Калькулятор розкладання на множники — многочлени з докладним розв'язанням

Про калькулятор розкладання на множники

Розкласти многочлен на множники — означає записати його у вигляді добутку простіших многочленів. Це дія, обернена до розкриття дужок, і одна з найзатребуваніших навичок алгебри: вона потрібна, щоб розв'язувати квадратні й кубічні рівняння, спрощувати алгебраїчні дроби, знаходити нулі графіка й готувати інтеграли до розкладання на найпростіші дроби.

Калькулятор розкладає многочлени від однієї змінної, як-от $6x^2 + 11x - 10$ або $x^4 - 16$ , і типові многочлени від двох змінних, як-от $x^2 - 9y^2$ або $x^2 - 5xy + 6y^2$ . Спершу він завжди виносить спільний множник, потім шукає формули скороченого множення, після чого застосовує метод «ac» або, для вищих степенів, теорему про раціональні корені. Те, що не можна розкласти далі над раціональними числами, позначається як незвідне, а не залишається без пояснення.

Що означає розкласти многочлен на множники?

Розкласти многочлен на множники — означає записати його у вигляді добутку, у якому кожен множник має менший степінь. Наприклад, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ . Перемноживши множники, ви знову отримаєте початковий многочлен: це найпростіший спосіб перевірити розкладання.

Розкладання повне, коли жоден множник більше не можна розкласти з раціональними коефіцієнтами. Многочлен $x^2 - 2$ незвідний над раціональними числами, хоча й дорівнює $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2)$ , адже $\sqrt2$ ірраціональне. У школі, як і в цьому калькуляторі, працюють над раціональними числами, якщо задача прямо не вимагає дійсних чи комплексних множників.

Як користуватися калькулятором розкладання на множники

Введіть многочлен, використовуючи ^ для степенів, наприклад 6x^2 + 11x - 10 або x^3 - 8.
Його можна записати в будь-якому порядку або з дужками, наприклад (x + 1)(x + 2) + 3x: калькулятор спершу розкриє дужки й упорядкує члени.
Натисніть «Розкласти на множники». Перший крок записує многочлен у стандартному вигляді, за спаданням степенів.
Стежте за кроками методу: спільний множник, формула скороченого множення або метод «ac», а для многочленів третього й четвертого степенів — перевірка раціональних коренів за схемою Горнера.
Наприкінці прочитайте повне розкладання й для перевірки розкрийте дужки за допомогою калькулятора спрощення виразів.

Формули

Різниця квадратів

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Квадрат суми й квадрат різниці

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

Сума й різниця кубів

a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

Метод «ac»

ax^2 + bx + c:\ \text{знайти } m, n \text{ при } mn = ac,\ m + n = b

Подайте $bx$ як $mx + nx$ і розкладіть методом групування.

Теорема про раціональні корені

p(r/s) = 0 \Rightarrow r \mid a_0,\ s \mid a_n

Кандидати — дільники вільного члена, поділені на дільники старшого коефіцієнта.

Розв'язаний приклад: Тричлен 6x² + 11x − 10

У розв'язаному прикладі розкладається тричлен $6x^2 + 11x - 10$ — типовий випадок, коли старший коефіцієнт не дорівнює 1 і добір забирає багато часу. Калькулятор обчислює $a \cdot c = 6 \cdot (-10) = -60$ і шукає два цілі числа з добутком $-60$ і сумою $11$ .

Це числа $15$ і $-4$ . Якщо подати середній член як $15x - 4x$ , чотири доданки можна згрупувати попарно, і в кожній парі буде спільний двочлен. Для підтвердження розкрийте дужки в результаті.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

(3x - 2)(2x + 5)

Як ми зрозуміли вашу задачу

Розкладаємо многочлен на множники над полем раціональних чисел

6x^{2} + 11x - 10

Покроковий розв'язок

Записуємо многочлен у стандартному вигляді
$6x^{2} + 11x - 10$
Застосовуємо метод «ac»
Обчислюємо a·c = 6·-10 = -60. Шукаємо два числа, добуток яких дорівнює -60, а сума дорівнює b = 11: 15 і -4.
$6x^{2} + 11x - 10 = 6x^2 + 15x - 4x - 10$
Розкладаємо методом групування
Групуємо перші два й останні два члени, виносимо спільний множник із кожної групи, потім виносимо спільний двочлен. Корені дорівнюють -5/2 і 2/3.
Записуємо повне розкладання
$(3x - 2)(2x + 5)$

Використані формули

Різниця квадратів
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Квадрат суми або різниці
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
Сума та різниця кубів
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
Теорема про раціональні корені
$a_n x^n + \dots + a_0 = 0,\ \tfrac{p}{q} \text{ корінь} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n$

6x^2 + 11x - 10 повністю розкладається над раціональними числами як (3x - 2)(2x + 5).

Перевірка

Розкривши дужки в (3x - 2)(2x + 5), знову отримуємо 6x^2 + 11x - 10.

Докладне пояснення

Порядок методів має значення

Надійний спосіб розкладання завжди починається зі спільного множника. Якщо винести $2$ з $2x^2 - 18$ , залишається $x^2 - 9$ , у якому потім упізнається різниця квадратів. Якщо пропустити цей крок, формула залишиться непоміченою, і вийде неповна відповідь на зразок $(2x - 6)(x + 3)$ , у якій ще ховається спільний множник 2.

Після спільного множника все вирішує вигляд виразу. Два члени вказують на різницю квадратів або на суму чи різницю кубів; три члени — на квадрат суми чи різниці або на метод «ac»; чотири члени часто розкладаються групуванням. Починаючи з третього степеня калькулятор перевіряє раціональних кандидатів і ділить за схемою Горнера на кожен знайдений корінь, щоразу знижуючи степінь на одиницю й отримуючи той самий результат, що й групування, наприклад $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = (x + 2)(x^2 + 3)$ .

Чому працює метод «ac»

Якщо $ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)$ , то після розкриття дужок $pr = a$ , $qs = c$ і $ps + qr = b$ . Два числа $ps$ і $qr$ мають добуток $pq rs = ac$ і суму $b$ . Отже, знайти два числа з добутком $ac$ і сумою $b$ — рівно те саме, що знайти перехресні члени, а групування повертає двочлени.

Якщо відповідної пари цілих чисел немає, квадратний тричлен не має раціональних коренів і є незвідним над раціональними числами. Це можна підтвердити дискримінантом $b^2 - 4ac$ : раціональні множники існують тоді й лише тоді, коли він є повним квадратом.

Многочлени вищих степенів

Для многочлена третього степеня на зразок $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ теорема про раціональні корені звужує кандидатів до $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Перевірка показує, що $x = 1$ — корінь, схема Горнера залишає $x^2 - 5x + 6$ , а цей тричлен розкладається як $(x - 2)(x - 3)$ .

Многочлени четвертого степеня без раціональних коренів усе ж можуть розкладатися в добуток двох квадратних тричленів, як $x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ . Перш ніж оголосити многочлен четвертого степеня незвідним, калькулятор шукає такі пари тричленів із цілими коефіцієнтами.

Типові помилки

Забувати спершу винести спільний множник, через що розкладання залишається неповним.
Вважати, що $a^2 + b^2$ розкладається над дійсними числами. Сума квадратів не розкладається без комплексних чисел.
Помилятися в знаках у формулах для кубів: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ , зі знаком плюс у середнього члена другого множника.
Зупинятися після одного кроку, наприклад залишати $x^4 - 16$ у вигляді $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$ , хоча $x^2 - 4$ ще розкладається.
Втрачати множник $-1$ під час винесення від'ємного старшого коефіцієнта.

Поради

Завжди перевіряйте результат, перемножуючи множники.
Перш ніж обирати метод, запишіть многочлен за спаданням степенів.
У методі «ac» виписуйте пари дільників $ac$ по порядку, від меншого до більшого.
Дискримінант швидко показує, чи розкладається квадратний тричлен над раціональними числами.
Якщо вам потрібні корені, а не множники, прирівняйте кожен множник до нуля.

Поширені запитання

З чого починати розкладання многочлена на множники?

Винесіть множник, спільний для всіх членів, зокрема спільний степінь змінної. Усі інші методи краще працюють із тим, що залишиться.

Як розкласти тричлен, у якого старший коефіцієнт не дорівнює 1?

Використайте метод «ac»: помножте a на c, знайдіть два числа з таким добутком і сумою b, розбийте середній член на ці дві частини й розкладіть методом групування.

Що означає «незвідний»?

Многочлен незвідний над раціональними числами, якщо його не можна записати як добуток многочленів меншого степеня з раціональними коефіцієнтами. Наприклад, x у квадраті плюс 1 і x у квадраті мінус 2 незвідні над раціональними числами.

Чи розкладає він многочлени третього й четвертого степенів?

Так. Він перевіряє раціональні корені за теоремою про раціональні корені, ділить за схемою Горнера, а для четвертого степеня ще й шукає розкладання в добуток двох квадратних тричленів із цілими коефіцієнтами.

Чи розкладає він вирази з двома змінними?

Підтримуються типові види від двох змінних: спільний одночленний множник, однорідні многочлени на зразок x у квадраті мінус 5xy плюс 6y у квадраті, різниці квадратів і групування за однією змінною. Вирази з трьома й більше змінними не підтримуються.

Як розкладання на множники пов'язане з розв'язанням рівнянь?

Добуток дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли хоча б один множник дорівнює нулю. Тому розкладання многочлена, прирівняного до нуля, перетворює одне складне рівняння на кілька простих.

Чому моя відповідь має інший вигляд, ніж у підручнику?

Множники можуть стояти в будь-якому порядку, а множник мінус один може переходити з одних дужок в інші. Розкрийте дужки в обох варіантах: якщо виходить той самий многочлен, правильні обидва.

Спробуйте калькулятор розкладання на множники

Введіть многочлен і простежте кожен метод, від спільного множника до повного розкладання.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Розкладання многочлена на множники