Калькулятори лінійної алгебри

Лінійна алгебра — це математика векторів і матриць, на якій тримається все: від розв'язування систем рівнянь до комп'ютерної графіки й аналізу даних. Ці калькулятори працюють із точними дробами: елементарні перетворення рядків, розклади за рядком і характеристичні многочлени, які вони показують, збігаються з тим, що ви написали б від руки.

Калькулятори

Матричний калькулятор

Множте, додавайте чи віднімайте матриці, множте одну з них на число або підносьте до степеня, знаходьте транспоновану матрицю, зведений східчастий вигляд, ранг і слід — точно, у дробах і з усіма кроками.

Калькулятор визначників

Введіть квадратну матрицю, щоб знайти її визначник: за правилом ad − bc для 2×2, розкладом за першим рядком для 3×3 і зведенням до трикутного вигляду методом Гаусса для матриць більшого розміру, у точній арифметиці.

Калькулятор оберненої матриці

Введіть квадратну матрицю, щоб знайти обернену в точних дробах — за коротким правилом для матриць 2×2 або методом Гаусса — Жордана для [A | I], — і переконайтеся, що добуток A на обернену дає одиничну матрицю.

Калькулятор власних значень

Введіть квадратну матрицю, щоб знайти її власні значення й власні вектори: із характеристичним многочленом, точними коренями, включно з виразами з радикалами й комплексними парами, і знаходженням ядра для кожного власного вектора.

Калькулятор скалярного добутку

Введіть два вектори й отримайте скалярний добуток, їхні довжини, кут між ними та проєкцію одного на інший, причому кожне множення й кожне додавання показано.

Калькулятор векторного добутку

Введіть два просторові вектори й отримайте їхній векторний добуток через визначник, його довжину, тобто площу паралелограма, побудованого на них, і перевірку того, що результат ортогональний до обох.

Теми розділу

Дії з матрицями: Сума, добуток, транспонування, ранг і метод Гаусса.
Визначники й обернені матриці: Розклад за рядком, метод Гаусса — Жордана й випадки, коли матриця необоротна.
Власні значення: Характеристичний многочлен, власні вектори й кратності.
Вектори: Скалярний добуток, кут між двома векторами, проєкції й векторний добуток.

Точна арифметика для матриць

Обчислення з матрицями легко спотворюються, якщо на кожному кроці заокруглювати десяткові дроби. Ці калькулятори від початку до кінця використовують точні дроби: східчастий вигляд, отриманий методом Гаусса, чи обернена матриця виглядають так, як ви отримали б їх вручну, а елемент на зразок $-\frac{2}{3}$ ніколи не перетворюється на $-0.6667$ . Якщо результат, наприклад власне значення, ірраціональний, точна форма з коренями наводиться разом із наближеним значенням.

Кожна операція розписується крок за кроком: застосоване перетворення рядків, алгебраїчне доповнення, за яким розкладають, чи характеристичний многочлен, який розкладають на множники. Тому інструменти добре підходять для перевірки домашніх завдань, де одна помилка в знаку на початку змінює всі наступні рядки.

Де потрібна лінійна алгебра

Системи лінійних рівнянь, комп'ютерна графіка, машинне навчання, економіка й квантова фізика спираються на вектори й матриці. Визначник показує, чи має система єдиний розв'язок, власні значення описують довгострокову поведінку процесу, скалярний добуток вимірює кути й проєкції, а векторний добуток дає вектор, перпендикулярний до двох інших. Той, хто розуміє ці операції на папері, значно легше витлумачить результати будь-якої програми.

Посібники

Як перевіряти домашні завдання й відповіді з математики
Майже будь-яку відповідь з математики можна перевірити без аркуша з відповідями. Підстановка в рівняння, зворотний хід, прикидка, перевірка окремих значень і контроль одиниць знаходять переважну більшість помилок за малу частку часу, витраченого на саму задачу.