Теорема косинусів із прикладами

Формула

Позначте трикутник як зазвичай: кути $A$, $B$, $C$ і протилежні сторони $a$, $b$, $c$. Теорема косинусів має три записи, по одному для кожної сторони, і всі вони побудовані за однією схемою:

Читайте її так: квадрат сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус поправковий доданок. Кут у цьому доданку лежить навпроти сторони з лівої частини й водночас є кутом між двома сторонами з правої частини. При $C = 90^\circ$ маємо $\cos C = 0$, і поправка зникає: залишається $c^2 = a^2 + b^2$. Отже, теорема Піфагора — окремий випадок.

Якщо виразити косинус, вийде форма для обчислення кутів:

Коротке доведення через координати

Розмістіть вершину $C$ у початку координат, а сторону $a$ — на додатній півосі x: тоді вершина $B$ лежить у точці $(a, 0)$. Вершина $A$ віддалена від початку координат на $b$ у напрямку кута $C$, тому її координати дорівнюють $(b\cos C, b\sin C)$.

Сторона $c$ — це відстань від $A$ до $B$. За формулою відстані $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$. Після розкриття дужок отримуємо $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$, а оскільки $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$, це перетворюється на $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. Доведення правильне як для гострого, так і для тупого кута $C$, бо координати автоматично враховують знаки.

Та сама тотожність виникає у векторній формі, $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$, і саме тому за допомогою скалярного добутку можна знайти кут між двома векторами.

Знаходження сторони: дві сторони й кут між ними

Якщо відомі дві сторони й кут між ними (СКС), почати з теореми синусів не можна, бо жодна сторона не утворює пари з протилежним кутом. Теорема косинусів одразу дає третю сторону.

Знаходження кутів: відомі всі три сторони

Якщо відомі всі три сторони (ССС), використовуйте форму для косинуса для кожного кута. Почніть із найбільшого кута, що лежить навпроти найдовшої сторони. Якщо він тупий, його косинус від'ємний, і арккосинус опрацьовує це правильно, адже він дає кути від $0^\circ$ до $180^\circ$. Коли найбільший кут відомий, два інші обов'язково гострі, і тоді навіть теорема синусів може довершити решту без жодної неоднозначності.

Якщо три довжини не можуть утворити трикутник, це видно з формули: косинус виходить за межі $[-1, 1]$. Для сторін 3, 4 і 8 для кута навпроти 8 вийшло б $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$, що неможливо, у згоді з нерівністю трикутника $3 + 4 < 8$.

Гострокутний, прямокутний чи тупокутний без калькулятора

Знак $a^2 + b^2 - c^2$ збігається зі знаком $\cos C$. Якщо $c$ — найдовша сторона, виходить швидка класифікація:

• $c^2 < a^2 + b^2$: найбільший кут гострий, отже, трикутник гострокутний.
• $c^2 = a^2 + b^2$: трикутник прямокутний.
• $c^2 > a^2 + b^2$: трикутник тупокутний.

Для сторін 5, 7 і 10 маємо $100 > 74$: трикутник тупокутний, що підтвердив приклад 3. Для 6, 8 і 9 маємо $81 < 100$: він гострокутний.

Площа за трьома сторонами: формула Герона

Якщо поєднати теорему косинусів із формулою площі $\frac{1}{2}ab\sin C$, вийде формула Герона, у якій використовують лише довжини сторін. Нехай $s = \frac{a + b + c}{2}$ — півпериметр. Тоді:

Для сторін 5, 7 і 10 маємо $s = 11$, а площа дорівнює $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$. Для перевірки $\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ дає той самий результат, 16,25.

Вибір між двома теоремами

Використовуйте теорему косинусів у випадках СКС і ССС — двох випадках без пари зі сторони й протилежного кута. Використовуйте теорему синусів, коли у вас є сторона й протилежний їй кут. У змішаних задачах зазвичай спершу застосовують теорему косинусів, а теорема синусів завершує розв'язання. Посібник з розв'язування трикутників збирає всі випадки в одному місці.

Практична перевага теореми косинусів у тому, що для кута вона ніколи не дає неоднозначної відповіді: кожному косинусу між $-1$ і 1 відповідає рівно один кут між $0^\circ$ і $180^\circ$. Теорема синусів, навпаки, не відрізняє гострого кута від суміжного з ним тупого. Тому багато підручників радять знаходити найбільший кут через косинус щоразу, коли можливий тупий кут.

Часті помилки

• Спершу обчислити $a^2 + b^2 - 2ab$, а потім помножити на $\cos C$. Добуток $2ab\cos C$ треба обчислити до віднімання.
• Узяти кут, що не міститься між двома даними сторонами.
• Забути підсумковий квадратний корінь під час знаходження сторони.
• Плутати градуси й радіани на калькуляторі.
• Надто рано округлити $c$ і потім використати це округлене значення для знаходження кутів.

Калькулятор теореми косинусів розв'язує випадки СКС, ССС та інші, показуючи кожну підстановку. Щоб повторити точні значення косинусів особливих кутів, скористайтеся калькулятором одиничного кола.

Де застосовують теорему косинусів

Будь-яка ситуація з двома відомими відстанями й кутом між ними — задача для теореми косинусів. Штурмани обчислюють з її допомогою, наскільки далеко судно від порту після двох відрізків шляху з різними курсами. Інженери визначають довжину розпірки чи троса, що з'єднує кінці двох балок, які утворюють відомий кут. У робототехніці кут, на який має повернутися кожен суглоб маніпулятора з двох ланок, щоб досягти точки, знаходять, виражаючи кут з теореми косинусів, оскільки довжини обох ланок і відстань до цілі відомі.

У науці про дані та сама формула вимірює, наскільки схожі два списки чисел. Якщо розглядати кожен список як вектор, косинус кута між ними, обчислений через скалярний добуток, називають косинусною подібністю; її застосовують у пошукових системах і рекомендаційних системах. Геометрія та сама, що й у трикутнику; змінюється лише кількість вимірів.

Розв'язані вправи

1. Сторони 4 і 6 утворюють кут $120^\circ$. Знайдіть третю сторону. Розв'язання: $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$, оскільки $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.
2. Знайдіть найбільший кут трикутника зі сторонами 7, 8 і 13. Розв'язання: $\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$, отже, кут дорівнює рівно $120^\circ$.
3. Трикутник зі сторонами 9, 12 і 15 гострокутний, прямокутний чи тупокутний? Розв'язання: $81 + 144 = 225 = 15^2$, отже, він прямокутний.
4. Знайдіть площу трикутника зі сторонами 13, 14 і 15. Розв'язання: $s = 21$, площа $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$.

Поширені запитання