Розв'язування систем рівнянь: графічний спосіб, підстановка й додавання

Що означає розв'язати систему

Система лінійних рівнянь складається з двох чи більше лінійних рівнянь з тими самими невідомими. Розв'язок — це набір значень невідомих, наприклад $x = 2$ і $y = 3$, який задовольняє всі рівняння одночасно. Задовольнити лише одне рівняння недостатньо.

За двох невідомих кожне рівняння задає пряму на площині, а розв'язок — це точка, що лежить на обох прямих. Ця картина пояснює три можливі результати:

• Прямі перетинаються один раз: рівно один розв'язок.
• Прямі паралельні: розв'язків немає. Кажуть, що система несумісна.
• Прямі збігаються: нескінченно багато розв'язків. Система сумісна, але невизначена.

Спосіб 1: графічний

Зведіть кожне рівняння до вигляду $y = mx + b$, побудуйте обидві прямі й знайдіть точку перетину. Графічний спосіб найкраще показує, що означає система, і одразу видно, чи прямі паралельні, чи збігаються. Але він неточний: точку перетину при $x = \frac{7}{3}$ важко зчитати з ескізу. Використовуйте його для оцінки, а потім підтвердьте результат обчисленнями. Побудувати обидві прямі одночасно можна в побудовнику графіків.

Спосіб 2: підстановка

Виразіть з одного рівняння одне невідоме, підставте цей вираз в інше рівняння й розв'яжіть отримане рівняння з одним невідомим. Підстановка — природний вибір, коли одне невідоме вже має коефіцієнт 1 або $-1$.

Завжди беріть підставлений вираз у дужки. Запис $3x + 2x - 1$ тут спрацьовує випадково, але під час підстановки $y = 2x - 1$ у $3x - y = 9$ потрібно $3x - (2x - 1)$, і дужка змінює знак у $-1$.

Спосіб 3: додавання

Додавайте чи віднімайте кратні рівнянь так, щоб одне невідоме зникло. Спосіб додавання зазвичай найшвидший, коли обидва рівняння записано у вигляді $ax + by = c$.

Якщо жоден коефіцієнт не підходить, спершу помножте одне чи обидва рівняння так, щоб вони підійшли.

Як розпізнати відсутність розв'язків або їх нескінченну множину

Якщо під час додавання зникають обидва невідомі, подивіться, що залишилося.

• $x + y = 4$ і $2x + 2y = 10$. Подвоївши перше, отримуємо $2x + 2y = 8$; після віднімання залишається $0 = 2$, що хибно. Прямі паралельні: розв'язків немає.
• $x + y = 4$ і $3x + 3y = 12$. Потроївши перше, отримуємо саме друге; після віднімання залишається $0 = 0$. Усі точки прямої $x + y = 4$ є розв'язками.

Це видно з коефіцієнтів ще до обчислень: якщо $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, прямі мають однаковий кутовий коефіцієнт, і система або не має розв'язків, або має їх нескінченно багато.

Правило Крамера з визначниками

Для системи з двох рівнянь із двома невідомими визначники одразу дають кожне невідоме:

Для $2x + 3y = 12$ і $5x - 3y = 9$: $D = 2(-3) - 3(5) = -21$, $D_x = 12(-3) - 3(9) = -63$ і $D_y = 2(9) - 12(5) = -42$. Звідси $x = 3$ і $y = 2$, як і способом додавання. Якщо $D = 0$, правило незастосовне, і це саме випадок паралельних чи збіжних прямих. Посібник про визначники пояснює, як обчислювати їх для більших систем.

Три рівняння з трьома невідомими

Стратегія та сама: виключіть одне невідоме з двох різних пар рівнянь, щоб отримати систему з двох рівнянь із двома невідомими, розв'яжіть її, а потім виконайте зворотну підстановку.

Великі системи зазвичай розв'язують за допомогою матриць і методу Гаусса; калькулятор матриць показує саме такий хід розв'язання.

Прикладна задача

Два невідомі потребують двох незалежних одна від одної умов. Якщо задача дає лише одну, однозначної відповіді в неї бути не може.

Вибір способу і як уникнути помилок

• Використовуйте підстановку, коли одне невідоме вже виражене або має коефіцієнт 1.
• Використовуйте додавання, коли рівняння записано в загальному вигляді, особливо якщо коефіцієнти вже рівні чи протилежні.
• Використовуйте правило Крамера, щоб швидко отримати відповідь для системи з двох рівнянь із двома невідомими або коли потрібна формула для кожного невідомого.
• Завжди перевіряйте результат в обох початкових рівняннях, бо помилка в обчисленнях може дати точку, що задовольняє лише одне з них.

Звіряйте свої обчислення з калькулятором систем рівнянь, який показує кожен крок способу додавання чи підстановки. Щоб повторити кроки розв'язування окремого рівняння, які трапляються в кожному способі, прочитайте, як розв'язувати лінійні рівняння.

Який спосіб вибрати?

Усі способи ведуть до того самого розв'язку, тому вибирайте той, за якого обчислення простіші. Підстановка ідеальна, коли в одному рівнянні невідоме вже виражене, як у $y = 2x - 1$, або коли невідоме має коефіцієнт 1 чи $-1$. Додавання зазвичай швидше, коли обидва рівняння записано у вигляді $ax + by = c$ і жодне невідоме не виражене, бо воно відкладає дроби до кінця.

Графічний спосіб слугує для наочності: дві прямі, що перетинаються, дві паралельні прямі або та сама пряма, побудована двічі. Для точних значень він менш надійний, якщо тільки точка перетину не має цілих координат. Правило Крамера й матричні методи підходять для систем із трьома й більше невідомими, і саме їх використовують усередині калькулятори та програми.

Для нелінійних систем, наприклад прямої й параболи, підстановка майже завжди правильний вибір. З $y = x^2$ і $y = x + 2$ випливає $x^2 = x + 2$, тобто $x^2 - x - 2 = 0$ і $(x - 2)(x + 1) = 0$. Точки перетину — $(2, 4)$ і $(-1, 1)$, і обидві задовольняють кожне рівняння.

Перевірка розв'язку

Розв'язок системи має задовольняти всі рівняння, а не лише останнє використане. Підставте свої значення в кожне початкове рівняння. У другому прикладі на спосіб додавання $(2, 5)$ дає $3(2) + 2(5) = 16$ і $4(2) - 5(5) = -17$: обидва рівняння виконано. Значення, яке задовольняє одне рівняння, але не інше, виказує помилку під час додавання.

Записуйте перевірку на контрольній. Вона займає менше хвилини, а перевірену відповідь під час оцінювання часто зараховують на вашу користь.

Калькулятор систем рівнянь розв'язує системи з двома й трьома невідомими й показує кожен крок, що зручно для порівняння з вашим розв'язанням.

Поширені запитання