Спрощення алгебраїчних виразів крок за кроком

Що насправді означає спростити

Вираз на кшталт $3(2x - 5) - 2(x - 4)$ не має знака рівності, тому розв'язувати тут нічого. Спростити його — означає знайти тотожно рівний вираз, тобто такий, що за кожного допустимого $x$ дає те саме значення, але водночас коротший і зручніший. Тут це $4x - 7$.

Ключове слово — тотожно рівний. Кожен крок має бути законним правилом, а не здогадом, який випадково дає гарний результат. Корисна перевірка — підстановка значення: при $x = 2$ початковий вираз дає $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$, і $4(2) - 7 = 1$ теж. Збіг в одній точці не доводить, що вирази тотожно рівні, але розбіжність доводить, що є помилка.

Зведення подібних доданків

Подібні доданки містять точно ті самі змінні точно в тих самих степенях; відрізнятися може лише коефіцієнт. $3x^2$ і $-7x^2$ подібні. $3x^2$ і $3x$ — ні, як і $xy$ та $x^2y$.

Щоб звести подібні доданки, додайте коефіцієнти, а буквену частину залиште без змін:

Перш ніж зводити подібні, підкресліть або виділіть кольором кожну групу подібних доданків і беріть кожен доданок разом з його знаком. У $4x + 3y - x$ доданок — це $-x$, а не $x$.

Розподільний закон і розкриття дужок

Розподільний закон $a(b + c) = ab + ac$ дає змогу розкривати дужки. Множник перед дужкою множиться на кожен доданок у дужці, а мінус перед дужкою — це множник $-1$.

• $-2(x - 4) = -2x + 8$, бо $-2 \times -4 = +8$.
• $-(3x - y + 1) = -3x + y - 1$.
• $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$: помножте кожен доданок першої дужки на кожен доданок другої.
• $(2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9$, а не $4x^2 + 9$.

Підносити суму до квадрата почленно, як у $(a + b)^2 = a^2 + b^2$, — одна з найчастіших помилок в алгебрі. Правильна формула квадрата суми: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Властивості степенів

Добутки й частки степенів спрощують за допомогою невеликої кількості правил, які правильні для будь-якої ненульової основи:

Калькулятор степенів застосовує ці правила одне за одним, якщо ви хочете перевірити довший вираз.

Спрощення раціонального дробу

Раціональний дріб спрощують, повністю розкладаючи чисельник і знаменник на множники й скорочуючи множники, які є в обох. Скорочувати можна лише множники, але ніколи не доданки.

Обмеження $x \neq -3$ треба зберегти, навіть якщо $(x + 3)$ більше не трапляється, бо за цього значення початковий вираз не визначений. Щоб додати дроби, спершу знайдіть спільний знаменник:

Якщо розкладання на множники не вдається, посібник з розкладання многочленів на множники пояснює всі використані тут способи, а калькулятор раціональних дробів показує спрощення крок за кроком.

Спрощення коренів

Виносьте з-під кореня множники, що є повними квадратами, за правилом $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ для $a$ і $b$, більших за нуль або рівних йому. Потім зводьте подібні корені так само, як подібні доданки.

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ і $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, отже, $\sqrt{50} + \sqrt{18} = 8\sqrt{2}$.
• $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$.
• $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, і це не $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. Корінь не можна розподілити на суму.

Розумний порядок дій

1. Розкрийте дужки за розподільним законом, стежачи за мінусами.
2. Застосуйте властивості степенів до добутків, часток і степенів.
3. Зведіть подібні доданки.
4. Повністю розкладіть дроби на множники й скоротіть спільні множники, не втрачаючи обмежень.
5. Запишіть результат у звичному порядку, зазвичай за спаданням степенів: $3x^2 - x + 4$.
6. Зробіть швидку перевірку, підставивши просте значення в початковий вираз і в результат.

Помилки, що змінюють значення

• Скорочувати доданки замість множників: $\frac{x + 6}{x + 3}$ не дорівнює ні $2$, ні $\frac{6}{3}$.
• Застосовувати мінус лише до першого доданка в дужці.
• Додавати показники під час множення різних основ: $x^2 y^3$ не можна записати одним степенем.
• Писати $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ або $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Забувати обмеження після спрощення.

Введіть будь-який вираз у калькулятор спрощення виразів і порівняйте його кроки зі своїми. Зі спрощеним виразом розв'язати відповідне рівняння набагато легше; прочитайте, як розв'язувати лінійні рівняння.

Довший розібраний приклад

У справжніх задачах зазвичай поєднуються кілька правил із наведених вище. Ретельний розбір однієї з них показує, як порядок кроків тримає вираз під контролем.

Зауважте, що віднімання перед $(x + 1)^2$ застосували лише після того, як квадрат у дужці було розкрито. Спершу розкрити, а потім розподілити мінус на всі доданки — так ви уникнете класичної помилки в знаках.

Коли вираз повністю спрощено?

Учителі й підручники мають спільні домовленості щодо остаточної відповіді. Вираз зазвичай вважають повністю спрощеним, якщо не залишилося дужок, які можна розкрити, якщо тільки не потрібна розкладена форма; якщо немає двох подібних доданків; якщо немає від'ємних чи нульових показників; якщо в жодному дробі чисельник і знаменник не мають спільного множника; якщо жоден корінь не містить множника, що є повним квадратом; і якщо в жодному знаменнику немає кореня.

Останнє правило виконують, позбуваючись ірраціональності в знаменнику. Для $\frac{6}{\sqrt{3}}$ помножте чисельник і знаменник на $\sqrt{3}$: вийде $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. Обидві форми мають те саме значення, близько $3.464$, але друга — звична остаточна форма.

Іноді найпростіша форма залежить від мети. Розкрита форма $x^2 - 3x - 10$ дає змогу легко прочитати коефіцієнти, а розкладена форма $(x + 2)(x - 5)$ одразу показує корені. Якщо задача не каже, яка форма потрібна, обидві рівноцінні, але більшість учителів очікують для сум розкриту форму, а для дробів — розкладену й скорочену.

Якщо дві по-різному записані відповіді проходять перевірку підстановкою для двох чи трьох значень, це майже напевно той самий вираз у двох записах.

Спрощення з кількома змінними

Вирази з кількома змінними підкоряються точно тим самим правилам, але в них легше загубити доданок. Допомагає перед зведенням упорядкувати доданки за буквеною частиною. У $3a^2b - 2ab^2 + 5ab - a^2b + 4ab^2$ групи подібних — це члени з $a^2b$, члени з $ab^2$ і члени з $ab$. Звівши кожну групу, ви отримаєте $2a^2b + 2ab^2 + 5ab$. Далі зводити нічого, бо кожен залишений доданок має свою буквену частину, але всі мають спільний множник $ab$, тому вираз можна записати й як $ab(2a + 2b + 5)$.

Запис змінних усередині кожного доданка в алфавітному порядку, наприклад $ba$ як $ab$, допомагає помічати подібні доданки. Це також звична домовленість для остаточних відповідей.

Поширені запитання