Калькулятор визначників

Про калькулятор визначників

Визначник зводить квадратну матрицю до одного числа, яке відповідає одразу на кілька важливих запитань. Чи оборотна матриця? Чи має система лінійних рівнянь, яку вона задає, єдиний розв'язок? У скільки разів відображення збільшує площі чи об'єми й чи змінює воно орієнтацію? Усе це можна прочитати за визначником.

Калькулятор знаходить визначник квадратних матриць будь-якого розумного розміру. Він обирає спосіб із підручника: перехресний добуток діагоналей для матриць $2 \times 2$ , розклад за першим рядком для матриць $3 \times 3$ і зведення до верхньотрикутного вигляду починаючи з $4 \times 4$ . Дроби й десяткові числа перетворюються на точні дроби, тому відповідь точна.

Що таке визначник?

Визначник — це число $\det(A)$ , що записується також $|A|$ і визначене для будь-якої квадратної матриці. Для матриці $2 \times 2$ воно дорівнює $ad - bc$ . Для матриць більшого розміру визначник задається рекурсивно через розклад за рядком або, що рівносильно, як сума зі знаками за всіма перестановками стовпців.

Геометрично $|\det(A)|$ — це коефіцієнт, у який лінійне відображення $A$ збільшує площі у двовимірному випадку або об'єми в тривимірному. Від'ємний визначник означає, що відображення змінює орієнтацію, як віддзеркалення, а нульовий — що воно стискає простір у простір меншої вимірності.

Як користуватися калькулятором визначників

Введіть квадратну матрицю, розділяючи елементи пробілами, а рядки крапками з комою, наприклад 2 -3 1; 2 0 -1; 1 4 5.
Натисніть «Знайти визначник».
Подивіться, який спосіб обрано для вашого розміру матриці, і кожне проміжне значення.
Перевірте, чи дорівнює визначник нулю, щоб дізнатися, чи оборотна матриця.

Формули

Визначник 2×2

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Розклад за першим рядком

\det(A) = \sum_{j} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j}

Визначник добутку

\det(AB) = \det(A)\,\det(B)

Трикутна матриця

\det(U) = u_{11}\,u_{22}\cdots u_{nn}

Розв'язаний приклад: Матриця 3×3

У прикладі обчислюється визначник матриці $3 \times 3$ з рядками $(2, -3, 1)$ , $(2, 0, -1)$ і $(1, 4, 5)$ розкладом за першим рядком. Кожен елемент першого рядка множиться на мінор $2 \times 2$ , який отримують викресленням його рядка й стовпця, зі знаками $+$ , $-$ , $+$ .

Мінори дорівнюють 4, 11 і 8, тому визначник дорівнює $2 \cdot 4 - (-3) \cdot 11 + 1 \cdot 8 = 8 + 33 + 8 = 49$ . Ненульове значення означає, що матриця оборотна.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

\det A = 49

Як ми зрозуміли вашу задачу

Знаходимо визначник матриці 3×3.

\det \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}

Покроковий розв'язок

Зчитуємо матрицю 3×3
$A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}$
Розкладаємо за першим рядком (розклад за алгебраїчними доповненнями)
$\det A = (2)\begin{vmatrix}0 & -1 \\ 4 & 5\end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 5\end{vmatrix} + (1)\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{vmatrix}$
Обчислюємо кожен мінор 2×2
$M_{11} = 4,\quad M_{12} = 11,\quad M_{13} = 8$
Об'єднуємо зі знаками, що чергуються + − +
$\det A = (2)(4) - (-3)(11) + (1)(8) = 49$

Використані формули

Визначник 2×2
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
Розклад за алгебраїчними доповненнями
$\det A = \sum_{j} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$

Визначник дорівнює 49 і не дорівнює нулю, тому матриця оборотна, а її рядки лінійно незалежні.

Перевірка

Обчислено точно з дробами; метод Гаусса дає те саме значення 49.

Докладне пояснення

Розклад за рядком

Мінор $M_{ij}$ — це визначник матриці, отриманої викресленням рядка $i$ і стовпця $j$ . Алгебраїчне доповнення надає йому знак $(-1)^{i+j}$ , який чергується в шаховому порядку, починаючи з $+$ у лівому верхньому куті. Розклад за будь-яким рядком або стовпцем дає той самий результат, тому вручну краще обирати рядок чи стовпець із нулями.

Розклад за рядком ідеальний для матриць $3 \times 3$ , але дуже швидко розростається: розклад $4 \times 4$ потребує чотирьох визначників $3 \times 3$ , а розклад $10 \times 10$ потребував би мільйонів доданків. Тому для великих матриць калькулятор змінює спосіб.

Зведення до трикутного вигляду методом Гаусса

Якщо додати до рядка кратне іншого рядка, визначник не зміниться; якщо переставити два рядки, він змінить знак; якщо помножити рядок на число, визначник помножиться на те саме число. За цими правилами калькулятор виключає елементи під кожним провідним елементом, доки не вийде верхньотрикутна матриця, а потім перемножує діагональні елементи. Для матриці $4 \times 4$ з рядками $(1, 0, 2, 0)$ , $(0, 3, 0, 1)$ , $(2, 0, 1, 0)$ і $(0, 1, 0, 2)$ виходить $-15$ .

Що означає нульовий визначник?

Нульовий визначник означає, що рядки лінійно залежні: принаймні один рядок — лінійна комбінація решти. Матриця не має оберненої, а система $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ або не має розв'язків, або має їх нескінченно багато. Матриця з рядками $(1, 2, 3)$ , $(4, 5, 6)$ і $(7, 8, 9)$ — класичний приклад; її визначник дорівнює 0, бо середній рядок — середнє арифметичне двох інших.

Визначники трапляються також у правилі Крамера для розв'язування невеликих систем, у характеристичному многочлені $\det(A - \lambda I) = 0$ , корені якого — власні значення, і у формулі заміни змінних у кратних інтегралах.

Типові помилки

Обчислювати $ad + bc$ або $ab - cd$ замість $ad - bc$ .
Забувати чергування знаків під час розкладу за рядком.
Брати не той мінор, викресливши не той рядок або не той стовпець.
Забувати про зміну знака під час переставлення рядків у перетвореннях.
Намагатися знайти визначник неквадратної матриці.

Поради

Розкладайте за рядком чи стовпцем із найбільшою кількістю нулів.
Спочатку виносьте спільний множник рядка; визначник множиться на те саме число.
Якщо два рядки рівні чи пропорційні, визначник без подальших обчислень дорівнює 0.
Використовуйте $\det(A^{T}) = \det(A)$ , щоб розкладати за стовпцем, коли так зручніше.
Використовуйте калькулятор обернених матриць, якщо визначник не дорівнює нулю й вам потрібна $A^{-1}$ .
Використовуйте калькулятор власних значень, що ґрунтується на $\det(A - \lambda I)$ .

Поширені запитання

Як знайти визначник матриці 2×2?

Перемножте елементи головної діагоналі й відніміть добуток елементів іншої діагоналі: для рядків (a, b) і (c, d) визначник дорівнює ad − bc.

Як знайти визначник матриці 3×3?

Розкладіть його за рядком: помножте кожен елемент на його мінор 2×2, розставте знаки +, −, + і додайте. Калькулятор показує кожен мінор і підсумкову суму.

Який спосіб використовується для матриць 4×4 і більших?

Зведення до верхньотрикутного вигляду методом Гаусса з подальшим перемноженням діагональних елементів. Для великих матриць це набагато швидше за розклад за рядком.

Що означає, що визначник дорівнює нулю?

Що матриця вироджена: її рядки лінійно залежні, оберненої матриці немає, а відповідна система лінійних рівнянь не має єдиного розв'язку.

Чи може визначник бути від'ємним?

Так. Від'ємний визначник означає, що відображення змінює орієнтацію. Його модуль і далі залишається коефіцієнтом зміни площ чи об'ємів.

Чи можна знайти визначник неквадратної матриці?

Ні. Визначник визначений лише для квадратних матриць, і для неквадратної матриці калькулятор повідомить її розмір.

Чи приймаються дроби?

Так. Дроби й десяткові числа перетворюються на точні дроби, тому визначник виходить точним.

Спробуйте калькулятор визначників

Введіть квадратну матрицю й отримайте її точний визначник відповідним способом із поясненням кожного кроку.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач