Розв'язування лінійних рівнянь крок за кроком

Що таке лінійне рівняння?

Лінійне рівняння з одним невідомим — це рівняння, яке можна звести до вигляду $ax + b = 0$, де $a$ і $b$ — числа й $a \neq 0$. Невідоме входить лише в першому степені: немає $x^2$, немає $\sqrt{x}$ і немає $x$ у знаменнику. Оскільки графік $y = ax + b$ — пряма, рівняння має рівно один розв'язок $x = -\frac{b}{a}$, тобто точку, в якій ця пряма перетинає вісь x.

Рівняння $3x + 7 = 22$, $5(x - 2) = 3x + 4$ і $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ усі лінійні, хоча поки й не схожі на $ax + b = 0$. Робота полягає в тому, щоб переписувати їх, одне допустиме перетворення за іншим, доки невідоме не залишиться на самоті.

Модель терезів за кожним кроком

Уявіть рівняння як терези в рівновазі. З однією шалькою можна робити що завгодно, якщо з іншою робити точно те саме, адже дві рівні величини, змінені однаково, залишаються рівними. Вам знадобляться чотири перетворення:

• додати до обох частин те саме число чи вираз;
• відняти від обох частин те саме число чи вираз;
• помножити обидві частини на те саме число, що не дорівнює нулю;
• поділити обидві частини на те саме число, що не дорівнює нулю.

Множити на нуль чи ділити на нуль — єдине, що заборонено: множення на нуль перетворює будь-яке рівняння на $0 = 0$ і знищує інформацію, а ділення на нуль не визначене.

Алгоритм із п'яти кроків

1. Розкрийте дужки за розподільним законом: $5(x - 2)$ перетворюється на $5x - 10$.
2. Позбудьтеся дробів чи десяткових чисел, помноживши обидві частини на найменше спільне кратне знаменників або на степінь десяти, наприклад 10.
3. Зведіть подібні доданки в кожній частині окремо.
4. Додаванням чи відніманням перенесіть члени з x в одну частину, а числа — в іншу.
5. Поділіть на коефіцієнт при невідомому, а потім для перевірки підставте розв'язок у початкове рівняння.

Не кожному рівнянню потрібні всі кроки. Алгоритм лише задає порядок, який допомагає уникнути найчастіших плутанин, наприклад ділення до того, як зведено подібні доданки.

Розібрані приклади, від простого до складного

Зверніть увагу на порядок. Під час побудови виразу $3x + 7$ сімку додали останньою, тому прибирають її першою. Розв'язувати — означає виконувати дії у зворотному порядку.

Якщо вам зручніший додатний коефіцієнт, збирайте члени з x у тій частині, де коефіцієнт уже більший. У прикладі 3 додавання $4x$ до обох частин дає $9 = 6x - 15$, потім $24 = 6x$ і $x = 4$, зовсім без ділення на від'ємне число.

Рівняння з дробами й десятковими числами

Найбільше помилок трапляється з дробами, тому позбувайтеся їх на самому початку. Помножте кожен член обох частин на найменше спільне кратне знаменників. Кожен член означає справді кожен член, зокрема цілі числа без видимого знаменника.

З десятковими числами чинять так само, використовуючи степінь десяти. Виберіть степінь, яка прибирає десяткове число з найбільшою кількістю знаків після коми.

Рівняння, повні дробів, можна перевірити калькулятором дробів або звірити кожен крок із розв'язувачем рівнянь.

Немає розв'язків або нескінченно багато розв'язків

Іноді під час розв'язування невідоме повністю зникає. Те, що залишається, показує, який це особливий випадок.

Правильна рівність на кшталт $6 = 6$ означає, що обидві частини — той самий вираз: будь-яке дійсне число є розв'язком. Таке рівняння називають тотожністю.

Хибна рівність на кшталт $6 = 5$ означає, що жодне значення $x$ не зрівняє частини: рівняння не має розв'язків. На графіку обидві частини — паралельні прямі з однаковим кутовим коефіцієнтом і різними точками перетину з віссю y, тому вони ніколи не перетинаються.

Вираження змінної з формули

Та сама модель терезів допомагає виражати змінну з формули, тобто розв'язувати рівняння з кількома змінними відносно однієї з них. Поводьтеся з кожною буквою, крім шуканої, як із числом.

Зведення рівняння до такого вигляду — перший крок до побудови його графіка, який можна дослідити за допомогою калькулятора кутового коефіцієнта.

Складання рівняння за текстовою задачею

Повсякденні задачі зводяться до лінійних рівнянь, коли величина змінюється зі сталою швидкістю. Позначте невідоме, перекладіть кожне речення у вираз і прирівняйте два описи тієї самої величини.

Перекладати речення в рівняння можна й далі тренувати з розв'язувачем текстових задач.

Часті помилки і як їх уникнути

• Множити лише перший член: $3(x + 4)$ дорівнює $3x + 12$, а не $3x + 4$.
• Губити мінус: $-(x - 5)$ дорівнює $-x + 5$. Множте мінус на кожен член у дужках.
• Множити на спільний знаменник лише дроби, забуваючи про цілі члени.
• Переносити член в іншу частину рівняння, не змінюючи його знака. Слова «перенести член» — лише скорочення для віднімання його від обох частин.
• Зупинятися на $-x = 3$. Поділіть на $-1$, щоб отримати $x = -3$.
• Пропускати перевірку. Якщо підставляти в початкове рівняння, а не в проміжний рядок, ви знайдете помилку на будь-якому кроці.

Що вивчати далі

Коли лінійні рівняння опановано, ті самі навички прямо переносяться на лінійні нерівності, де додається одне додаткове правило, і на системи рівнянь, де два лінійні рівняння мають спільні два невідомі. Якщо в рівнянні є $x^2$, прочитайте посібник з розв'язування квадратних рівнянь. Для практики введіть будь-який із прикладів вище в калькулятор для знаходження x і порівняйте його кроки зі своїми.

Поширені запитання