Калькулятор: знайти x — розв'язання рівнянь і вираження змінної з поясненням

Про калькулятор розв'язання відносно x

Розв'язати рівняння відносно $x$ — означає знайти всі значення $x$ , за яких рівняння перетворюється на правильну рівність. Лінійне рівняння розв'язують, скасовуючи дії у зворотному порядку; за вищих степенів доводиться розкладати на множники або застосовувати формулу.

Калькулятор обирає метод за структурою вашого рівняння й для перевірки підставляє кожен розв'язок у початкове рівняння. Значення, що перетворюють знаменник на нуль, відкидаються.

Що означає «розв'язати рівняння відносно x»?

Рівняння стверджує, що два вирази рівні, а буква $x$ позначає число, якого ми поки не знаємо. Розв'язати рівняння відносно $x$ — означає знайти всі числа, за яких ця рівність правильна, тобто множину розв'язків. У рівняння $3(x - 2) = 2x + 7$ таке число рівно одне, 13: при $x = 13$ обидві частини дорівнюють 33, а жодне інше значення їх не зрівнює.

Головна ідея — рівновага: усе, що ви робите з однією частиною, треба зробити й з іншою, щоб під час спрощення рівність залишалася правильною. Кожен крок скасовує одну дію над $x$ , ззовні всередину, доки $x$ не залишиться сам. Одні рівняння мають один розв'язок, інші кілька, треті жодного, а деякі правильні за будь-якого значення $x$ .

Як користуватися калькулятором розв'язання відносно x

Введіть рівняння рівно з одним знаком рівності, наприклад 3(x − 2) = 2x + 7.
За потреби вкажіть іншу змінну, яку треба виразити, наприклад b в A = (1/2)·b·h.
Натисніть «Розв'язати» й читайте кроки згори донизу.

Формули

Обернені дії

x + a = b \Rightarrow x = b - a,\qquad ax = b \Rightarrow x = \frac{b}{a}

Лінійний вигляд

ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a},\ a \neq 0

Формула коренів квадратного рівняння

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Розв'язаний приклад: 3(x − 2) = 2x + 7

У розв'язаному прикладі розв'язується рівняння $3(x - 2) = 2x + 7$ . Калькулятор розкриває дужки, множачи на 3, і отримує $3x - 6 = 2x + 7$ , віднімає $2x$ від обох частин, щоб зібрати невідоме ліворуч, після чого залишається $x - 6 = 7$ , а потім додає 6 до обох частин і отримує $x = 13$ . Перевірка підставляє 13 замість x у початкове рівняння: ліва частина дорівнює $3 \times 11 = 33$ , а права $26 + 7 = 33$ .

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

x = 13

Як ми зрозуміли вашу задачу

Лінійне рівняння відносно x: виражаємо x за допомогою обернених операцій.

3 \left( x-2\right) = 2x+7

Покроковий розв'язок

Записуємо початкове рівняння
$3 \left( x-2\right) = 2x+7$
Спрощуємо кожну частину (розкриваємо дужки та зводимо подібні доданки)
$3x - 6 = 2x + 7$
Віднімаємо 2x від обох частин
$x - 6 = 7$
Додаємо 6 до обох частин
$x = 13$

Використані формули

Лінійне рівняння
$ax + b = c \;\Rightarrow\; x = \frac{c - b}{a}$

Та сама дія з обома частинами зберігає рівність. Скасувавши спершу додавання, а потім множення, ми залишаємо x саму.

Перевірка

x = 13: ліва частина = 33, права частина = 33 ✓

Докладне пояснення

Рівняння з дробами

Щоб позбутися дробів, кожен член множать на найменший спільний знаменник. У рівнянні $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ він дорівнює 6, і рівняння перетворюється на $3x + 2x = 60$ , тобто $5x = 60$ і $x = 12$ . Множення обох частин на те саме ненульове число ніколи не змінює розв'язків, тому такий крок безпечний. Інакше стоїть справа, коли знаменник містить $x$ : число, на яке ми множимо, за деяких значень $x$ може виявитися нулем.

Сторонні корені в дробово-раціональних рівняннях

Розгляньмо рівняння $\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2} + 3$ . Якщо позбутися знаменників і спростити, вийде квадратне рівняння з єдиним розв'язком $x = 2$ . Але при $x = 2$ обидва знаменники перетворюються на нуль: у цій точці початкове рівняння взагалі не визначене. Калькулятор записує умову під час множення, наприкінці відкидає $x = 2$ і повідомляє, що рівняння не має розв'язків. Підстановка кожного кандидата в початкове рівняння — єдиний надійний спосіб виявити такі корені.

Немає розв'язків або нескінченно багато розв'язків

Іноді невідоме зникає. Рівняння $2(x + 1) = 2x + 5$ спрощується до $2x + 2 = 2x + 5$ , і після віднімання $2x$ залишається $2 = 5$ , що неправильно за будь-якого $x$ : розв'язків немає. Якщо ж рівність, що залишилася, правильна, наприклад $2 = 2$ , підходить будь-яке дійсне число, і рівняння є тотожністю. Обидва ці результати записуються словами, а не у вигляді значення $x$ .

Перевірка розв'язку підстановкою

Розв'язок правильний лише тоді, коли він перетворює початкове рівняння на правильну рівність; тому калькулятор завжди підставляє його в те рівняння, яке ви ввели, а не в спрощений варіант. Підстановка в один із наступних рядків приховала б будь-яку ранішу помилку. Робіть вручну так само: обчисліть ліву й праву частини окремо, і якщо числа різняться, знайдіть перший крок, після якого рівновагу порушено.

Типові помилки

Виконувати дію лише з однією частиною рівняння.
Множити мінус перед дужкою лише на перший доданок у дужках.
Ділити обидві частини на $x$ і тим самим втрачати розв'язок $x = 0$ .
Залишати розв'язок, що перетворює на нуль знаменник початкового рівняння.
Переносити доданок в іншу частину рівняння, не змінюючи його знак.

Поради

Спершу позбудьтеся дробів, помноживши обидві частини на найменший спільний знаменник.
Збирайте члени з невідомим у тій частині, де коефіцієнт залишиться додатним.
Завжди підставляйте розв'язок у початкове рівняння.
Записуйте кожен крок з нового рядка, вирівнюючи знаки рівності один під одним: так помилки в знаках одразу впадають в око.
Використовуйте поле «Виразити змінну», щоб перетворити формулу, наприклад отримати $b$ з $A = \frac12 bh$ .

Поширені запитання

Як розв'язати рівняння відносно x?

Спростіть кожну частину, за допомогою обернених дій зберіть усі члени з x в одній частині, а числа в іншій, потім поділіть на коефіцієнт при x. Для $3(x-2) = 2x + 7$ : $3x - 6 = 2x + 7$ , отже, $x = 13$ .

Чи можна виразити іншу змінну, а не x?

Так. Введіть букву в поле «Виразити змінну». Формули на зразок $A = \frac12 bh$ перетворюються на $b = \frac{2A}{h}$ , якщо змінна входить у них лінійно.

Що буде, якщо рівняння не має розв'язків?

Якщо невідоме скорочується й залишається неправильна рівність на зразок $1 = 2$ , калькулятор повідомляє, що розв'язків немає.

А якщо підходить будь-яке значення x?

Якщо невідоме скорочується й залишається правильна рівність, рівняння є тотожністю, і розв'язком є будь-яке дійсне число.

Чи розв'язує він рівняння з x у квадраті?

Так. Квадратні рівняння розв'язуються точно, розкладанням на множники або за формулою коренів, зокрема з ірраціональними й комплексними коренями.

Чому один із моїх розв'язків відкинуто?

Якщо x стоїть у знаменнику, множення на цей знаменник може дати сторонні корені. Будь-який розв'язок, що перетворює знаменник на нуль, відкидається, і калькулятор показує причину.

Як розв'язати рівняння з дробами?

Помножте кожен член обох частин на найменший спільний знаменник. Для $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ множення на 6 дає $3x + 2x = 60$ , тобто $x = 12$ .

Як виразити змінну з формули?

Вважайте решту букв сталими числами й скасовуйте дії, застосовані до потрібної змінної. З $A = \frac12 bh$ множимо на 2 й ділимо на $h$ , отримуючи $b = \frac{2A}{h}$ .

Спробуйте калькулятор розв'язання відносно x

Введіть рівняння або формулу й простежте кожну обернену дію аж до перевіреного розв'язку.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Розв'язання рівнянь відносно x