Тригонометрія

Тригонометричні тотожності й формули: головний список і як ними користуватися

Q: Яка тригонометрична тотожність найважливіша?

Основна тригонометрична тотожність sin^2 x + cos^2 x = 1. Вона безпосередньо випливає з одиничного кола, і з неї виводять багато інших формул, зокрема дві інші піфагорові форми й формули пониження степеня.

Q: Яке найбільше значення 3 sin x + 4 cos x?

Запишіть вираз у вигляді 5sin(x + varphi), оскільки √(3^2 + 4^2) = 5. Синусоїда з амплітудою 5 має найбільше значення 5, якого досягає при x + varphi = (π)/2.

Автор: MathSolver Pro Editorial Team · Опубліковано 25 жовтня 2026 р.

Тригонометрична тотожність — це рівність, правильна для будь-якого кута, за якого визначено обидві її частини. Короткого списку формул, що виводяться з одиничного кола, достатньо, щоб спрощувати вирази, знаходити точні значення, доводити твердження й розв'язувати рівняння.

Тотожності й рівняння

Рівність $\sin x = \frac{1}{2}$ виконується лише для певних кутів: це рівняння, яке розв'язують. Рівність $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ виконується для будь-якого кута: це тотожність, інструмент, яким користуються. Тотожності слугують для того, щоб переписати вираз у зручнішому вигляді, не змінюючи його значення.

Імовірну тотожність завжди можна перевірити чисельно. Якщо вона не виконується хоча б для одного кута, це не тотожність. Якщо вона виконується для кількох незалежних кутів, вона, імовірно, правильна, але впевненість дає лише доведення. Ця звичка до чисельної перевірки виловлює безліч помилок у знаках і дуже окупається під час навчання.

Основні співвідношення

Співвідношення для обернених величин і часток виражають решту чотири функції через синус і косинус:

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x},\quad \sec x = \frac{1}{\cos x},\quad \csc x = \frac{1}{\sin x}

Основна тригонометрична тотожність випливає з рівняння одиничного кола, $x^2 + y^2 = 1$ , де $x = \cos\theta$ і $y = \sin\theta$ . Поділивши його на $\cos^2 x$ або на $\sin^2 x$ , отримуємо ще дві форми:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1, \qquad 1 + \tan^2 x = \sec^2 x, \qquad 1 + \cot^2 x = \csc^2 x

Симетрія одиничного кола дає формули парності й непарності $\cos(-x) = \cos x$ , $\sin(-x) = -\sin x$ і $\tan(-x) = -\tan x$ , а також формули для доповнювальних кутів, наприклад $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ . Останні пояснюють назви: косинус — це синус доповнювального кута. Посібник з одиничного кола показує, звідки береться кожна з цих формул.

Формули додавання

Ці формули виражають тригонометричні значення суми чи різниці кутів через значення окремих кутів. З них випливають майже всі інші формули.

\sin(A \pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B

\cos(A \pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B, \qquad \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A\tan B}

Зверніть увагу на зміну знака у формулі косинуса: у косинуса суми стоїть мінус. Класична помилка — вважати, що $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ . Перевірка при $A = B = \frac{\pi}{2}$ показує, що це не так: ліва частина дорівнює $\sin\pi = 0$ , а права — 2.

Приклад 1: точне значення $\sin 75^\circ$

Запишіть $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ — два кути з відомими значеннями.
Застосуйте формулу додавання: $\sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}$ .
Спростіть: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659$ , що збігається з калькулятором.

Аналогічно $\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.2679$ .

Формули подвійного кута й пониження степеня

Якщо у формулах додавання покласти $B = A$ , вийдуть формули подвійного кута. Для косинуса є три рівносильні форми, які отримують заміною $\sin^2$ або $\cos^2$ за допомогою основної тригонометричної тотожності.

\sin 2x = 2\sin x\cos x, \qquad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x

Якщо виразити квадрати з двох останніх форм, вийдуть формули пониження степеня, що перетворюють квадрати на лінійні вирази від подвійного кута. У математичному аналізі вони незамінні, бо $\sin^2 x$ важко проінтегрувати безпосередньо.

\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

Наприклад, $\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$ . Замінивши в цих формулах $x$ на $\frac{x}{2}$ , отримуємо формули половинного кута, наприклад $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$ .

Як довести тотожність

Довести тотожність означає крок за кроком перетворювати одну частину, доки не вийде інша. Не поводьтеся з нею як із рівнянням, виконуючи ту саму дію з обома частинами: так ви припускаєте те, що хочете довести. У більшості випадків працюють такі стратегії:

Почніть зі складнішої частини: там більше що спрощувати.
Запишіть усе через синус і косинус.
Шукайте конструкції з основної тригонометричної тотожності, такі як $1 - \cos^2 x$ , і замінюйте їх.
Зводьте дроби до спільного знаменника чи розбивайте дріб на два.
Виносьте спільний множник чи домножуйте на спряжений вираз, наприклад $1 + \sin x$ , якщо в знаменнику стоїть сума.
Увесь час тримайте в полі зору цільову частину, щоб кожен крок наближав вас до неї.

Приклад 2: доведіть $\sec x - \cos x = \sin x\tan x$

Почніть зліва й запишіть $\sec x$ як $\frac{1}{\cos x}$ : $\frac{1}{\cos x} - \cos x$ .
Спільний знаменник: $\frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}$ .
Основна тригонометрична тотожність: $\frac{\sin^2 x}{\cos x}$ .
Розбиття: $\sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x\tan x$ , а це і є права частина.

Приклад 3: доведіть $\tan x + \cot x = \sec x\csc x$

Ліва частина через синус і косинус: $\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}$ .
Спільний знаменник: $\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x} = \frac{1}{\sin x\cos x}$ .
Розбиття: $\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{1}{\sin x} = \sec x\csc x$ .

Коротша тотожність пов'язує дві родини формул: $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$ .

Тотожності під час розв'язування рівнянь

Тотожності часто перетворюють тригонометричне рівняння на квадратне рівняння відносно однієї функції. Розв'яжіть це рівняння, а потім знайдіть усі кути за допомогою одиничного кола.

Приклад 4: розв'яжіть $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ на $[0, 2\pi)$

Розгляньте його як квадратне рівняння відносно $\sin x$ і розкладіть на множники: $(2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0$ .
$\sin x = 1$ дає $x = \frac{\pi}{2}$ .
$\sin x = -\frac{1}{2}$ дає $x = \frac{7\pi}{6}$ і $x = \frac{11\pi}{6}$ .
Розв'язки: $\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ .

Приклад 5: розв'яжіть $\cos 2x = \sin x$ на $[0, 2\pi)$

Візьміть форму $\cos 2x$ , що містить лише синус: $1 - 2\sin^2 x = \sin x$ .
Перенесіть усе в одну частину: $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ , тобто $(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$ .
$\sin x = \frac{1}{2}$ дає $\frac{\pi}{6}$ і $\frac{5\pi}{6}$ ; $\sin x = -1$ дає $\frac{3\pi}{2}$ .
Перевірка для $x = \frac{\pi}{6}$ : $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$ .

Не діліть обидві частини на тригонометричну функцію, наприклад на $\sin x$ : так можна втратити розв'язки, за яких вона дорівнює нулю. Перенесіть усе в одну частину й розкладіть на множники.

Розкладання на множники виконують так само, як для звичайних квадратних рівнянь; прочитайте, як розв'язувати квадратні рівняння, якщо хочете це повторити.

Які формули варто вивчити напам'ять

Не треба завчати кожну формулу окремо. Запам'ятайте основну тригонометричну тотожність, формули додавання для синуса й косинуса та означення решти чотирьох функцій. Усе інше виводиться в один-два рядки: формули подвійного кута — з формул додавання при $B = A$ ; інші форми основної тотожності — діленням; пониження степеня — вираженням квадрата з формули подвійного кута для косинуса; а формули різниці — з формул додавання разом із формулами парності й непарності.

В умовах екзаменаційного стресу надійніше вміти вивести формулу, ніж пригадувати її, бо дорогою можна себе перевірити. Крім того, на багатьох іспитах дозволено довідник формул: насправді перевіряють уміння вибрати потрібну формулу, а воно приходить лише з практикою на різноманітних задачах.

Часті помилки

Писати $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ або $\sin 2x = 2\sin x$ .
Помилятися зі знаком у $\cos(A + B)$ , де стоїть мінус.
Плутати $\sin^2 x$ , тобто $(\sin x)^2$ , із $\sin(x^2)$ .
Працювати одночасно з обома частинами тотожності, ніби це рівняння.
Ділити рівняння на тригонометричну функцію й утрачати розв'язки.

Калькулятор тригонометричних тотожностей перевіряє, чи тотожні два вирази, і пропонує шлях спрощення — добрий спосіб перевірити власні доведення.

Де тотожності трапляються знову

Тригонометричні тотожності — не просто вправа з розділу про тригонометрію. У математичному аналізі похідну синуса виводять з формули додавання й двох границь, інтеграли від степенів синуса й косинуса спираються на пониження степеня, а тригонометрична підстановка використовує $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ , щоб позбутися коренів на кшталт $\sqrt{1 + x^2}$ .

У фізиці й техніці сума двох хвиль однакової частоти знову є хвилею тієї самої частоти, і формула додавання показує, як саме. Якщо записати $a\sin x + b\cos x$ у вигляді $R\sin(x + \varphi)$ з $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ , одразу виходить амплітуда результівної хвилі. Наприклад, у $3\sin x + 4\cos x$ амплітуда 5: найбільше значення дорівнює 5, а найменше $-5$ . Якщо розкрити $5\sin(x + \varphi)$ за формулою додавання й порівняти коефіцієнти, отримаємо $\cos\varphi = \frac{3}{5}$ і $\sin\varphi = \frac{4}{5}$ .

Обробка сигналів, повороти в комп'ютерній графіці й теореми для розв'язування трикутників спираються на той самий невеликий набір формул; тому володіння ним окупається роками, ще довго після завершення розділу про тригонометрію.

Поширені запитання

Яка тригонометрична тотожність найважливіша?

Основна тригонометрична тотожність $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Вона безпосередньо випливає з одиничного кола, і з неї виводять багато інших формул, зокрема дві інші піфагорові форми й формули пониження степеня.

Як перевірити, чи правильна тотожність?

Підставте в обидві частини кілька неособливих кутів, наприклад $x = 0.7$ і $x = 2$ . Якщо хоча б одне значення не збігається, це не тотожність. Якщо збігаються всі, вона, найімовірніше, правильна, і можна шукати доведення.

Чому не можна працювати з обома частинами тотожності?

Однакова дія з обома частинами передбачає, що вони вже рівні, а саме це й треба довести. Крім того, деякі дії, наприклад піднесення до квадрата, можуть перетворити хибне твердження на істинне. Перетворення однієї частини на іншу позбавляє обох проблем.

Яку форму cos 2x використовувати?

Вибирайте форму, за якої залишається лише одна тригонометрична функція. Якщо решта рівняння містить лише синус, беріть $1 - 2\sin^2 x$ ; якщо лише косинус — $2\cos^2 x - 1$ .

Яке найбільше значення 3 sin x + 4 cos x?

Запишіть вираз у вигляді $5\sin(x + \varphi)$ , оскільки $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ . Синусоїда з амплітудою 5 має найбільше значення 5, якого досягає при $x + \varphi = \frac{\pi}{2}$ .

MathSolver Pro Editorial Team

Редакція й математична вичитка

Наша редакція пише кожен посібник так, щоб він пояснював міркування за кожним методом, а не лише відповідь. Кожен розібраний приклад перед публікацією перевіряється рушіями розв'язування сайту й автоматичними тестами, а статті оновлюються, щойно змінюється метод чи формат тесту.