Калькулятор векторного добутку

Про калькулятор векторного добутку

Векторний добуток бере два просторові вектори й дає третій вектор, ортогональний до обох. Це стандартний спосіб знайти вектор нормалі до площини, обчислити площу паралелограма чи трикутника в 3D і описати обертальні величини фізики, такі як момент сили й момент імпульсу.

Калькулятор знаходить $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ для просторових векторів за допомогою звичного запису через визначник, у першому рядку якого стоять $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ і $\mathbf{k}$ . Він показує кожну координату окремо, включно зі зміною знака в середнього доданка — джерелом більшості помилок, — потім знаходить довжину й підтверджує, що результат ортогональний до обох даних векторів.

Що таке векторний добуток?

Для векторів $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ і $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ векторний добуток — це вектор $\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$ . Він визначений для векторів тривимірного простору, і результат теж просторовий вектор.

Він перпендикулярний і до $\mathbf{u}$ , і до $\mathbf{v}$ , а його напрямок задається правилом правої руки: зігніть пальці правої руки від $\mathbf{u}$ до $\mathbf{v}$ , і великий палець укаже напрямок $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ . Його довжина дорівнює $|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta$ — площі паралелограма, побудованого на двох векторах.

Як користуватися калькулятором векторного добутку

Введіть три координати першого вектора через кому, наприклад 1, 2, 3.
Введіть три координати другого вектора.
Натисніть «Обчислити».
Перегляньте координати при i, j та k і підсумковий вектор.
Використовуйте крок із довжиною для площ і перевірку ортогональності, щоб підтвердити результат.

Формули

Запис через визначник

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

Довжина

|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

Антикомутативність

\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

Площа трикутника

A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

Розв'язаний приклад: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

У прикладі знаходиться векторний добуток $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ і $\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ . Координата при $\mathbf{i}$ дорівнює $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3$ , при $\mathbf{j}$ — $-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6$ , при $\mathbf{k}$ — $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$ .

Отже, $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle$ , а його довжина $\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348$ — площа паралелограма, побудованого на двох векторах. Його скалярний добуток із кожним із даних векторів дорівнює 0, що підтверджує ортогональність.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

Як ми зрозуміли вашу задачу

Векторний добуток двох векторів 3D.

\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

Покроковий розв'язок

Записуємо визначник з одиничними векторами i, j, k у першому рядку
$u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$
Координата i
$(2)(6) - (3)(5) = -3$
Координата j (зверніть увагу на знак мінус у розкладі)
$-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6$
Координата k
$(1)(5) - (2)(4) = -3$
Довжина = площа паралелограма, побудованого на u і v
$|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228$
Перевіряємо ортогональність
$(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0$

Використані формули

Векторний добуток
$u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$
Довжина
$|u \times v| = |u||v|\sin\theta$

Результат перпендикулярний і до u, і до v; його довжина 3√6 ≈ 7.348469228 дорівнює площі побудованого на них паралелограма (площа трикутника вдвічі менша).

Перевірка

Результат перпендикулярний до обох вихідних векторів (обидва скалярні добутки дорівнюють 0).

Докладне пояснення

Метод визначника

Записати одиничні вектори в перший рядок визначника $3 \times 3$ і розкласти його за цим рядком — найпростіший спосіб запам'ятати формулу. Кожна координата — це визначник $2 \times 2$ зі стовпців, що не стосуються даного одиничного вектора. Середній доданок отримує знак мінус із шахової схеми знаків алгебраїчних доповнень $+, -, +$ ; тому калькулятор виділяє його окремо.

Векторний добуток дистрибутивний щодо додавання, $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$ , а під час множення одного з векторів на число результат множиться на те саме число. Проте він не асоціативний: $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}$ і $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ у загальному випадку — різні вектори. Для векторів на площині, наприклад $\langle 1, 2, 0 \rangle$ і $\langle 3, 4, 0 \rangle$ , результат $\langle 0, 0, -2 \rangle$ напрямлений уздовж осі $z$ прямо вниз, а його довжина 2 дорівнює площі паралелограма на площині.

Геометричний зміст

Довжина векторного добутку дорівнює площі паралелограма зі сторонами $\mathbf{u}$ і $\mathbf{v}$ , отже, половина її — площа трикутника, який вони утворюють. Для трикутника з вершинами $P$ , $Q$ і $R$ знайдіть векторний добуток $\overrightarrow{PQ}$ і $\overrightarrow{PR}$ і поділіть його довжину навпіл.

Якщо вектори паралельні, паралелограм вироджується у відрізок, і векторний добуток дорівнює нульовому вектору. Для $\langle 1, 2, 3 \rangle$ і $\langle 2, 4, 6 \rangle$ калькулятор видає $\langle 0, 0, 0 \rangle$ , що дає швидку перевірку на паралельність.

Нормалі, площини й фізика

Векторний добуток двох напрямних векторів площини дає вектор нормалі до неї, а знаючи одну точку площини, можна записати її рівняння $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ . У комп'ютерній графіці той самий розрахунок дає нормалі до поверхонь для освітлення.

У фізиці момент сили дорівнює $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ , а магнітна сила, що діє на рухомий заряд, — $q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ . В обох випадках результат перпендикулярний до площини двох векторів, як і передбачає правило правої руки.

Типові помилки

Забувати знак мінус у координати при $\mathbf{j}$ .
Вважати, що $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$ ; під час переставлення множників напрямок змінюється на протилежний.
Застосовувати векторний добуток до векторів на площині, не дописавши нульову третю координату.
Плутати векторний добуток зі скалярним, результат якого — число.
Забувати ділити довжину навпіл, щоб отримати площу трикутника.

Поради

Перевіряйте відповідь, знаходячи її скалярний добуток із кожним даним вектором; обидва результати мають дорівнювати 0.
Запам'ятайте $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ , $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ і $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ як підказку.
Для 2D-векторів вводьте 0 як третю координату; відповідь тоді буде напрямлена вздовж осі $z$ .
Використовуйте калькулятор скалярного добутку, щоб знайти кут між векторами.
Використовуйте калькулятор визначників, щоб знайти мішаний добуток $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ як визначник $3 \times 3$ .
Намалюйте обидва вектори й застосуйте правило правої руки, щоб заздалегідь передбачити знак кожної координати.

Поширені запитання

Як знайти векторний добуток?

Запишіть i, j та k у перший рядок визначника 3×3, а два вектори — у наступні рядки, потім розкладіть визначник за першим рядком. Не забудьте знак мінус у координати при j.

Що означає довжина векторного добутку?

Площу паралелограма, побудованого на двох векторах. Половина її — площа трикутника, який вони утворюють.

Чи комутативний векторний добуток?

Ні. Під час переставлення множників напрямок змінюється на протилежний: v × u = −(u × v).

Чи можна знайти векторний добуток 2D-векторів?

Не безпосередньо: векторний добуток визначений для трьох координат. Допишіть кожному вектору 0 як третю координату, і результат буде напрямлений уздовж осі z.

Що означає нульовий векторний добуток?

Що вектори паралельні (або один із них нульовий), тобто вони не задають жодної площі.

Як перевірити векторний добуток?

Знайдіть його скалярний добуток із кожним із вихідних векторів. Обидва результати мають дорівнювати нулю, бо векторний добуток ортогональний до обох даних векторів. Калькулятор робить цю перевірку за вас.

Як знайти вектор нормалі до площини?

Візьміть два непаралельні вектори, що лежать у площині, і знайдіть їхній векторний добуток. Результат перпендикулярний до площини.

Спробуйте калькулятор векторного добутку

Введіть два 3D-вектори й отримайте векторний добуток, його довжину й перевірку ортогональності крок за кроком.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач