Визначений чи невизначений інтеграл?

Відмінність з першого погляду

• Запис: невизначений $\int f(x)\,dx$; визначений $\int_a^b f(x)\,dx$, з нижньою межею $a$ і верхньою межею $b$.
• Результат: невизначений дає функцію плюс сталу; визначений дає число.
• Зміст: невизначений відповідає на запитання «які функції мають таку похідну?»; визначений — на запитання «скільки накопичується між $a$ і $b$?».
• Стала: невизначений потребує $+ C$; у визначеному інтегралі стала скорочується.
• Перевірка: продиференціюйте результат невизначеного інтеграла, щоб отримати підінтегральну функцію; визначений оцініть за графіком або прямокутниками.

Якщо інтеграли для вас нові, почніть зі статті що таке інтеграл, де обидві ідеї будуються з нуля.

Невизначені інтеграли: сім'ї первісних

Невизначений інтеграл функції $f$ — це множина всіх функцій, похідна яких дорівнює $f$. Оскільки додавання сталої похідну не змінює, результатом завжди буде сім'я кривих, зсунутих одна відносно одної вертикально:

Щоб вибрати одну криву із сім'ї, потрібна додаткова інформація, зазвичай відоме значення. Таку задачу називають задачею Коші, або задачею з початковою умовою.

Фізика користується цим постійно. Якщо прискорення стале й дорівнює $-9.8$ м/с², перше інтегрування дає швидкість $v(t) = -9.8t + v_0$, а друге — висоту $h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0$. Дві сталі — це початкова швидкість і початкова висота.

Визначені інтеграли: числа як границі сум

Визначений інтеграл означується як границя сум Рімана й виражає площу зі знаком між графіком і віссю абсцис від $a$ до $b$. Основна теорема аналізу дає короткий шлях до його обчислення:

Якщо взяти $F + C$ замість $F$, нічого не зміниться, адже $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. Тому сталу не пишуть.

Властивості визначених інтегралів

Суми й сталі множники, як і у випадку похідних, можна виносити за знак інтеграла. Симетрія може заощадити багато роботи: якщо $f$ непарна, тобто $f(-x) = -f(x)$, то $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$. Наприклад, $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$, бо від'ємна й додатна половини взаємно знищуються. Якщо $f$ парна, то $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$, тому $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Середнє значення $f$ на $[a, b]$ дорівнює $\frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx$. Для $x^2$ на $[0, 3]$ воно дорівнює $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$: прямокутник заввишки 3 і завширшки 3 має ту саму площу, що й область під параболою.

Заміна змінної працює по-різному

У невизначеному інтегралі ви робите заміну, інтегруєте, а потім повертаєтеся до вихідної змінної. У визначеному інтегралі можна перерахувати межі для нової змінної й зовсім не робити зворотної заміни.

Часта помилка — перейти до $u$, залишивши старі межі за $x$. Або перерахуйте межі, або перед підстановкою поверніться до $x$, але ніколи не змішуйте обидва способи.

Де вони трапляються: інтеграл зі змінною верхньою межею

Визначений інтеграл зі змінною верхньою межею — це функція: $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. Це конкретна первісна $f$, а саме та, що набуває значення 0 при $x = a$. Наприклад, $\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}$.

Перша частина основної теореми стверджує, що $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. Так, $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos(t^2)\,dt = \cos(x^2)$, хоча цей інтеграл не має формули в елементарних функціях. Якщо верхня межа сама є функцією, за правилом диференціювання складеної функції з'являється множник: $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2)$. Правила диференціювання зібрано в статті правила диференціювання з поясненнями.

Невласні інтеграли

Визначений інтеграл по нескінченному проміжку або від функції, яка всередині проміжку прямує до нескінченності, називається невласним і означується як границя. Наприклад:

Отже, нескінченно довга область може мати скінченну площу. Натомість $\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty}\ln b$ необмежено зростає: інтеграл розбігається. Це порівняння лежить в основі інтегральної ознаки, описаної в статті ознаки збіжності рядів.

Який із двох потрібен у задачі?

Подивіться, чи має знак інтеграла межі, або шукайте формулювання на зразок «від … до», «між», «загалом», «площа» чи «скільки». Вони вказують на визначений інтеграл і число у відповіді. Формулювання на зразок «знайдіть функцію», «загальний розв'язок» чи «первісна» вказують на невизначений інтеграл із $+ C$. Задача, у якій дано початкове значення, наприклад $f(0) = 2$, потребує невизначеного інтеграла й потім знаходження $C$.

Використовуйте калькулятор інтегралів для покрокового обчислення невизначених інтегралів і калькулятор визначених інтегралів, щоб обчислювати їх на відрізку, зокрема невласні інтеграли.

Докладне порівняння на одній функції

Якщо розглянути обидва види інтегралів на одній і тій самій функції, контраст стає відчутним. Візьмімо функцію, яка показує, скільки літрів води за хвилину надходить у бак, і нехай через $t$ хвилин вона дорівнює $4t + 2$.

Невизначений інтеграл, $2t^2 + 2t + C$, описує кількість води в баку в будь-який момент, але лише з точністю до невідомої початкової кількості. Якщо на початку в баку було 10 літрів, то $C = 10$, і об'єм через $t$ хвилин дорівнює $2t^2 + 2t + 10$ літра. Це функція, яку можна обчислити в будь-який момент часу.

Визначений інтеграл від $t = 0$ до $t = 5$ відповідає на інше запитання: скільки води надійшло за ці п'ять хвилин? Відповідь — $(50 + 10) - 0 = 60$ літрів, незалежно від того, скільки води було в баку спочатку. Перша відповідь — формула для стану; друга — одне число для зміни. Більшість конкретних задач чітко належить до одного з двох видів, варто лише запитати себе, чи потрібна в задачі величина в момент часу, чи загальний підсумок за проміжок.

Типові помилки в обох видах

У невизначених інтегралах найчастіша помилка — забути сталу. Це може здатися дрібницею, але в задачі з початковою умовою через це зникає саме те, що треба знайти, а в диференціальних рівняннях зникає ціла сім'я розв'язків. Інша помилка — після заміни не записати результат знову через вихідну змінну.

У визначених інтегралах типові помилки — віднімати в неправильному порядку, змішувати після заміни старі й нові межі та сприймати площу зі знаком як загальну площу. Ще одна пастка — інтегрувати одним махом через точку, де функція не визначена, наприклад $\frac{1}{x^2}$ від $-1$ до 1. Сліпе застосування формули дає $-2$, що неможливо для додатної функції; насправді інтеграл розбігається, бо в 0 функція прямує до нескінченності. Перш ніж застосовувати основну теорему, завжди перевіряйте, що підінтегральна функція неперервна на всьому відрізку.

Як дві ідеї поєднуються

Корисно вважати невизначений інтеграл інструментом, а визначений — роботою. Знайти первісну — складний, творчий крок; коли її знайдено, будь-який визначений інтеграл цієї функції на будь-якому відрізку отримують одним відніманням. Тому підручники приділяють стільки часу методам інтегрування, і тому одна вдало знайдена первісна може разом відповісти на цілу низку запитань про площі, шляхи й накопичення.

Поширені запитання