Виділення повного квадрата й запис через вершину: покроковий посібник

Ідея методу

Повний квадрат — це розкритий квадрат двочлена. З $(x + h)^2$ виходить $x^2 + 2hx + h^2$: вільний член дорівнює квадрату половини коефіцієнта при $x$. Під час виділення повного квадрата додають саме цю сталу, щоб вираз став повним квадратом.

Наприклад, половина 6 дорівнює 3, і $3^2 = 9$, отже, $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$. Розкривши праву частину, отримаємо $x^2 + 6x + 9 - 9$, що підтверджує рівність. Геометрично $x^2 + 6x$ — це квадрат $x$ на $x$ плюс дві смуги $3$ на $x$, а відсутній кут — квадрат $3$ на $3$ площею 9.

Та сама схема працює й зі знаком мінус. Половина $-10$ дорівнює $-5$, і $(-5)^2 = 25$, отже, $x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25$. Додавана стала завжди додатна, бо це квадрат, а знак у дужці збігається зі знаком $b$. Якщо чітко розрізняти ці два факти, можна уникнути більшості помилок у наступних кроках.

Розв'язування квадратного рівняння виділенням повного квадрата

1. Якщо коефіцієнт при $x^2$ не дорівнює 1, поділіть усі члени на цей коефіцієнт.
2. Перенесіть вільний член у праву частину.
3. Додайте до обох частин $(b/2)^2$.
4. Запишіть ліву частину як $(x + b/2)^2$ і спростіть праву.
5. Добудьте корінь з обох частин, не забувши про $\pm$, а потім виразіть $x$.

Якщо старший коефіцієнт не дорівнює 1

Формула коренів це підтверджує: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$. За непарного середнього коефіцієнта дробів не уникнути, але з ними цілком можна впоратися. Для $x^2 + 5x - 1 = 0$ половина 5 дорівнює $\frac{5}{2}$, отже, $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = 1 + \frac{25}{4} = \frac{29}{4}$ і $x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Комплексні корені

Якщо права частина від'ємна, дійсних коренів немає, але метод і далі дає комплексні корені.

Перевірка: $(-2 + 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 - 12i$, і $-5 - 12i + 4(-2 + 3i) + 13 = -5 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0$.

Запис квадратичної функції через вершину

Найчастіше виділення повного квадрата застосовують до функцій, щоб перейти від $y = ax^2 + bx + c$ до вигляду $y = a(x - h)^2 + k$, де $(h, k)$ — вершина. Оскільки квадрат ніколи не буває від'ємним, при $a > 0$ вершина — точка мінімуму, а при $a < 0$ — точка максимуму.

Найчастіша помилка в прикладі 4 — не помножити відняту 9 на винесений множник $-2$. Швидка перевірка — знову розкрити дужки в отриманому записі через вершину.

Коротка формула $h = -\frac{b}{2a}$ дає ту саму абсцису вершини; виділення повного квадрата показує, звідки ця формула береться. Калькулятор квадратних рівнянь зазначає, крім коренів, і вершину.

Виведення формули коренів

Виділення повного квадрата в загальному рівнянні $ax^2 + bx + c = 0$ при $a \neq 0$ приводить до формули коренів, і саме тому ця формула працює завжди.

Проміжний крок виходить, якщо додати до обох частин $\frac{b^2}{4a^2}$ і записати $-\frac{c}{a}$ як $-\frac{4ac}{4a^2}$. Посібник з розв'язування квадратних рівнянь пояснює, коли використовувати формулу, розкладання на множники чи цей метод.

Кола та інші застосування

Виділення повного квадрата за $x$ і за $y$ перетворює загальне рівняння кола на канонічне, з центром і радіусом.

У математичному аналізі той самий крок готує інтеграли вигляду $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$: якщо записати знаменник як $(x + 1)^2 + 4$, вийде $\frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2} + C$. Калькулятор інтегралів застосовує цю заміну, коли вона підходить.

Часті помилки

• Додавати $(b/2)^2$ лише до однієї частини.
• Виділяти повний квадрат до ділення на старший коефіцієнт, що не дорівнює 1.
• Забувати $\pm$ під час добування кореня, через що губиться один корінь.
• Використовувати $b^2$ або $b/2$ замість $(b/2)^2$.
• Неправильно зчитувати знак вершини: $(x - 3)^2$ дає $h = 3$, а $(x + 3)^2$ дає $h = -3$.

Спробуйте свій приклад у калькуляторі виділення повного квадрата, який показує кожен із кроків вище.

Що показує запис через вершину

Коли квадратичну функцію записано у вигляді $a(x - h)^2 + k$, багато її властивостей можна прочитати без подальших обчислень. Вершина — $(h, k)$, а вісь симетрії — вертикальна пряма $x = h$. Множина значень виходить одразу: якщо $a > 0$, найменше значення дорівнює $k$, а множина значень — $[k, \infty)$; якщо $a < 0$, найбільше значення дорівнює $k$, а множина значень — $(-\infty, k]$.

Можна визначити й кількість точок перетину з віссю x. З $a(x - h)^2 + k = 0$ випливає $(x - h)^2 = -\frac{k}{a}$. Якщо $-\frac{k}{a}$ додатне, точок перетину дві; якщо дорівнює нулю, вершина торкається осі; якщо від'ємне, парабола вісь не перетинає. У прикладі 3 рівняння $(x - 2)^2 = -3$ не має дійсних коренів, що узгоджується з вершиною на висоті 3 у параболи з вітками вгору. У прикладі 4 з $-2(x - 3)^2 + 8 = 0$ отримуємо $(x - 3)^2 = 4$: точки перетину — $x = 1$ і $x = 5$.

На тій самій ідеї ґрунтуються задачі на оптимізацію. Якщо прибуток від продажу за ціною $p$ дорівнює $P = -2p^2 + 12p - 10$ у сотнях доларів, то приклад 4 показує, що найбільший прибуток становить 8 сотень доларів при $p = 3$. Похідна не потрібна: квадратний член може лише опустити значення нижче висоти вершини.

Вправи з розв'язками

Спробуйте розв'язати їх, перш ніж дивитися відповіді. Кожна використовує крок із попередніх прикладів.

1. Розв'яжіть $x^2 - 10x + 21 = 0$. Розв'язання: $(x - 5)^2 = 4$, отже, $x = 3$ або $x = 7$.
2. Розв'яжіть $x^2 + 2x - 4 = 0$. Розв'язання: $(x + 1)^2 = 5$, отже, $x = -1 \pm \sqrt{5}$.
3. Запишіть $y = x^2 + 8x + 10$ через вершину. Розв'язання: $y = (x + 4)^2 - 6$, вершина $(-4, -6)$.
4. Запишіть $y = 3x^2 - 6x + 1$ через вершину. Розв'язання: $y = 3(x - 1)^2 - 2$, вершина $(1, -2)$.
5. Знайдіть центр і радіус $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$. Розв'язання: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$, центр $(-1, 4)$, радіус 3.

Якщо відповідь не збігається, знову розкрийте свій повний квадрат і порівняйте рядок за рядком із початковим виразом; різниця зазвичай показує, яку сталу неправильно додали чи відняли.

Чому цей метод варто вивчити

Якщо вже є формула коренів, напрошується питання, навіщо взагалі вчити виділення повного квадрата. Відповідь: це перетворення, а не просто прийом розв'язування. Воно переписує вираз так, що змінна трапляється лише в одному місці, всередині квадрата. Після цього вираз легко досліджувати: мінімум чи максимум, симетрія й корені видно з першого погляду.

Ця ідея трапляється по всій математиці. Конічні перерізи, як-от кола, еліпси й гіперболи, розпізнають виділенням повного квадрата за двома змінними. У статистиці в показнику степеня щільності нормального розподілу стоїть виділений повний квадрат, і багато її властивостей ґрунтуються на тому самому обчисленні. У математичному аналізі інтеграли з квадратним тричленом під коренем чи в знаменнику після цього кроку зводяться до табличних. Фізика використовує його, щоб знаходити положення рівноваги енергетичних функцій.

Тож тренування на простих рівняннях розвиває навичку, на яку спираються пізніші теми. Якщо ви можете розв'язати приклади 1–5 без підказок, ви добре підготовлені до цих застосувань, а також до екзаменаційних задач, де потрібен сам метод, а не лише корені.

Поширені запитання