Розв'язування квадратних рівнянь: розкладання на множники, виділення повного квадрата й формула коренів

Що робить рівняння квадратним

Квадратне рівняння можна записати у вигляді $ax^2 + bx + c = 0$, де $a \neq 0$. Найбільший степінь невідомого дорівнює 2, тому розв'язків не більше двох; їх називають коренями. Перш ніж застосовувати будь-який спосіб, перенесіть усі члени в один бік, щоб в іншому залишився нуль. Це не на ваш розсуд: і властивість нульового добутку, і формула коренів цього вимагають.

Наприклад, $x^2 = 3x + 10$ перетворюється на $x^2 - 3x - 10 = 0$, тобто $a = 1$, $b = -3$ і $c = -10$. Виписати заздалегідь три коефіцієнти з їхніми знаками — найпростіший спосіб уникнути помилок у знаках пізніше.

На графіку розв'язки — це абсциси точок, у яких парабола $y = ax^2 + bx + c$ перетинає вісь x. Парабола може перетнути вісь x двічі, дотикнутися до неї один раз у вершині або зовсім її не зустріти: тому квадратне рівняння може мати два, один або жодного дійсного розв'язку.

Швидкі окремі випадки: без члена з x або без вільного члена

Дві особливі форми взагалі не потребують загального способу.

• Якщо $b = 0$, виразіть $x^2$ і добудьте корінь, не забувши обидва знаки: $x^2 = 49$ дає $x = \pm 7$, а $4x^2 - 9 = 0$ дає $x^2 = \frac{9}{4}$, тобто $x = \pm\frac{3}{2}$.
• Якщо $c = 0$, винесіть $x$ за дужки: $x^2 - 5x = 0$ перетворюється на $x(x - 5) = 0$, отже, $x = 0$ або $x = 5$.

Ніколи не діліть обидві частини $x^2 - 5x = 0$ на $x$. Ви втратите розв'язок $x = 0$, бо при $x = 0$ ділили б на нуль.

Спосіб 1: розкладання на множники

Якщо квадратний тричлен розпадається на два лінійні множники, решту робить властивість нульового добутку: якщо $pq = 0$, то $p = 0$ або $q = 0$. При $a = 1$ шукайте два числа, добуток яких дорівнює $c$, а сума — $b$.

Тут $-5$ і $2$ в добутку дають $-10$, а в сумі $-3$. При $a \neq 1$ той самий добір розширює метод перекидання (AC).

Розкладання на множники працює швидко, але зручне лише тоді, коли корені раціональні. Корисна перевірка: за цілих коефіцієнтів тричлен розкладається над цілими числами тоді й лише тоді, коли дискримінант $b^2 - 4ac$ — повний квадрат. Для $6x^2 + x - 2$ він дорівнює $1 + 48 = 49 = 7^2$. Більше практики — у посібнику з розкладання многочленів на множники.

Спосіб 2: виділення повного квадрата

Під час виділення повного квадрата ліву частину записують як повний квадрат плюс стала. Візьмімо $x^2 + 6x - 7 = 0$. Перенесіть сталу в іншу частину, а потім додайте $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 9$ до обох частин:

Отже, $x = 1$ або $x = -7$. Ті самі кроки дають запис через вершину $y = (x + 3)^2 - 16$, який показує вершину параболи в точці $(-3, -16)$. Повний алгоритм, зокрема для випадку $a \neq 1$, — у нашому посібнику з виділення повного квадрата.

Спосіб 3: дискримінант і формула коренів

Виділення повного квадрата в загальному рівнянні $ax^2 + bx + c = 0$ дає формулу, яка правильна для будь-якого квадратного рівняння:

Залишайте весь чисельник над $2a$. Запис $-b \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ — одна з найчастіших помилок у цій темі.

Що каже дискримінант

Вираз під коренем, $\Delta = b^2 - 4ac$, повідомляє тип розв'язку ще до того, як ви завершите обчислення:

• $\Delta > 0$: два різні дійсні корені; парабола перетинає вісь x двічі.
• $\Delta = 0$: один корінь кратності два; вершина дотикається до осі x. Приклад: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ має єдиний корінь $x = 3$.
• $\Delta < 0$: дійсних коренів немає, але є два комплексно спряжені. Приклад: для $x^2 + 2x + 5 = 0$ маємо $\Delta = 4 - 20 = -16$, отже, $x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

Прикладна задача: висота кинутого м'яча

Квадратні рівняння описують усе, що піднімається й падає зі сталим прискоренням. Нехай висота м'яча в метрах через $t$ секунд дорівнює $h = -5t^2 + 20t + 25$ (при $g \approx 10\ \text{m/s}^2$).

Відкинути розв'язок, що не має змісту за умовою задачі, — частина відповіді, а не дрібниця.

Який спосіб вибрати?

1. Якщо $b = 0$ або $c = 0$, використовуйте швидкі окремі випадки, описані вище.
2. Пробуйте розкладання на множники, якщо коефіцієнти — невеликі цілі числа, а дискримінант — повний квадрат.
3. Виділяйте повний квадрат, якщо вам потрібна ще й вершина.
4. В усіх інших випадках застосовуйте формулу коренів: вона працює завжди.

Хоч яким способом ви розв'язуєте, перевірте корені за теоремою Вієта. Їхня сума має дорівнювати $-\frac{b}{a}$, а добуток — $\frac{c}{a}$. Для $6x^2 + x - 2 = 0$ корені $\frac{1}{2}$ і $-\frac{2}{3}$ мають суму $-\frac{1}{6}$ і добуток $-\frac{1}{3}$, саме $-\frac{b}{a}$ і $\frac{c}{a}$.

Часті помилки

• Розв'язувати $x^2 = 3x + 10$, не перенісши попередньо всі члени в один бік.
• Брати лише додатний корінь, через що в $x^2 = 49$ губиться розв'язок $x = -7$.
• Неправильно підносити до квадрата від'ємне $b$: якщо $b = -3$, то $b^2 = 9$, а не $-9$. Під час підстановки ставте дужки.
• Ділити на $2a$ лише частину чисельника.
• Прирівнювати множники не до того значення: у $(x - 5)(x + 2) = 0$ корені $5$ і $-2$, зі знаками, протилежними числам у дужках.

Звіряйте свій розв'язок із калькулятором квадратних рівнянь і будуйте параболу в побудовнику графіків, щоб побачити корені як точки перетину з віссю x.

Вибір способу на практиці

Учні часто запитують, який спосіб правильний. Усі правильні способи дають ті самі корені, тому справжнє запитання в тому, який із них швидший і надійніший для рівняння перед вами. Добре працює короткий порядок дій. Спершу пошукайте відсутній член: якщо немає вільного члена, винесіть $x$ за дужки; якщо немає члена з $x$, виразіть $x^2$ і добудьте корінь. Потім дайте собі секунд п'ятнадцять на пошук цілих множників. Якщо нічого не видно, переходьте просто до дискримінанта, а не перебирайте нові пари множників.

Виділення повного квадрата — найкращий вибір, коли задача вимагає ще й вершину, коли коефіцієнт при $x$ парний, а старший коефіцієнт дорівнює 1, або коли цього вимагає умова. Графік чудово підходить для оцінювання коренів і перевірки кількості дійсних розв'язків, але зчитування з графіка завжди наближене: використовуйте його для перевірки, а не як остаточну відповідь, якщо тільки корені явно не цілі.

На контрольній за браку часу спершу обчисліть дискримінант. Якщо це повний квадрат, рівняння розкладається над цілими чи раціональними числами; якщо він від'ємний, ви одразу знаєте, що дійсних коренів немає.

Перевірка коренів

Підстановка — найнадійніша перевірка: підставте кожен корінь у початкове рівняння й переконайтеся, що ліва частина дорівнює нулю. З ірраціональними коренями це виснажливо робити вручну, тому використовуйте суму й добуток коренів. Для $2x^2 + 4x - 3 = 0$ корені $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ мають суму $-2$, що дорівнює $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{2}$, і добуток $\frac{4 - 10}{4} = -\frac{3}{2}$, що дорівнює $\frac{c}{a}$. Обидва збігаються, отже, корені правильні.

Перевірте й те, чи має відповідь зміст за умовою задачі. У прикладі з кидком один корінь рівняння був від'ємним, а від'ємний час до кидка не має фізичного змісту: на запитання відповідає лише додатний корінь. У прикладних задачах про довжини, ціни чи кількості один із розв'язків часто відкидають із тієї самої причини, і варто одним реченням пояснити чому.

Кожен крок можна звірити з калькулятором квадратних рівнянь, який показує дискримінант, точні корені й вершину.

Поширені запитання