній, або порівняти многочлен Тейлора з функцією в близькій точці. Калькулятори похідних, інтегралів, границь і рядів показують той самий хід розв'язання крок за кроком.
Математичний аналіз винагороджує й охайний запис. Писати перед тим, що диференціюється, зберігати у кожної первісної й зазначати проміжок для кожного ряду — невеликі звички, які запобігають більшості знятих балів, і розібрані приклади відпрацьовують їх усі.
Якщо ви лише починаєте, спочатку прочитайте посібник про границі, а потім ті, що пояснюють, що таке похідна і які є правила диференціювання, і лише потім переходьте до інтегралів і рядів.
Математичний аналіз
Границя описує значення, до якого наближається функція, коли її змінна прямує до деякого числа, незалежно від того, досягає функція цього значення чи ні. Границі лежать в основі похідних, інтегралів і рядів: упевнено їх обчислювати — перша справжня навичка математичного аналізу.
Математичний аналіз
Похідна функції показує, як швидко змінюється її значення зі зміною змінної, причому в конкретний момент. Графічно це кутовий коефіцієнт дотичної; алгебраїчно — границя середніх швидкостей зміни на дедалі коротших проміжках.
Математичний аналіз
Обчислювати похідні за означенням через границю виснажливо. Невеликий набір правил, кожне з яких один раз доведено з цього означення, дає змогу продиференціювати майже будь-яку формулу за кілька рядків. Цей посібник подає кожне правило, пояснює, чому воно працює, і показує, як їх поєднувати.
Математичний аналіз
Інтеграл додає нескінченно багато крихітних частин в одну загальну величину: площу, шлях, об'єм чи будь-яку іншу накопичену величину. Основна теорема аналізу пов'язує це підсумовування з первісними, і саме це дає змогу обчислювати інтеграли на практиці.
Математичний аналіз
Невизначений інтеграл — це сім'я функцій, первісних, що записується зі сталою $+ C$. Визначений інтеграл має межі інтегрування й дає одне число: площу зі знаком або накопичену загальну величину. Основна теорема аналізу дає змогу обчислювати другий за допомогою першого.
Математичний аналіз
Диференціювання неявної функції дає dy/dx для кривих, заданих рівнянням з x та y, без попереднього вираження y. Обидві частини диференціюють за x, вважаючи y функцією від x, щоб застосувати правило складеної функції, а наприкінці виражають dy/dx.
Математичний аналіз
Ряд Тейлора записує функцію як нескінченний многочлен, побудований за її похідними в одній точці. Якщо обірвати ряд після кількох членів, вийде многочлен Тейлора — легко обчислюване наближення, похибку якого можна оцінити.
Математичний аналіз
Ряд збігається, якщо його частинні суми прямують до скінченного числа. Замість того щоб обчислювати це число, ознаки збіжності вирішують, чи воно існує, і кожна пасує до певного виду членів ряду. Головне вміння — розпізнати, яка ознака пасує до якого ряду.