Як знайти визначник матриці

Що вимірює визначник

Кожна квадратна матриця має визначник, що позначається $\det(A)$ або $|A|$. Неквадратні матриці його не мають. Визначник одразу відповідає на ключове запитання: квадратна матриця оборотна тоді й лише тоді, коли її визначник не дорівнює нулю. Нульовий визначник означає, що матриця стискає простір до меншої розмірності, тож частина інформації безповоротно втрачається.

Геометрично модуль визначника — це коефіцієнт, у скільки разів матриця збільшує площі у двовимірному випадку чи об'єми в тривимірному. Знак показує, чи зберігає відображення орієнтацію, чи змінює її, як дзеркало, що міняє місцями ліве й праве.

Формула для матриць 2 на 2

Для матриці $2 \times 2$ перемножте елементи головної діагоналі й відніміть добуток елементів побічної діагоналі:

Тут тлумачення через площу видно легко. Стовпці $(3, 1)$ і $(1, 2)$ матриці $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ задають паралелограм площею $|3 \cdot 2 - 1 \cdot 1| = 5$, і це точно визначник.

Розклад Лапласа для матриць 3 на 3

Для більших матриць розклад Лапласа зводить задачу до визначників меншого порядку. Виберіть рядок, наприклад перший. Для кожного його елемента викресліть його рядок і стовпець, щоб отримати меншу матрицю, визначник якої називають мінором, і помножте елемент на цей мінор. Потім об'єднайте результати за шаховим правилом знаків $+, -, +$:

Розкладати можна за будь-яким рядком чи стовпцем, результат завжди той самий. Вибирайте той, де найбільше нулів: кожен нуль прибирає цілий доданок.

Правило Сарруса — скорочення лише для 3 на 3

Для матриць $3 \times 3$ є скорочення, яке легко запам'ятати. Додайте три добутки, що йдуть праворуч униз, продовжуючи рахунок за край матриці, і відніміть три добутки, що йдуть ліворуч униз. Для матриці з прикладу 2 низхідні добутки дорівнюють $2 \cdot 0 \cdot 5 = 0$, $(-3)(-1)(1) = 3$ і $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$, їхня сума 11. Висхідні добутки дорівнюють $1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$, $2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8$ і $(-3) \cdot 2 \cdot 5 = -30$, їхня сума $-38$. Визначник дорівнює $11 - (-38) = 49$, як і за розкладом Лапласа.

Обережно: правило Сарруса працює лише для матриць $3 \times 3$. Якщо застосувати ту саму діагональну схему до матриці $4 \times 4$, вийде хибний результат — часта помилка, яка дорого коштує на контрольних.

Метод Гаусса для більших матриць

Розклад Лапласа швидко стає виснажливим: матриця $10 \times 10$ потребувала б мільйонів добутків. Метод Гаусса значно ефективніший. Визначник трикутної матриці — просто добуток діагональних елементів, тому матрицю зводять до трикутного вигляду, ураховуючи, як кожне елементарне перетворення рядків змінює визначник:

• Якщо додати до рядка інший рядок, помножений на число, визначник не зміниться.
• Якщо поміняти місцями два рядки, визначник помножиться на $-1$.
• Якщо помножити рядок на число $k$, визначник помножиться на $k$.

Властивості, що заощаджують час

• Матриця з нульовим рядком чи нульовим стовпцем має визначник 0.
• Матриця з двома однаковими рядками або з рядком, кратним іншому, має визначник 0.
• Для матриці $n \times n$ виконується $\det(kA) = k^n\det(A)$, а не $k\det(A)$.
• Визначник одиничної матриці дорівнює 1.

З цими правилами багато визначників знаходять узагалі без обчислень. Помітивши, що один рядок удвічі більший за інший, ви знаєте, що визначник дорівнює нулю й оберненої матриці немає, що можна підтвердити за допомогою посібника з оберненої матриці.

Правило Крамера: розв'язування систем за допомогою визначників

За допомогою визначників невеликі системи лінійних рівнянь розв'язують безпосередньо. Для $2x + y = 5$ і $x - 3y = -1$ визначник коефіцієнтів дорівнює $D = 2(-3) - 1(1) = -7$. Замініть перший стовпець правою частиною, щоб отримати $D_x = 5(-3) - 1(-1) = -14$, а потім другий стовпець, щоб отримати $D_y = 2(-1) - 5(1) = -7$. Тоді $x = \frac{D_x}{D} = 2$ і $y = \frac{D_y}{D} = 1$.

Правило Крамера елегантне й зручне для систем $2 \times 2$ і $3 \times 3$, але малоефективне для великих систем, де метод Гаусса швидший. Якщо $D = 0$, система не має розв'язків або має нескінченно багато розв'язків. Калькулятор визначників показує кроки розкладу Лапласа й методу Гаусса для матриць будь-якого розміру, а калькулятор матриць виконує супутні обчислення.

Приклад 4 на 4: нехай працюють нулі

Великі визначники стають посильними, якщо використовувати нулі. Розгляньмо матрицю з рядками $(1, 0, 2, 0)$, $(3, 1, 0, 0)$, $(0, 0, 2, 1)$ і $(0, 0, 0, 4)$. В останньому рядку три нулі: розклад за ним залишає один доданок — елемент 4 на позиції зі знаком плюс, помножений на визначник матриці $3 \times 3$, отриманої викресленням останнього рядка й останнього стовпця.

Ця менша матриця має рядки $(1, 0, 2)$, $(3, 1, 0)$ і $(0, 0, 2)$. Її останній рядок теж містить два нулі, тому знову розкладаємо: елемент 2, помножений на $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1$, дає 2. Отже, увесь визначник дорівнює $4 \cdot 2 = 8$. Без нулів те саме обчислення потребувало б двадцяти чотирьох добутків по чотири числа.

Типові помилки, яких варто уникати

• Забути чергування знаків у розкладі Лапласа, особливо мінус на другій позиції першого рядка.
• Застосовувати діагональне правило Сарруса до матриці $4 \times 4$ або більшої.
• У методі Гаусса помножити рядок на число, не скоригувавши визначник.
• Поміняти місцями два рядки й забути змінити знак.
• Вважати, що $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$, що в загальному випадку хибно; акуратно розділяються лише добутки.

Добра звичка — обчислювати визначник $3 \times 3$ двома способами, наприклад розкладом за рядком, а потім за стовпцем, що містить нуль. Якщо результати збігаються, їм можна довіряти; якщо ні, розбіжність приведе вас до помилки в знаку.

Визначники в трьох вимірах

У тривимірному просторі модуль визначника $3 \times 3$ — це об'єм паралелепіпеда, ребрами якого є три вектори-стовпці. Тому матриця з прикладу 2 переводить одиничний куб у тіло об'ємом 49. Та сама ідея дає швидкий спосіб перевірити, чи лежать три вектори в одній площині: це так тоді й лише тоді, коли визначник дорівнює нулю, адже сплющений паралелепіпед не має об'єму. З цим тісно пов'язаний векторний добуток, який зазвичай обчислюють як символічний визначник $3 \times 3$.

Поширені запитання