Скалярний добуток векторів: пояснення

Формула через координати

Скалярний добуток бере два вектори з однаковою кількістю координат і дає одне число, а не вектор. Щоб його обчислити, перемножте відповідні координати й додайте результати:

Формула працює в будь-якій розмірності, тому скалярний добуток такий поширений в аналізі даних, де вектори можуть мати тисячі координат. Він же — основна цеглинка множення матриць: кожен елемент добутку матриць — це скалярний добуток рядка на стовпець.

Геометрична формула й кут між векторами

Скалярний добуток має й другий, геометричний опис. Якщо $\theta$ — кут між двома векторами, відкладеними від однієї точки, то:

Тут $|\mathbf{a}|$ — довжина, або модуль, вектора $\mathbf{a}$. Дві формули завжди дають те саме, що випливає з теореми косинусів, застосованої до трикутника зі сторонами $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ і $\mathbf{a} - \mathbf{b}$. Об'єднавши їх, отримуємо зручний спосіб знайти кут між будь-якими двома векторами:

Про що свідчить знак

Оскільки довжини додатні, скалярний добуток має той самий знак, що й $\cos\theta$. Так можна швидко оцінити кут, не обчислюючи його:

• Додатний: кут гострий, менший за 90 градусів, і вектори напрямлені приблизно в один бік.
• Нуль: вектори перпендикулярні, тобто ортогональні.
• Від'ємний: кут тупий, більший за 90 градусів, і вектори напрямлені приблизно в протилежні боки.

Найкорисніший випадок — нульовий. Наприклад, $(3, 4) \cdot (4, -3) = 12 - 12 = 0$: отже, ці вектори ортогональні. На площині, якщо поміняти місцями координати вектора й змінити знак однієї з них, завжди виходить ортогональний вектор — зручний прийом, щоб знайти вектор нормалі до прямої.

Модулі й одиничні вектори

Скалярний добуток вектора на самого себе дорівнює квадрату його модуля, бо кут дорівнює нулю і $\cos 0 = 1$:

Отже, модуль $(2, -1, 3)$ дорівнює $\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$. Поділивши вектор на його модуль, отримуємо одиничний вектор довжини 1 того самого напряму. Одиничні вектори зручні тим, що скалярний добуток двох одиничних векторів — це просто косинус кута між ними.

Проєкція одного вектора на інший

Ортогональна проєкція $\mathbf{a}$ на $\mathbf{b}$ — це тінь, яку $\mathbf{a}$ відкидає на пряму вектора $\mathbf{b}$, коли світло падає перпендикулярно до цієї прямої. Скалярний добуток дає її безпосередньо:

Число $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$, тут приблизно 4,427, — скалярна проєкція $\mathbf{a}$ на $\mathbf{b}$, тобто довжина тіні зі знаком. Проєкції розкладають вектор на складову вздовж напряму й складову, ортогональну до нього; цей крок трапляється всюди, від фізики до методу найменших квадратів у статистиці.

Робота сили

У фізиці роботу виконує лише та частина сили, що діє в напрямку руху. Тому робота сталої сили $\mathbf{F}$ на переміщенні $\mathbf{d}$ — це скалярний добуток: $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.

Властивості й застосування

• Комутативність: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$.
• Дистрибутивність: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$.
• Скалярний множник можна виносити: $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$.
• Нерівність Коші — Буняковського: $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$; вона гарантує, що формула косинуса завжди дає значення від $-1$ до 1.

Поза геометрією скалярний добуток лежить в основі косинусної подібності, за допомогою якої пошукові й рекомендаційні системи вимірюють, наскільки схожі два документи чи два користувачі; освітлення в 3D-графіці, де яскравість залежить від скалярного добутку нормалі поверхні на напрям світла; і нейронних мереж, нейрони яких обчислюють скалярні добутки входів на ваги. Калькулятор скалярного добутку покроково знаходить добуток, кут і проєкції, а калькулятор векторного добутку відповідає за інший спосіб множити вектори, про який розповідає наш посібник із векторного добутку.

Класична геометрична задача

Скалярний добуток розв'язує деякі геометричні задачі напрочуд швидко. Який кут утворює діагональ куба з одним із його ребер? Розмістіть куб однією вершиною в початку координат, з ребрами довжини 1 уздовж осей. Діагональ іде від початку координат до $(1, 1, 1)$, а ребро — до $(1, 0, 0)$.

Їхній скалярний добуток дорівнює 1, довжина діагоналі $\sqrt{3}$, довжина ребра 1, тому $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ і $\theta \approx 54.7^\circ$. У класичній геометрії довелося б будувати всередині куба прямокутний трикутник і ретельно міркувати про його сторони; з векторами вистачає трьох рядків. Тим самим міркуванням знаходять кут між будь-якими двома прямими, площинами чи хімічними зв'язками, якщо їхні напрями можна задати векторами.

Типові помилки

• Записувати результат як вектор, наприклад $(8, 0, -6)$, а не як суму 2.
• Забувати квадратні корені під час обчислення модулів для формули кута.
• Ділити у формулі ортогональної проєкції на $|\mathbf{b}|$ замість $|\mathbf{b}|^2$.
• Плутати градуси й радіани на калькуляторі під час обчислення $\cos\theta$ чи оберненої функції.
• Робити висновок, що два вектори ортогональні, коли один із них насправді нульовий.

Знак — добра перевірка на правдоподібність. Якщо на вашому рисунку два вектори явно напрямлені в схожі боки, скалярний добуток має бути додатним; якщо обчислення дало від'ємне число, шукайте помилку в знаку якоїсь координати.

Вправи

Розв'яжіть їх, а потім звіртеся з розв'язками нижче. Спочатку обчисліть $(1, 3, -2) \cdot (4, -1, 5)$; добутки дорівнюють 4, $-3$ і $-10$, тому результат $-9$, а від'ємне значення показує, що кут тупий. Потім знайдіть $k$, за якого $(2, k)$ ортогональний до $(3, -6)$: з $6 - 6k = 0$ випливає $k = 1$. Нарешті, знайдіть кут між $(1, 0)$ і $(1, 1)$: скалярний добуток дорівнює 1, модулі дорівнюють 1 і $\sqrt{2}$, отже, кут дорівнює 45 градусам, що підтверджує швидкий рисунок.

Трохи історії

Векторний запис молодший за майже всю шкільну математику. У 1840-х роках Вільям Роуен Гамільтон винайшов кватерніони — числа з однією дійсною й трьома уявними частинами, і добуток двох чистих кватерніонів містив водночас скалярну й векторну частини. У 1880-х роках Джозая Віллард Гіббс і Олівер Гевісайд розділили ці частини на скалярний і векторний добутки й дали фізикам простішу векторну алгебру, яку викладають досі. Гіббс обрав знаком операції крапку, тому в деяких мовах скалярний добуток називають «крапковим».

Поширені запитання