Калькулятор систем рівнянь

Про калькулятор систем рівнянь

Система рівнянь питає про значення, що задовольняють кілька рівнянь одночасно. Дві прямі на координатній площині перетинаються в одній точці, не перетинаються зовсім або збігаються, і ті самі три випадки трапляються в системах із будь-якою кількістю невідомих. Калькулятор визначає, який випадок перед нами, а за єдиного розв'язку дає точні дроби, а не заокруглені десяткові числа.

Він використовує метод Гаусса — Жордана, систематичну процедуру, що стоїть за шкільними методами підстановки й додавання. Кожне перетворення рядків потрапляє до списку: ви можете простежити обчислення, порівняти їх зі своїм виключенням і точно побачити, де зникає невідоме або виникає суперечність.

Що таке система лінійних рівнянь?

У лінійному рівнянні кожне невідоме входить лише в першому степені, як у $2x + 3y = 7$ . Система — це набір таких рівнянь з тими самими невідомими. Розв'язок — це набір значень, за якого всі рівняння одночасно перетворюються на правильні рівності.

За двох невідомих кожне рівняння задає пряму, а розв'язок — точку перетину. За трьох невідомих кожне рівняння задає площину. Система може мати єдиний розв'язок, нескінченно багато розв'язків або не мати розв'язків зовсім.

Як користуватися калькулятором систем рівнянь

Запишіть кожне рівняння в окремому рядку, наприклад 2x + 3y = 7 у першому й x - y = 1 у другому.
Позначайте невідомі будь-якими буквами. Члени можуть стояти в обох частинах: калькулятор зведе рівняння до стандартного вигляду.
Допускаються звичайні й десяткові дроби, наприклад 0.5x + y/3 = 2; десяткові дроби перетворюються на точні звичайні.
Натисніть «Розв'язати систему». Перегляньте стандартний вигляд і розширену матрицю, потім список перетворень рядків.
Прочитайте висновок: єдиний розв'язок, параметричний запис нескінченної множини розв'язків або суперечність, що доводить відсутність розв'язків.

Формули

Матричний запис

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

Коефіцієнти утворюють $A$ , праві частини — $\mathbf{b}$ ; розширена матриця — це $[A \mid \mathbf{b}]$ .

Елементарні перетворення рядків

R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i\ (k \ne 0),\quad R_i \to R_i + kR_j

Жодне з них не змінює множину розв'язків.

Правило Крамера (2 × 2)

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}

Для $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ з ненульовим визначником.

Розв'язаний приклад: 2x + 3y = 7, x − y = 1

У прикладі розв'язується система $2x + 3y = 7$ і $x - y = 1$ . Калькулятор складає розширену матрицю, ділить перший рядок так, щоб його перший коефіцієнт дорівнював 1, виключає $x$ з другого рядка, а потім $y$ з першого.

Відповідь читається просто зі зведеної матриці: $x = 2$ і $y = 1$ . Підстановка дає $2(2) + 3(1) = 7$ і $2 - 1 = 1$ : обидва рівняння виконано.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

x = 2,\ y = 1

Як ми зрозуміли вашу задачу

Лінійних рівнянь: 2, невідомих: 2 (x, y).

\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ x- y = 1 \end{cases}

Покроковий розв'язок

Записуємо кожне рівняння в стандартному вигляді
Переносимо всі члени зі змінними ліворуч, а вільні члени праворуч.
$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Складаємо розширену матрицю [A | b]
Стовпці: x, y | вільний член.
$\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Метод Гаусса — Жордана
За допомогою елементарних перетворень рядків робимо кожен ведучий елемент рівним 1 і зануляємо решту елементів його стовпця.
Ділимо R1 на 2
$R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Зануляємо стовпець 1 за допомогою ведучого елемента в R1
$R_{2} \to R_{2} - 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}\end{bmatrix}$
Ділимо R2 на -5/2
$R_{2} \to \tfrac{1}{-\frac{5}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Зануляємо стовпець 2 за допомогою ведучого елемента в R2
$R_{1} \to R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Зведений східчастий вигляд
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Виписуємо єдиний розв'язок
$x = 2,\ y = 1$

Використані формули

Матричний запис
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Елементарні перетворення рядків
$R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i,\quad R_i \to R_i + kR_j$

Система має рівно один розв'язок; під час підстановки він перетворює кожне рівняння на правильну рівність.

Перевірка

Рівняння 1: 2x + 3y = 7 ✓
Рівняння 2: x - y = 1 ✓

Докладне пояснення

Метод додавання, метод підстановки й матриці

У методі підстановки одне рівняння розв'язують відносно одного невідомого й підставляють результат у решту. У методі додавання додають рівняння, помножені на відповідні числа, щоб одне невідоме зникло. Метод Гаусса — Жордана — це метод додавання з фіксованим порядком дій над розширеною матрицею: у кожному стовпці обирають ведучий елемент, роблять його рівним 1 і зануляють усі інші коефіцієнти цього стовпця.

Матричний запис — не інший метод, а лише наочніша форма запису. Кожен рядок — це рівняння без назв невідомих, а кожне перетворення рядків — те, що ви могли б зробити з рівняннями вручну. Оскільки обчислення ведуться в точних дробах, жодна помилка заокруглення не перетворить недовизначену систему на хибний єдиний розв'язок.

Як розпізнати відсутність розв'язків або їхню нескінченну множину

Якщо під час виключення з'являється рядок вигляду $[0\ 0 \mid 5]$ , він означає $0 = 5$ , що неможливо: система несумісна. Геометрично це паралельні прямі, які ніколи не перетинаються.

Якщо рядок цілком складається з нулів, $[0\ 0 \mid 0]$ , відповідне рівняння було комбінацією решти й не несе інформації. Якщо ведучих елементів менше, ніж невідомих, невідомі без ведучого елемента вільні. Калькулятор позначає їх як параметри й виражає через них решту невідомих, описуючи всю пряму чи площину розв'язків.

Системи більшого розміру

Три рівняння з трьома невідомими розв'язуються за тією самою схемою, лише з ще одним стовпцем. Метод працює для систем будь-якого розміру, а калькулятор приймає системи, у яких рівнянь більше або менше, ніж невідомих, і в кожному випадку чесно повідомляє результат.

Типові помилки

Множачи рівняння на число, множити лише одну частину або лише деякі члени.
Втрачати знак мінус під час віднімання одного рівняння від іншого; віднімайте всі члени, зокрема праву частину.
Вважати, що система завжди має рівно один розв'язок. Стежте за суперечностями й нульовими рядками.
Записувати невідомі в різних рівняннях у різному порядку, через що стовпці матриці зсуваються.
Заокруглювати дроби посеред обчислень, через що сумісна система може здатися суперечливою.

Поради

Перш ніж почати, розташуйте невідомі в усіх рівняннях в однаковому порядку.
Спершу виключайте невідоме з найпростішими коефіцієнтами.
Підставляйте розв'язок в усі початкові рівняння, а не лише в останнє використане.
За двох невідомих побудуйте обидві прямі, щоб заздалегідь зрозуміти, чи перетнуться вони один раз, жодного разу чи збіжаться.

Поширені запитання

Скільки рівнянь потрібно для трьох невідомих?

Як правило, три незалежні рівняння. Якщо їх менше, залишаються вільні невідомі й нескінченно багато розв'язків; якщо більше, додаткові рівняння мають бути узгоджені з рештою.

Що означає повідомлення «Немає розв'язків»?

Під час виключення вийшла неможлива рівність на зразок 0 = 5. Рівняння суперечать одне одному; за двох невідомих прямі паралельні.

Що таке вільні невідомі?

Це невідомі, які після виключення залишаються без ведучого елемента. Вони можуть набувати будь-яких значень, а решта невідомих виражається через них, що дає нескінченно багато розв'язків.

Чи можна вводити рівняння з невідомими в обох частинах?

Так. Перед виключенням кожне рівняння зводиться до стандартного вигляду: члени з невідомими ліворуч, вільний член праворуч.

Чому розв'язки записано дробами, а не десятковими числами?

Калькулятор працює в точній раціональній арифметиці, тому розв'язки на зразок 7/3 залишаються точними. Перетворюйте їх на десяткові дроби лише в самому кінці, якщо цього вимагає ваш курс.

Чи розв'язує він нелінійні системи на зразок x у квадраті плюс y у квадраті дорівнює 25?

Ні. Цей калькулятор призначено для лінійних систем. Для окремого алгебраїчного рівняння використовуйте калькулятор рівнянь; точки перетину кривих можна побачити на графіку в побудовнику графіків.

Спробуйте калькулятор систем рівнянь

Введіть по одному рівнянню в рядку й простежте кожне перетворення рядків аж до точного розв'язку.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач