Матричний калькулятор

Про матричний калькулятор

Матриці розташовують числа за рядками й стовпцями; це мова лінійної алгебри, комп'ютерної графіки, економічних моделей, статистики й машинного навчання. Самі операції прості, але складаються з безлічі дрібних множень і додавань, і одна помилка в одному елементі псує всю відповідь.

Калькулятор виконує дев'ять матричних операцій: добуток, суму, різницю, множення на число, цілі степені, транспонування, зведення до східчастого вигляду, ранг і слід. Елементи можуть бути цілими числами, десятковими або звичайними дробами, і всі обчислення точні: результат на зразок $\frac32$ виводиться дробом, а не заокругленим десятковим записом. Під час зведення до східчастого вигляду кожне перетворення рядків перелічується по черзі.

Що таке матриця?

Матриця — це прямокутна таблиця чисел з $m$ рядків і $n$ стовпців, яку називають матрицею розміру $m \times n$ . Елемент у рядку $i$ і стовпці $j$ позначається $a_{ij}$ . Квадратна матриця має стільки ж рядків, скільки стовпців, а одинична матриця $I$ має на головній діагоналі одиниці, а всюди інде — нулі.

Матриці задають лінійні відображення й системи лінійних рівнянь. Помножити матрицю на вектор означає застосувати відображення, наприклад поворот чи розтяг, а перемножити дві матриці — об'єднати два відображення в одне.

Як користуватися матричним калькулятором

Оберіть операцію зі списку.
Введіть матрицю A, розділяючи елементи пробілами, а рядки крапками з комою, наприклад 1 2; 3 4.
Для добутку, суми й різниці введіть матрицю B у тому самому форматі.
Для множення на число або піднесення до степеня введіть число $k$ .
Натисніть «Обчислити» й стежте за кроками до результату.

Формули

Елемент добутку матриць

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

Сума

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Транспонована матриця

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

Слід матриці

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i} a_{ii}

Розв'язаний приклад: A × B (2×2)

У прикладі $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ множиться на $B = \begin{pmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{pmatrix}$ . Кожен елемент добутку — скалярний добуток рядка $A$ на стовпець $B$ ; лівий верхній елемент дорівнює $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ .

Повторивши це обчислення для решти трьох позицій, отримуємо $\begin{pmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{pmatrix}$ . У зворотному порядку виходить $\begin{pmatrix}23 & 34\\31 & 46\end{pmatrix}$ — інша матриця, що показує некомутативність множення матриць.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}

Як ми зрозуміли вашу задачу

Точно обчислюємо A × B.

Покроковий розв'язок

Зчитуємо матрицю A
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\ (2×2)$
Зчитуємо матрицю B
$B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}\ (2×2)$
Кожен елемент — скалярний добуток рядка A на стовпець B
Результат: 2×2.
$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 19$
Результат
$\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$

Використані формули

Добуток матриць
$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$

A має розмір 2×2, а B — розмір 2×2, тому AB має розмір 2×2. Множення матриць некомутативне: BA у загальному випадку відрізняється.

Перевірка

Усі обчислення точні (дроби, без заокруглення).

Докладне пояснення

Коли операції визначені?

Сума й різниця потребують матриць однакового розміру й обчислюються поелементно. Добуток $AB$ вимагає, щоб кількість стовпців $A$ дорівнювала кількості рядків $B$ ; матриця $m \times n$ , помножена на матрицю $n \times p$ , дає результат розміру $m \times p$ . Матрицю $2 \times 3$ не можна помножити на матрицю $2 \times 2$ , і калькулятор пояснює розбіжність розмірів, а не видає код помилки.

Степені визначені лише для квадратних матриць, оскільки $A \cdot A$ потребує узгоджених розмірів. Піднісши $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ до п'ятого степеня, отримуємо $\begin{pmatrix}8 & 5\\5 & 3\end{pmatrix}$ , елементи якої — числа Фібоначчі.

Східчастий вигляд і ранг

Зведений східчастий вигляд отримують за допомогою трьох елементарних перетворень рядків: переставлення двох рядків, множення рядка на ненульове число й додавання до рядка кратного іншого рядка. Мета — щоб кожен ненульовий рядок мав провідний елемент 1 з нулями над ним і під ним. Зведений східчастий вигляд — стандартний спосіб розв'язувати системи лінійних рівнянь, знаходити базис і досліджувати лінійну незалежність.

Ранг — це кількість ненульових рядків у зведеному східчастому вигляді, тобто також кількість лінійно незалежних рядків або стовпців. Матрицю $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{pmatrix}$ можна звести до вигляду з нульовим рядком, тому її ранг дорівнює 2: третій рядок — комбінація перших двох.

Транспонування й слід

Транспонована матриця — це відображення матриці відносно головної діагоналі: рядки стають стовпцями. Вона трапляється в скалярних добутках, у методі найменших квадратів і в означенні симетричної матриці, яка дорівнює своїй транспонованій. Слід — це сума діагональних елементів квадратної матриці; він дорівнює сумі власних значень, що робить його швидкою перевіркою під час їх обчислення.

Типові помилки

Перемножувати матриці поелементно, а не за правилом «рядок на стовпець».
Вважати, що $AB = BA$ ; порядок множників важливий.
Намагатися додати матриці різного розміру.
Неправильно визначати розмір добутку; матриця $m \times n$ , помножена на матрицю $n \times p$ , дає $m \times p$ .
Під час перетворень множити рядок на нуль, через що втрачається інформація.

Поради

Перед множенням підпишіть розмір біля кожної матриці, щоб перевірити, чи існує добуток.
Використовуйте дроби, а не заокруглені десяткові числа, щоб перетворення рядків залишалися точними.
Перевіряйте добуток, перерахувавши один елемент вручну.
Використовуйте калькулятор визначників, щоб перевірити, чи оборотна квадратна матриця.
Використовуйте калькулятор систем рівнянь, якщо ваша матриця отримана із системи лінійних рівнянь.

Поширені запитання

Як ввести матрицю?

Розділяйте елементи рядка пробілами або комами, а рядки — крапками з комою. Так, 1 2; 3 4 — це матриця 2×2 з рядками (1, 2) і (3, 4).

Чому множення матриць некомутативне?

AB поєднує рядки A зі стовпцями B, а BA — рядки B зі стовпцями A. Це різні обчислення: у загальному випадку результати відрізняються, а іноді один добуток існує, а інший ні.

Коли можна перемножити дві матриці?

Коли кількість стовпців першої дорівнює кількості рядків другої. Добуток має стільки ж рядків, скільки перша матриця, і стільки ж стовпців, скільки друга.

Що таке зведений східчастий вигляд?

Це вигляд, у якому кожен ненульовий рядок починається з провідної 1, кожна провідна 1 стоїть правіше за провідну 1 попереднього рядка, а всі інші елементи стовпця з провідною одиницею дорівнюють нулю.

Що вимірює ранг матриці?

Кількість лінійно незалежних рядків або стовпців. Для квадратної матриці повний ранг означає, що матриця оборотна, а відповідна система лінійних рівнянь має єдиний розв'язок.

Чи можна використовувати дроби в матриці?

Так. Елементи на зразок 1/2 приймаються, і всі результати обчислюються в точних дробах.

Що таке слід матриці?

Це сума елементів головної діагоналі квадратної матриці. Він також дорівнює сумі власних значень матриці.

Спробуйте матричний калькулятор

Введіть матриці, оберіть операцію й отримайте точний результат із поясненням кожного кроку.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач