Калькулятор рівнянь

Q: Як розв'язуються кубічні рівняння?

Калькулятор перевіряє можливі раціональні корені p/q, ділить за схемою Горнера на кожен знайдений корінь і розв'язує те, що залишилося. Ірраціональні корені, що залишилися, знаходяться чисельно.

Q: Скільки розв'язків може мати алгебраїчне рівняння?

Алгебраїчне рівняння степеня n має не більше ніж n дійсних розв'язків і рівно n комплексних розв'язків з урахуванням кратності. Рівняння четвертого степеня x^4 - 5x^2 + 4 = 0 має чотири дійсні розв'язки: -2, -1, 1 і 2.

Q: Навіщо потрібна теорема про раціональні корені?

Вона звужує можливі раціональні корені до дробів p/q, де p ділить вільний член, а q — старший коефіцієнт. Так замість угадування ви отримуєте короткий список кандидатів для перевірки.

Про калькулятор рівнянь

Розв'язувач рівнянь має зрозуміти, яка перед ним задача. Лінійне рівняння потребує обернених дій, квадратне — формули коренів, а кубічне рівняння чи рівняння четвертого степеня можна розібрати за допомогою теореми про раціональні корені.

Калькулятор за можливості зводить вирази до одного многочлена й розв'язує його точно. Для рівнянь на зразок $2^x = 32$ або $\sin x = 0.5$ він знаходить дійсні розв'язки чисельно й перелічує їх на заданому проміжку. Якщо знака рівності немає, він спрощує або обчислює вираз.

Що таке калькулятор рівнянь?

Калькулятор рівнянь приймає рівняння з одним невідомим і повертає всі значення, що його задовольняють, разом із використаним методом. Метод залежить від вигляду рівняння. Лінійному рівнянню на зразок $5x - 3 = 12$ досить обернених дій. Алгебраїчне рівняння на зразок $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ потребує знаходити корені один за одним. У рівнянні $2^x = 32$ невідоме стоїть у показнику степеня, і розв'язують його інакше.

Спершу калькулятор записує рівняння у вигляді одного виразу, що дорівнює нулю, і перевіряє, чи є цей вираз многочленом. Якщо так, корені знаходяться точно; якщо ні, дійсні корені шукаються чисельно на заданому проміжку. Якщо ввести вираз без знака рівності, калькулятор розкриє дужки й спростить його: $(x + 3)^2$ перетвориться на $x^2 + 6x + 9$ .

Як користуватися калькулятором рівнянь

Введіть рівняння на зразок x^3 − 6x^2 + 11x − 6 = 0 або вираз на зразок (x + 3)^2.
Використовуйте ^ для степенів, * для множення (між числом і буквою його можна пропускати) і sqrt( ) для коренів.
Натисніть «Розв'язати». Рядок інтерпретації показує обраний метод.

Формули

Теорема про раціональні корені

a_n x^n + \cdots + a_0 = 0,\ x = \frac{p}{q} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n

Формула коренів квадратного рівняння

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Теорема Безу

P(r) = 0 \iff (x - r) \text{ — множник } P(x)

Розв'язаний приклад: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

У розв'язаному прикладі розв'язується кубічне рівняння $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ . За теоремою про раціональні корені будь-який раціональний корінь має ділити 6, тому калькулятор перевіряє кандидатів $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Він знаходить $x = 1$ , ділить на відповідний множник і отримує $x^2 - 5x + 6$ ; потім знаходить $x = 2$ , залишається $x - 3$ , і нарешті $x = 3$ . Підстановка кожного кореня в початкове кубічне рівняння дає 0, що й підтверджує перевірка.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

x = 1,\ x = 2,\ x = 3

Як ми зрозуміли вашу задачу

Рівняння 3-го степеня відносно x.

{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0

Покроковий розв'язок

Записуємо початкове рівняння
${x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0$
Переносимо всі члени в одну частину
$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0$
Перевіряємо кандидатів за теоремою про раціональні корені: x = 1 — корінь
Ділення за схемою Горнера на (x - 1) дає многочлен степеня 2.
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
Перевіряємо кандидатів за теоремою про раціональні корені: x = 2 — корінь
Ділення за схемою Горнера на (x - 2) дає многочлен степеня 1.
$x - 3 = 0$
Перевіряємо кандидатів за теоремою про раціональні корені: x = 3 — корінь
Ділення за схемою Горнера на (x - 3) дає многочлен степеня 0.
Виписуємо дійсні розв'язки
$x = 1,\quad x = 2,\quad x = 3$

Використані формули

Теорема про раціональні корені
$x = \frac{p}{q},\ p \mid a_0,\ q \mid a_n$

Многочлен степеня 3 має рівно 3 корені з урахуванням кратності (деякі можуть бути комплексними). Спершу шукаються точні раціональні корені, потім решта знаходиться точно або наближено.

Перевірка

x = 1: ліва частина = 0, права частина = 0 ✓
x = 2: ліва частина = 0, права частина = 0 ✓
x = 3: ліва частина = 0, права частина = 0 ✓

Докладне пояснення

Алгебраїчні рівняння крок за кроком

Згідно з наслідком із теореми Безу, $r$ є коренем многочлена тоді й лише тоді, коли $x - r$ — його множник. Тому кожен знайдений корінь дає змогу калькулятору поділити многочлен на $x - r$ за схемою Горнера й знизити степінь на одиницю. Коли залишається квадратний тричлен, дискримінант і формула коренів точно завершують роботу. Так рівняння четвертого степеня $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ розкладається на чотири корені $-2, -1, 1$ і $2$ .

Якщо множник, що залишився, не має раціональних коренів, його дійсні корені знаходяться наближено й позначаються знаком ≈, а для квадратних множників указуються й комплексні корені.

Неалгебраїчні рівняння

Для показникових, логарифмічних і тригонометричних рівнянь калькулятор записує рівняння у вигляді $f(x) = 0$ , переглядає проміжок від −100 до 100 у пошуках точок, де $f$ змінює знак, і уточнює кожну методом бісекції. Для $2^x = 32$ він знаходить $x \approx 5$ і підстановкою показує, що обидві частини дорівнюють 32. Оскільки переглядається лише цей проміжок, калькулятор зазначає це в кроках; періодичні рівняння на зразок $\sin x = 0.5$ мають нескінченно багато розв'язків, і показуються лише ті, що лежать на проміжку.

Типові помилки

Писати 2x^2, маючи на увазі (2x)^2; піднесення до степеня виконується раніше за множення.
Очікувати від кубічного рівняння лише одного розв'язку; многочлен степеня $n$ може мати до $n$ дійсних коренів.
Писати sin x без дужок; пишіть sin(x).
Ділити обидві частини на множник, що містить $x$ , і втрачати корені, за яких цей множник дорівнює нулю.
Забувати перенести всі члени в одну частину перед розкладанням на множники.

Поради

Перенесіть усе в одну частину й винесіть спільні множники, перш ніж братися за формули.
Побудуйте графік, щоб побачити, скільки дійсних коренів очікувати.
У показникових рівняннях перевірте, чи не можна записати обидві частини як степені однієї основи.
Якщо сума всіх коефіцієнтів дорівнює 0, то $x = 1$ — корінь; так і є в розв'язаному прикладі.
Спершу прочитайте рядок інтерпретації: він показує, як зрозуміло введення й який метод використано.
Виносьте, наприклад, $x$ за дужки замість ділення на нього; у $x^3 = 4x$ три розв'язки, а не два.

Поширені запитання

Які рівняння він розв'язує?

Лінійні, квадратні й алгебраїчні рівняння будь-якого степеня, дробово-раціональні рівняння з x у знаменнику та рівняння з однією змінною, що містять показникові, логарифмічні або тригонометричні функції (розв'язуються чисельно).

Як розв'язуються кубічні рівняння?

Калькулятор перевіряє можливі раціональні корені $\frac{p}{q}$ , ділить за схемою Горнера на кожен знайдений корінь і розв'язує те, що залишилося. Ірраціональні корені, що залишилися, знаходяться чисельно.

Чому біля розв'язку стоїть знак ≈?

Знак наближеної рівності показує, що корінь знайдено чисельно, приблизно з 10 значущими цифрами, бо точного виразу для нього немає.

Чи можна спростити вираз без знака рівності?

Так. Введіть вираз на зразок (x + 3)^2, щоб розкрити дужки й спростити його, або числовий вираз, щоб його обчислити.

Чи знаходить він комплексні розв'язки?

Комплексні розв'язки вказуються для квадратних рівнянь і для многочленів після відокремлення дійсних коренів. Неалгебраїчні рівняння розв'язуються в множині дійсних чисел.

Чи перевіряються розв'язки?

Так. Кожен розв'язок підставляється в початкове рівняння, а нев'язка показується в розділі перевірки.

Скільки розв'язків може мати алгебраїчне рівняння?

Алгебраїчне рівняння степеня $n$ має не більше ніж $n$ дійсних розв'язків і рівно $n$ комплексних розв'язків з урахуванням кратності. Рівняння четвертого степеня $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ має чотири дійсні розв'язки: $-2, -1, 1$ і $2$ .

Навіщо потрібна теорема про раціональні корені?

Вона звужує можливі раціональні корені до дробів $\frac{p}{q}$ , де $p$ ділить вільний член, а $q$ — старший коефіцієнт. Так замість угадування ви отримуєте короткий список кандидатів для перевірки.

Чи можна спростити вираз, не розв'язуючи його?

Так. Не ставте знак рівності, і калькулятор замість розв'язання розкриє дужки й зведе подібні доданки. Якщо ввести $(x + 3)^2$ , вийде $x^2 + 6x + 9$ .

Спробуйте калькулятор рівнянь

Введіть рівняння або вираз і подивіться, який метод обрано й як перевіряється кожен розв'язок.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач