Калькулятор скалярного добутку

Про калькулятор скалярного добутку

Скалярний добуток — найпростіший спосіб порівняти два вектори. Відповідні координати перемножуються, а результати додаються; виходить одне число, яке показує, наскільки вектори напрямлені в один бік. За допомогою цього числа знаходять кут між векторами, перевіряють, чи ортогональні вони, і проєктують один вектор на інший.

Калькулятор приймає вектори з будь-якою кількістю координат, якщо в обох їх порівну. Він показує добутки координат, їхню суму, обидві довжини, кут у градусах, а також скалярну й векторну проєкції першого вектора на другий. Якщо один із векторів нульовий, він пояснює, чому кут визначити не можна.

Що таке скалярний добуток?

Скалярний добуток векторів $\mathbf{u} = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$ і $\mathbf{v} = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ — це $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ . На відміну від векторного добутку, результат — число, а не вектор.

Геометрично $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta$ , де $\theta$ — кут між векторами. Скалярний добуток додатний, якщо кут гострий, дорівнює нулю, якщо вектори ортогональні, і від'ємний, якщо кут тупий.

Як користуватися калькулятором скалярного добутку

Введіть координати першого вектора через кому, наприклад 1, 2, 3.
Введіть другий вектор із тією самою кількістю координат.
Натисніть «Обчислити».
Перегляньте скалярний добуток, довжини векторів і кут між ними.
Використовуйте крок із проєкцією, якщо вам потрібна складова одного вектора в напрямку іншого.

Формули

Скалярний добуток

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i

Довжина вектора

|\mathbf{u}| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}

Кут між двома векторами

\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}

Проєкція u на v

\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\,\mathbf{v}

Розв'язаний приклад: ⟨1,2,3⟩ · ⟨4,−5,6⟩

У прикладі використано $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ і $\mathbf{v} = \langle 4, -5, 6 \rangle$ . Добутки координат дорівнюють 4, $-10$ і 18, їхня сума дорівнює 12.

Довжини дорівнюють $\sqrt{14}$ і $\sqrt{77}$ , тому $\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{77}}$ , а кут становить приблизно $68.56°$ . Додатний скалярний добуток підтверджує, що кут гострий.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

u v = 12

Як ми зрозуміли вашу задачу

Скалярний добуток двох 3-вимірних векторів.

\langle 1, 2, 3 \rangle \cdot \langle 4, -5, 6 \rangle

Покроковий розв'язок

Перемножуємо відповідні координати
$(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
Додаємо добутки
$u v = 4 - 10 + 18 = 12$
Знаходимо довжини
$|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
Кут між векторами
$\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ рад})$
Скалярна й векторна проєкції u на v
$\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$

Використані формули

Скалярний добуток
$u \cdot v = \sum u_i v_i = |u||v|\cos\theta$

Скалярний добуток додатний, тому кут між векторами гострий.

Перевірка

Обчислено точно; скалярний добуток симетричний, тому v·u дає те саме значення.

Докладне пояснення

Як виміряти кут і перевірити ортогональність

Якщо виразити з геометричної формули $\cos\theta$ , вийде кут між будь-якими двома ненульовими векторами. Оскільки гострий кут чи тупий, визначається лише знаком косинуса, для цього досить знака скалярного добутку — ще до того, як ви знайдете будь-яку довжину.

Два вектори ортогональні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю. Для $\langle 1, 0 \rangle$ і $\langle 0, 1 \rangle$ скалярний добуток дорівнює 0, а кут дорівнює $90°$ . Ця перевірка працює в будь-якій вимірності; тому починаючи з вимірності чотири, де кути вже не намалювати, ортогональність визначають через скалярний добуток.

Ортогональні проєкції

Скалярна проєкція $\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ — це довжина зі знаком тієї «тіні», яку $\mathbf{u}$ відкидає на пряму в напрямку $\mathbf{v}$ . Векторна проєкція — це одиничний вектор у напрямку $\mathbf{v}$ , помножений на цю довжину. Якщо відняти проєкцію від $\mathbf{u}$ , залишиться складова, ортогональна до $\mathbf{v}$ : на цій ідеї ґрунтуються процес ортогоналізації Грама — Шмідта й метод найменших квадратів.

У фізиці робота сталої сили $\mathbf{F}$ , що переміщує тіло на вектор $\mathbf{d}$ , дорівнює $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$ : роботу виконує лише складова сили вздовж напрямку руху.

Властивості

Скалярний добуток симетричний, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$ , і дистрибутивний щодо додавання. Скалярний добуток вектора на самого себе дорівнює квадрату його довжини — саме так і обчислюють довжини. Якщо помножити один із векторів на $k$ , скалярний добуток теж помножиться на $k$ , а кут за додатного $k$ не зміниться.

Скалярний добуток пов'язаний і з теоремою косинусів. Розкривши $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v})$ , отримуємо $|\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ — саме теорему косинусів для трикутника, утвореного двома векторами та їхньою різницею. Ця тотожність пояснює, чому формула кута працює.

Типові помилки

Очікувати вектор у відповіді; скалярний добуток — одне число.
Перемножувати невідповідні координати або брати вектори різної довжини.
Забувати добути квадратний корінь під час обчислення довжин.
Залишати калькулятор у режимі радіан, коли кут потрібен у градусах.
Проєктувати не на той вектор; $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}$ і $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}$ різні.

Поради

Спочатку перевірте ортогональність: нульовий скалярний добуток означає прямий кут.
За знаком скалярного добутку заздалегідь визначайте, гострий кут чи тупий.
Якщо заздалегідь нормувати вектори до довжини 1, скалярний добуток одразу дорівнює $\cos\theta$ .
Використовуйте калькулятор векторного добутку, якщо потрібен вектор, ортогональний до обох.
Використовуйте матричний калькулятор, щоб знайти багато скалярних добутків одразу як добуток матриць.
Запишіть два вектори стовпцями поруч, щоб відповідні координати стояли одна навпроти одної перед множенням.

Поширені запитання

Як знайти скалярний добуток?

Перемножте відповідні координати двох векторів і додайте добутки. Для ⟨1, 2, 3⟩ і ⟨4, −5, 6⟩ виходить 4 − 10 + 18 = 12.

Як знайти кут між двома векторами?

Поділіть скалярний добуток на добуток довжин і візьміть арккосинус. Калькулятор показує кут у градусах.

Що означає нульовий скалярний добуток?

Що вектори ортогональні (перпендикулярні), якщо жоден із них не нульовий.

Чи може скалярний добуток бути від'ємним?

Так. Від'ємний скалярний добуток означає, що кут між векторами більший за 90°.

Чи працює калькулятор у вимірності понад три?

Так. Вектори можуть мати скільки завгодно координат, якщо в обох їх порівну.

Чим скалярний добуток відрізняється від векторного?

Скалярний добуток дає число, що вимірює узгодженість напрямків, і працює в будь-якій вимірності. Векторний добуток дає вектор, ортогональний до обох даних векторів, і визначений лише для векторів тривимірного простору.

Що буде, якщо один із векторів нульовий?

Скалярний добуток дорівнює 0, але кут не визначений, бо нульовий вектор не має напрямку. Калькулятор повідомить про це замість того, щоб видавати кут.

Спробуйте калькулятор скалярного добутку

Введіть два вектори й отримайте скалярний добуток, кут між ними та проєкцію з поясненням кожного кроку.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач