Власні значення й власні вектори онлайн — калькулятор із розв'язанням

Про калькулятор власних значень

Власні значення й власні вектори описують напрямки, які матриця зберігає, і те, у скільки разів вона їх розтягує. На них ґрунтуються початковий алгоритм ранжування вебсторінок, з якого починався найбільший пошуковик, форми коливань мостів і молекул, метод головних компонент у статистиці, стійкість диференціальних рівнянь і рівні енергії в квантовій механіці. У курсі лінійної алгебри це зазвичай той розділ, де сходиться все пройдене раніше: визначники, метод Гаусса та ядра.

Калькулятор дотримується навчального алгоритму. Він складає характеристичний многочлен $\det(\lambda I - A)$ , знаходить його корені точно за допомогою теореми про раціональні корені, формули коренів квадратного рівняння й ділення многочленів, а потім розв'язує $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ для кожного власного значення, так щоб власні вектори за можливості мали прості цілі координати.

Ірраціональні власні значення залишаються в точній формі з радикалами, комплексні виводяться спряженими парами, а кратні вказуються разом з алгебраїчною й геометричною кратністю, щоб ви одразу бачили, чи діагоналізовна матриця. Приймаються матриці від 2×2 до 4×4, що охоплює практично всі навчальні задачі й контрольні.

Що таке власні значення й власні вектори?

Ненульовий вектор $\mathbf v$ називають власним вектором квадратної матриці $A$ , якщо множення на $A$ змінює лише його довжину: $A\mathbf v = \lambda \mathbf v$ для деякого числа $\lambda$ . Це число — власне значення, що відповідає $\mathbf v$ . Більшість векторів під час множення на матрицю змінюють напрямок; власні вектори — особливі, вони залишаються на своїй прямій, що проходить через початок координат.

Якщо записати означення як $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ , стає зрозуміло, як їх шукати. Ненульовий розв'язок існує, лише якщо $A - \lambda I$ необоротна, тобто якщо її визначник дорівнює нулю. Рівняння $\det(A - \lambda I) = 0$ називають характеристичним; для матриці $n \times n$ це многочлен степеня $n$ , тому з урахуванням кратності власних значень рівно $n$ , і деякі з них можуть бути комплексними.

Кожне власне значення має нескінченно багато власних векторів, адже будь-яке ненульове кратне власного вектора — знову власний вектор. Тому відповідь подається одним представницьким вектором або базисом, якщо незалежних напрямків кілька, а у вашому підручнику може стояти інше кратне того самого вектора.

Як користуватися калькулятором власних значень

Запишіть матрицю по одному рядку матриці на рядок тексту, розділяючи елементи пробілами, наприклад 4 1 у першому рядку й 2 3 у другому.
Можна записати й усю матрицю в один рядок, розділяючи рядки крапками з комою, наприклад 4 1; 2 3.
Елементи можуть бути цілими, десятковими, дробовими або від'ємними числами. Матриця має бути квадратною, від 2×2 до 4×4.
Натисніть «Знайти власні значення», щоб побачити характеристичний многочлен, його корені й знаходження власних векторів для кожного власного значення.
Для кратних власних значень перегляньте вказані кратності, якщо потрібно дізнатися, чи діагоналізовна матриця.

Формули

Рівняння для власних значень

A\mathbf v = \lambda \mathbf v,\quad \mathbf v \ne \mathbf 0

Характеристичне рівняння

\det(\lambda I - A) = 0

Швидка формула для 2×2

\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\,\lambda + \det A = 0

Слід і визначник

\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A,\quad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A

Діагоналізація матриці

A = PDP^{-1},\quad D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

Розв'язаний приклад: 2×2, раціональні елементи

Приклад обчислюється в реальному часі для $A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ . Слід дорівнює 7, а визначник $4\cdot3 - 1\cdot2 = 10$ , тому характеристичний многочлен дорівнює $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$ , а власні значення — 5 і 2.

При $\lambda = 5$ матриця $A - 5I$ має рядки $(-1, 1)$ і $(2, -2)$ , і її ядро породжується вектором $\langle 1, 1 \rangle$ . При $\lambda = 2$ матриця $A - 2I$ має рядки $(2, 1)$ і $(2, 1)$ , що дає $\langle -1, 2 \rangle$ . Перевірка проста: $A\langle 1, 1\rangle = \langle 5, 5\rangle$ — рівно вп'ятеро більше за вихідний вектор.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

\lambda = 5,\ 2

Як ми зрозуміли вашу задачу

Знаходимо власні значення й власні вектори матриці 2×2.

\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

Покроковий розв'язок

Складаємо характеристичне рівняння
$\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$
Для матриці 2×2 воно має вигляд λ² − (слід)λ + визначник
$\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0$
Характеристичний многочлен
$p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10$
Раціональні корені знайдено за теоремою про раціональні корені
$\lambda = 2,\ \lambda = 5$
Власні вектори для λ = 5: розв'язуємо (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle$
Власні вектори для λ = 2: розв'язуємо (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle$

Використані формули

Характеристичне рівняння
$\det(\lambda I - A) = 0$
Рівняння для власного вектора
$(A - \lambda I)\,v = 0,\ v \neq 0$

Власні значення — корені характеристичного многочлена. Власні вектори: λ = 5: ⟨1, 1⟩; λ = 2: ⟨-1, 2⟩.

Перевірка

Сума власних значень ≈ 7 дорівнює сліду 7.
Добуток власних значень дорівнює визначнику 10.

Докладне пояснення

Крок 1: характеристичний многочлен

Для матриці 2×2 многочлен можна одразу записати як $\lambda^2 - (\text{слід})\lambda + \det$ . Для матриць більшого розміру калькулятор розкладає $\det(\lambda I - A)$ за алгебраїчними доповненнями. Симетрична матриця 3×3 з рядками $(2, 0, 0)$ , $(0, 3, 4)$ і $(0, 4, 9)$ дає $\lambda^3 - 14\lambda^2 + 35\lambda - 22$ .

Дві швидкі перевірки виявляють більшість помилок в обчисленнях. Коефіцієнт при $\lambda^{n-1}$ дорівнює сліду зі знаком мінус, тут $-(2 + 3 + 9) = -14$ , а вільний член дорівнює $(-1)^n \det A$ , тут $-22$ , бо визначник дорівнює 22.

Крок 2: знаходження коренів

За цілих коефіцієнтів кожне раціональне власне значення ділить вільний член, тому калькулятор перебирає дільники 22, знаходить $\lambda = 1$ , ділить многочлен на $(\lambda - 1)$ і розкладає квадратний тричлен, що залишився. Власні значення дорівнюють 11, 2 і 1, і їхня сума 14 справді збігається зі слідом.

Якщо квадратний множник, що залишився, не розкладається над раціональними числами, формула коренів квадратного рівняння дає точні вирази з радикалами. Для $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ многочлен $\lambda^2 - 5\lambda - 2$ має корені $\frac52 \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$ , приблизно 5,372 і $-0.372$ . Якщо дискримінант від'ємний, корені комплексно спряжені; матриця повороту $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ дає $\lambda^2 + 1 = 0$ , тобто $\lambda = \pm i$ , а це означає, що поворот на 90° не зберігає жодного дійсного напрямку.

Крок 3: власні вектори з ядра

Підставте кожне власне значення в $A - \lambda I$ і розв'яжіть однорідну систему методом Гаусса. Оскільки матриця необоротна, принаймні один рядок занулиться й залишиться вільна змінна. Якщо надати вільній змінній зручного значення й виконати зворотну підстановку, вийде власний вектор, який калькулятор скорочує до невеликих цілих чисел.

Для $\lambda = 11$ у прикладі 3×3 матриця $A - 11I$ має рядки $(-9, 0, 0)$ , $(0, -8, 4)$ і $(0, 4, -2)$ . Перший рядок дає $v_1 = 0$ , а два інші означають $v_3 = 2v_2$ : отримуємо $\mathbf v = \langle 0, 1, 2 \rangle$ . У симетричних матриць, як ця, власні значення завжди дійсні, а власні вектори попарно ортогональні, що можна перевірити скалярним добутком.

Кратні власні значення й діагоналізація

Власне значення, що трапляється серед коренів $k$ разів, має алгебраїчну кратність $k$ . Кількість відповідних лінійно незалежних власних векторів — його геометрична кратність, і вона може бути меншою. Матриці $\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ і $2I$ мають одне й те саме двократне власне значення 2, але перша має лише один власний напрямок, $\langle 1, 0 \rangle$ , а друга — два: $\langle 1, 0 \rangle$ і $\langle 0, 1 \rangle$ .

Матрицю можна записати у вигляді $PDP^{-1}$ , із власними значеннями на діагоналі $D$ і власними векторами в стовпцях $P$ , тоді й лише тоді, коли геометрична кратність кожного власного значення дорівнює його алгебраїчній кратності. Діагоналізація спрощує піднесення до степеня, оскільки $A^k = PD^kP^{-1}$ , і саме так власні значення передбачають довгострокову поведінку моделей чисельності популяцій і ланцюгів Маркова.

Корисні прийоми

Власні значення трикутної матриці — її діагональні елементи: матриця з рядками $(1, 2, 3)$ , $(0, 4, 5)$ і $(0, 0, 6)$ без жодних обчислень має власні значення 6, 4 і 1. Матриця оборотна тоді й лише тоді, коли 0 не є її власним значенням, а власні значення $A^{-1}$ — це величини, обернені до власних значень $A$ , з тими самими власними векторами.

Прості зміни матриці зсувають її власні значення передбачувано. Якщо додати одиничну матрицю, помножену на $c$ , кожне власне значення збільшиться на $c$ ; якщо помножити матрицю на число, кожне власне значення помножиться на це число; якщо піднести її до степеня $k$ , кожне власне значення піднесеться до степеня $k$ , і все це без зміни власних векторів. Матриця й транспонована до неї мають однакові власні значення, але в загальному випадку різні власні вектори. Ці властивості допомагають перевіряти відповіді й передбачати результат до обчислень.

Типові помилки

Обчислювати $\det(A) - \lambda$ замість $\det(A - \lambda I)$ ; $\lambda$ потрібно віднімати від кожного діагонального елемента.
Вважати нульовий вектор власним; власний вектор за означенням ненульовий.
Помилитися в многочлені, а потім отримати ядро, що містить лише нульовий вектор.
Вважати, що будь-яка матриця має дійсні власні значення; у поворотів і багатьох несиметричних матриць вони комплексні.
Вважати власний вектор неправильним, бо він відрізняється від підручникового сталим множником.
Оголошувати матрицю діагоналізовною, не перевіривши геометричну кратність кратних власних значень.

Поради

Перевіряйте, що сума власних значень дорівнює сліду, а їхній добуток — визначнику.
Перевіряйте кожен власний вектор, обчислюючи $A\mathbf v$ і порівнюючи з $\lambda\mathbf v$ .
Власні значення трикутних матриць зчитуйте просто з діагоналі.
Для матриць 3×3 розкладайте визначник за рядком або стовпцем із найбільшою кількістю нулів.
Використовуйте калькулятор визначників, щоб переконатися, що $A - \lambda I$ необоротна для кожного власного значення.
Очікуйте дійсних власних значень і ортогональних власних векторів, якщо матриця симетрична.
Спочатку винесіть із матриці спільний множник; власні значення просто помножаться на нього.

Поширені запитання

Як ввести матрицю в калькулятор власних значень?

Пишіть по одному рядку матриці на рядок тексту, розділяючи елементи пробілами, або запишіть усі рядки в один, розділяючи їх крапками з комою, наприклад 4 1; 2 3. Допускаються дроби, десяткові й від'ємні числа.

Які розміри матриць підтримуються?

Квадратні матриці від 2×2 до 4×4. Власні значення визначені лише для квадратних матриць, тому, наприклад, матрицю 3×2 буде відхилено з поясненням.

Чи знаходить калькулятор комплексні власні значення?

Так. Якщо характеристичний многочлен має від'ємний дискримінант, власні значення виводяться комплексно спряженою парою, наприклад λ = i та −i для матриці повороту на 90°.

Чому мій власний вектор відрізняється від підручникового?

Будь-яке ненульове кратне власного вектора — теж власний вектор. ⟨1, 1⟩ і ⟨3, 3⟩ задають один і той самий напрямок. Перевірте, чи не є один вектор кратним іншого.

Що таке алгебраїчна й геометрична кратність?

Алгебраїчна кратність показує, скільки разів власне значення трапляється серед коренів характеристичного многочлена. Геометрична кратність — це кількість відповідних лінійно незалежних власних векторів. Для кратних власних значень калькулятор вказує обидві.

Чи дає калькулятор точні власні значення чи десяткові?

Точні, коли це можливо: цілі числа, дроби й вирази з радикалами на зразок 5/2 ± √33/2. До точних десяткових наближень він переходить, лише якщо корені многочлена третього чи четвертого степеня не можна знайти точно.

Як пов'язані власні значення, визначник і слід?

Добуток усіх власних значень дорівнює визначнику, а їхня сума — сліду. Для матриці з рядками (4, 1) і (2, 3) визначник дорівнює 5 × 2 = 10, а слід — 5 + 2 = 7.

Що означає нульове власне значення?

Що матриця вироджена: вона не має оберненої, а її визначник дорівнює нулю. Власні вектори для λ = 0 породжують ядро матриці.

Де власні значення потрібні поза навчанням?

В аналізі коливань, стійкості систем керування, методі головних компонент, квантовій механіці, ланцюгах Маркова й ранжуванні в пошукових системах — усюди, де потрібно зрозуміти, до чого призводить багаторазове застосування лінійного відображення.

Спробуйте калькулятор власних значень

Введіть квадратну матрицю й отримайте її точні власні значення й власні вектори з характеристичним многочленом і кожним кроком.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Калькулятор власних значень