Посібники, що пояснюють метод розв'язування найпоширеніших задач, із розібраними прикладами, які можна перевірити за допомогою калькуляторів.
Алгебра
Лінійне рівняння розв'язують, скасовуючи у зворотному порядку все, що зробили з невідомим, і весь час зберігаючи рівність частин. Цей посібник перетворює ідею на алгоритм із п'яти кроків і розбирає всі поширені варіанти.
Алгебра
Розкладання на множники найшвидше, коли воно вдається, виділення повного квадрата пояснює, звідки береться формула, а формула коренів працює завжди. Ось як вибрати відповідний спосіб, з перевіркою в кожному прикладі.
Алгебра
Розкладання на множники — це розкриття дужок навпаки. Завжди дійте за тим самим алгоритмом, починаючи зі спільного множника, і майже будь-який многочлен з курсу алгебри розпадеться на прості множники.
Алгебра
Система рівнянь вимагає значень, які задовольняють усі рівняння одночасно. Підстановка й додавання працюють для будь-якої лінійної системи; мистецтво полягає в тому, щоб вибрати спосіб із найменшим обсягом обчислень.
Алгебра
Спростити — означає переписати вираз у рівносильній, коротшій формі, не змінюючи його значення за жодного допустимого значення змінної. Небагато правил у розумному порядку покривають майже всі випадки.
Алгебра
Нерівність розв'язують майже як рівняння, але з одним додатковим правилом та іншим виглядом відповіді: множиною значень замість одного числа. Цей посібник розбирає всі поширені випадки.
Алгебра
Виділення повного квадрата записує $x^2 + bx$ як повний квадрат мінус стала. Цей прийом розв'язує будь-яке квадратне рівняння, дає вершину параболи, приводить до формули коренів і знову трапляється в задачах про кола та в математичному аналізі.
Функції
Логарифм відповідає на одне-єдине запитання: до якого степеня треба піднести основу, щоб отримати дане число? Усі правила й прийоми в цьому посібнику випливають із цієї ідеї.
Функції
Область визначення — це множина значень, які функція приймає на вході; множина значень — це все, що вона може видати. Область визначення знаходять, шукаючи заборонені значення; множину значень — з'ясовуючи, яких значень функція справді досягає.
Функції
Композиція функцій означає, що вихід однієї функції використовують як вхід іншої. Так із простих складників виходять складні формули, а вміння розпізнавати ці складники необхідне для обернених функцій і для правила диференціювання складеної функції в математичному аналізі.
Функції
Обернена функція скасовує те, що робить початкова. Якщо $f$ переводить 2 у 7, то обернена функція переводить 7 назад у 2. У цьому посібнику пояснено, коли обернена функція існує, як знайти її формулу і як її перевірити.
Функції
Після прямих і парабол многочлени — найпростіші функції, і їхні графіки підкоряються кільком надійним правилам. Знаючи степінь, старший коефіцієнт і корені, можна від руки побудувати ескіз майже будь-якого многочлена.
Тригонометрія
Одиничне коло перетворює тригонометрію зі списку завчених значень на картинку, яку можна читати. Кожному куту відповідає точка на колі, і координати цієї точки — це косинус і синус кута.
Тригонометрія
Тригонометрична тотожність — це рівність, правильна для будь-якого кута, за якого визначено обидві її частини. Короткого списку формул, що виводяться з одиничного кола, достатньо, щоб спрощувати вирази, знаходити точні значення, доводити твердження й розв'язувати рівняння.
Тригонометрія
Теорема синусів стверджує, що в будь-якому трикутнику кожна сторона, поділена на синус протилежного кута, дає те саме число. За її допомогою розв'язують трикутник, коли відомі два кути й сторона, а за певної обережності — і коли відомі дві сторони й кут, протилежний одній із них.
Тригонометрія
Теорема косинусів узагальнює теорему Піфагора на будь-який трикутник. За її допомогою знаходять третю сторону, коли відомі дві сторони й кут між ними, і будь-який кут, коли відомі всі три сторони.
Тригонометрія
Розв'язати трикутник означає за відомими даними знайти всі три сторони й усі три кути. Потрібний інструмент залежить від того, які три елементи вам відомі, тому перший крок завжди — визначити випадок.
Математичний аналіз
Границя описує значення, до якого наближається функція, коли її змінна прямує до деякого числа, незалежно від того, досягає функція цього значення чи ні. Границі лежать в основі похідних, інтегралів і рядів: упевнено їх обчислювати — перша справжня навичка математичного аналізу.
Математичний аналіз
Похідна функції показує, як швидко змінюється її значення зі зміною змінної, причому в конкретний момент. Графічно це кутовий коефіцієнт дотичної; алгебраїчно — границя середніх швидкостей зміни на дедалі коротших проміжках.
Математичний аналіз
Обчислювати похідні за означенням через границю виснажливо. Невеликий набір правил, кожне з яких один раз доведено з цього означення, дає змогу продиференціювати майже будь-яку формулу за кілька рядків. Цей посібник подає кожне правило, пояснює, чому воно працює, і показує, як їх поєднувати.
Математичний аналіз
Інтеграл додає нескінченно багато крихітних частин в одну загальну величину: площу, шлях, об'єм чи будь-яку іншу накопичену величину. Основна теорема аналізу пов'язує це підсумовування з первісними, і саме це дає змогу обчислювати інтеграли на практиці.
Математичний аналіз
Невизначений інтеграл — це сім'я функцій, первісних, що записується зі сталою $+ C$. Визначений інтеграл має межі інтегрування й дає одне число: площу зі знаком або накопичену загальну величину. Основна теорема аналізу дає змогу обчислювати другий за допомогою першого.
Математичний аналіз
Диференціювання неявної функції дає dy/dx для кривих, заданих рівнянням з x та y, без попереднього вираження y. Обидві частини диференціюють за x, вважаючи y функцією від x, щоб застосувати правило складеної функції, а наприкінці виражають dy/dx.
Математичний аналіз
Ряд Тейлора записує функцію як нескінченний многочлен, побудований за її похідними в одній точці. Якщо обірвати ряд після кількох членів, вийде многочлен Тейлора — легко обчислюване наближення, похибку якого можна оцінити.
Математичний аналіз
Ряд збігається, якщо його частинні суми прямують до скінченного числа. Замість того щоб обчислювати це число, ознаки збіжності вирішують, чи воно існує, і кожна пасує до певного виду членів ряду. Головне вміння — розпізнати, яка ознака пасує до якого ряду.
Лінійна алгебра
Матриця — це прямокутна таблиця чисел із рядків і стовпців. Матриці компактно зберігають дані й, головне, подають лінійні відображення та системи рівнянь. Цей посібник знайомить із позначеннями й основними операціями, приділяючи особливу увагу множенню матриць.
Лінійна алгебра
Визначник — це одне число, обчислене за квадратною матрицею. Він показує, чи оборотна матриця, як вона масштабує площі й об'єми та чи змінює орієнтацію. У цьому посібнику зібрано всі поширені способи обчислення з докладними прикладами.
Лінійна алгебра
Обернена до квадратної матриці скасовує дію матриці, як ділення скасовує множення. Матриця оборотна тоді й лише тоді, коли її визначник не дорівнює нулю. Цей посібник показує швидку формулу для матриць 2 на 2, загальний метод Гаусса — Жордана й те, як обернені матриці розв'язують системи рівнянь.
Лінійна алгебра
Власний вектор матриці — це напрям, який матриця лише розтягує чи обертає на протилежний, ніколи не повертаючи, а власне значення — коефіцієнт розтягу. Вони розкривають суть поведінки матриці й лежать в основі діагоналізації, аналізу стійкості, ланцюгів Маркова та стиснення даних.
Лінійна алгебра
Скалярний добуток ставить у відповідність двом векторам одне число, яке показує, наскільки вони напрямлені в один бік. За його допомогою знаходять кут між векторами, перевіряють, чи ортогональні вони, проєктують один вектор на інший і обчислюють у фізиці роботу сили.
Лінійна алгебра
Векторний добуток перемножує два вектори в просторі й дає новий вектор, ортогональний до обох. Його модуль дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах, тому він є стандартним інструментом для векторів нормалі, площ, моментів сил і об'ємів.
Статистика
Середнє, медіана й мода описують центр набору даних, а розмах і стандартне відхилення — його розкид. Уміння обчислювати кожну з цих мір і розуміти, коли вона дає чесне зведення, — основа статистики.
Статистика
Стандартне відхилення показує, наскільки далеко дані зазвичай віддалені від середнього. Цей посібник покроково показує обчислення, пояснює, коли ділити на n, а коли на n мінус 1, і як потім тлумачити результат.
Статистика
Імовірність вимірює шанс події за шкалою від 0 до 1. Кілька правил — для протилежної події, об'єднання, незалежних і залежних подій та умовної ймовірності — розв'язують більшість задач, а знання класичних пасток допомагає уникнути більшості помилок.
Статистика
Z-оцінка показує, на скільки стандартних відхилень значення вище чи нижче від середнього. За її допомогою можна порівнювати значення в різних шкалах і, якщо дані розподілені нормально, переводити будь-яке значення в процентиль чи ймовірність.
Статистика
Перестановки й розміщення рахують розстановки, у яких порядок важливий, а комбінації — вибірки, у яких він не має значення. Усі вони випливають із правила добутку й факторіалів і стоять за ймовірнісними розрахунками — від карткових ігор до лотереї.
Поради щодо навчання
Математику вивчають, розв'язуючи, а не читаючи. Короткі регулярні заняття з активним розв'язуванням задач, розподілені в часі й змішані за темами, разом із розумінням кожного методу формують навички, що зберігаються до іспиту й набагато довше.
Поради щодо навчання
Помилки через неуважність майже ніколи не бувають випадковими. Більшість із них потрапляє в кілька передбачуваних категорій — загублені мінуси, неправильно застосований розподільний закон, неправильно прочитані умови, — і для кожної категорії є своя звичка, яка їй запобігає.
Поради щодо навчання
Майже будь-яку відповідь з математики можна перевірити без аркуша з відповідями. Підстановка в рівняння, зворотний хід, прикидка, перевірка окремих значень і контроль одиниць знаходять переважну більшість помилок за малу частку часу, витраченого на саму задачу.
Поради щодо навчання
Добра підготовка починається за кілька тижнів. З'ясуйте, що буде на іспиті, визначте свої слабкі теми, тренуйтеся на минулих варіантах на час, сплануйте час і використайте останні дні для повторення, а не для вивчення нового.
Поради щодо навчання
Не будь-яка практика однаково цінна. Ефективно тренуватися в математиці — означає цілеспрямовано працювати над слабкими місцями, перемішувати типи задач, розподіляти заняття, змінювати форму завдань і одразу виправляти помилки, щоб кожна година залишала міцну навичку, а не швидкоплинне відчуття знайомства.
Поради щодо навчання
Математичний розділ цифрового SAT містить 44 завдання у двох адаптивних модулях по 35 хвилин, і калькулятор дозволено впродовж усього розділу. Перевіряють алгебру, математику підвищеного рівня, розв'язування задач і аналіз даних, а також геометрію й тригонометрію; винагороджують упевнену алгебру, вправне користування калькулятором і рівний темп.
Поради щодо навчання
Математичний розділ нового ACT містить 45 завдань за 50 хвилин, кожне має чотири варіанти відповіді, а дозволеним калькулятором можна користуватися весь час. Він охоплює все від арифметики до тригонометрії, тому широка впевнена база й рівний темп важливіші за будь-яку окрему поглиблену тему.
Поради щодо навчання
Іспити AP з математичного аналізу складаються з частини з вибором відповіді й частини з розгорнутими відповідями, кожна з яких дає половину оцінки, а всередині них є секції з калькулятором і без нього. Успіх залежить від упевненого диференціювання й інтегрування, чітких обґрунтувань і практики на розгорнутих завданнях минулих років.
Кожна стаття цього блогу розкриває одну тему від початку до кінця. Вона починається з означення чи правила, наводить головну формулу, а потім рядок за рядком розв'язує кілька повних прикладів, щоб ви бачили, чому допустимий кожен крок, а не лише якою виходить відповідь. Наприкінці кожного посібника — відповіді на запитання, які учні найчастіше ставлять щодо цієї теми.
Статті поділено на сім рубрик, що повторюють звичну послідовність курсу старшої школи й перших курсів університету: алгебра, функції, тригонометрія, математичний аналіз, лінійна алгебра, статистика й поради щодо навчання. Якщо ви готуєтеся з конкретного предмета, почніть із рубрики поточної теми й читайте посібники по черзі; пізніші статті спираються на раніші й посилаються на них.
Усі розібрані приклади можна перевірити відповідним калькулятором. Спочатку спробуйте розв'язати кожну задачу на папері, а потім порівняйте свої кроки з кроками розв'язувача. Приклади з цих посібників перед публікацією проходять автоматичні математичні тести, і в кожній статті зазначено дату останнього оновлення.