Одиничне коло: радіани, опорні кути й точні значення

Що таке одиничне коло?

Одиничне коло — це коло радіуса 1 із центром у початку координат, задане рівнянням $x^2 + y^2 = 1$. Кути відраховують від додатної півосі x: проти годинникової стрілки для додатних кутів і за годинниковою стрілкою для від'ємних. Промінь, з якого починається кут, називають початковою стороною, а промінь, на якому він закінчується, — кінцевою стороною.

Для будь-якого кута $\theta$ кінцева сторона перетинає коло рівно в одній точці. Означення, яке робить одиничне коло таким корисним, звучить так: ця точка має координати $(\cos\theta, \sin\theta)$. Тангенс — це їхнє відношення:

Для гострих кутів це збігається з означеннями в прямокутному трикутнику, які ви, можливо, уже знаєте. Опустіть перпендикуляр із точки на вісь x: вийде прямокутний трикутник із гіпотенузою 1, прилеглим катетом $x$ і протилежним катетом $y$. Отже, $\cos\theta = \frac{x}{1}$ і $\sin\theta = \frac{y}{1}$. Одиничне коло поширює ці означення на всі кути, зокрема тупі, від'ємні й дуже великі.

Градуси й радіани

Повний оберт становить $360^\circ$, тобто $2\pi$ у радіанах. Радіан — це кут, що вирізає дугу завдовжки з радіус. На одиничному колі, радіус якого дорівнює 1, радіанна міра кута точно дорівнює довжині відповідної дуги; тому радіан — природна одиниця в математичному аналізі.

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$.
• $150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
• У градусах $\frac{7\pi}{4}$ радіан $= \frac{7}{4} \times 180^\circ = 315^\circ$.
• Один радіан приблизно дорівнює $57.3^\circ$.

Особливі кути першої чверті

Три кути мають точні значення, що беруться з двох відомих трикутників. Кут $45^\circ$ виходить з рівнобедреного прямокутного трикутника з гіпотенузою 1, обидва катети якого дорівнюють $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Кути $30^\circ$ і $60^\circ$ виходять з половини рівностороннього трикутника зі стороною 1, катети якої дорівнюють $\frac{1}{2}$ і $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• $0$: точка $(1, 0)$, отже, $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$.
• $\frac{\pi}{6}$: точка $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$, отже, $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• $\frac{\pi}{4}$: точка $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, отже, $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.
• $\frac{\pi}{3}$: точка $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, отже, $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
• $\frac{\pi}{2}$: точка $(0, 1)$, отже, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, а $\tan\frac{\pi}{2}$ не визначений.

Запам'ятати допомагає закономірність: синуси кутів $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ дорівнюють $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$, а косинуси — той самий список у зворотному порядку. Крім того, усі точки задовольняють $x^2 + y^2 = 1$; наприклад, $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

Зведення до першої чверті

Звичні шістнадцять точок не треба завчати окремо. Кожен кут має опорний кут — гострий кут, який кінцева сторона утворює з віссю x. Координати кута за модулем збігаються з координатами опорного кута; змінюються лише знаки залежно від чверті.

• Перша чверть (від $0$ до $\frac{\pi}{2}$): $x$ і $y$ додатні, тому додатні всі три функції.
• Друга чверть (від $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$): $x$ від'ємний, $y$ додатний, тому додатний лише синус.
• Третя чверть (від $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$): обидві координати від'ємні, тому додатний лише тангенс.
• Четверта чверть (від $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$): $x$ додатний, $y$ від'ємний, тому додатний лише косинус.

Аналогічно в $\frac{3\pi}{4}$ опорний кут $\frac{\pi}{4}$ у другій чверті, що дає точку $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ і $\tan\frac{3\pi}{4} = -1$.

Від'ємні кути й кути, більші за повний оберт

Якщо додати чи відняти повний оберт, $2\pi$, ми потрапляємо в ту саму точку, тому синус і косинус повторюються через кожні $2\pi$. Щоб обчислити великий кут, віднімайте кратні $2\pi$, доки не отримаєте кут між 0 і $2\pi$; для від'ємного кута додавайте кратні $2\pi$. Кути з тією самою кінцевою стороною дають однакові значення.

• $\frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$: відповідає тій самій точці, що й $\frac{\pi}{4}$, тобто $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
• $-\frac{\pi}{6}$ відповідає тій самій точці, що й $\frac{11\pi}{6}$, тому $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ і $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
• $750^\circ = 720^\circ + 30^\circ$, тому $\sin 750^\circ = \frac{1}{2}$.

Симетрія відносно осі x дає ще два правила: $\cos(-\theta) = \cos\theta$, тобто косинус — парна функція, і $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, тобто синус — непарна. Тангенс має коротший період, $\pi$, бо точки для $\theta$ і $\theta + \pi$ діаметрально протилежні й дають те саме відношення $\frac{y}{x}$.

Основна тригонометрична тотожність і решта значень

Оскільки всі точки кола задовольняють $x^2 + y^2 = 1$, усі кути задовольняють найважливіше співвідношення тригонометрії:

Знак визначає чверть; саме співвідношення дає лише модуль. Посібник з тригонометричних тотожностей виводить звідси безліч інших тотожностей.

Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь на колі

Щоб розв'язати рівняння на кшталт $\sin\theta = \frac{1}{2}$ при $0 \le \theta < 2\pi$, знайдіть усі точки кола з ординатою $\frac{1}{2}$. Їх дві: одна в першій чверті при $\frac{\pi}{6}$ і одна в другій чверті при $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Аналогічно для $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ потрібні точки з абсцисою $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, які лежать при $\frac{3\pi}{4}$ у другій чверті й при $\frac{5\pi}{4}$ у третій. Якщо потрібні всі розв'язки, додайте $2\pi k$ для будь-якого цілого $k$: $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ або $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Клавіша арксинуса чи арккосинуса на калькуляторі дає лише одну відповідь. Одиничне коло показує, де розташований другий розв'язок, чого калькулятор ніколи не робить.

Як навчатися ефективно

Завчати шістнадцять точок як окремі факти виснажливо й ненадійно. Краще ґрунтовно опанувати три речі: три точки першої чверті для $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ і $\frac{\pi}{3}$; знаходження опорного кута; і знаки в кожній чверті. З цим ви впораєтеся з будь-яким особливим кутом за лічені секунди.

Протягом тижня раз на день малюйте коло з пам'яті й позначайте кути в градусах і радіанах. Потім перевіряйте себе на випадкових кутах, зокрема від'ємних чи більших за $2\pi$. Калькулятор одиничного кола дає точні значення й опорний кут для будь-якого введення, тож ви одразу перевірите свої відповіді. Пізніші теми, як-от теорема синусів і математичний аналіз із тригонометричними функціями, передбачають цю впевненість.

Часті помилки

• Плутати координати: абсциса — це косинус, ордината — синус.
• Користуватися калькулятором у режимі градусів у задачі з радіанами чи навпаки.
• Відраховувати опорний кут від осі y, а не від осі x.
• Зазначати для рівняння на кшталт $\sin\theta = \frac{1}{2}$ лише один розв'язок.
• Забувати, що тангенс не визначений там, де косинус дорівнює нулю, тобто при $\frac{\pi}{2}$ і при $\frac{3\pi}{2}$.

Від одиничного кола до графіків синуса й косинуса

Уявіть точку, що зі сталою швидкістю рухається проти годинникової стрілки одиничним колом. Її висота над віссю x за першу чверть оберту зростає від 0 до 1, після половини оберту знову дорівнює 0, після трьох чвертей опускається до $-1$ і після повного оберту знову дорівнює 0. Якщо побудувати цю висоту залежно від кута, вийде знайома синусоїда $y = \sin x$. Якщо побудувати горизонтальне положення, вийде $y = \cos x$ — та сама хвиля, зсунута на чверть оберту вліво.

Усе про ці графіки можна прочитати з кола. Їхня множина значень — $[-1, 1]$, бо координати точки на колі радіуса 1 за модулем ніколи не перевищують 1. Період дорівнює $2\pi$, бо повний оберт повертає точку в початкове положення. Синус дорівнює нулю при кратних $\pi$, де точка перетинає вісь x, а косинус — при непарних кратних $\frac{\pi}{2}$, де вона перетинає вісь y. Якщо бачити в цих графіках запис колового руху, стає зрозуміло, чому тригонометричні функції описують припливи, звукові хвилі, змінний струм і будь-яке явище, що повторюється циклами.

Поширені запитання