Калькулятор відстані між двома точками — формула відстані з розв'язанням

Q: Яка формула відстані між двома точками?

d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2). Вона дає довжину відрізка, що сполучає дві точки.

Q: Чому результат — корінь?

Якщо Δ x^2 + Δ y^2 не є повним квадратом, точна відстань ірраціональна. Калькулятор спрощує корінь і показує також його десяткове значення.

Q: Чи працює формула відстані в просторі?

Так, із третім доданком: d = √(Δ x^2 + Δ y^2 + Δ z^2). Цей калькулятор працює з точками на площині, тому вводьте лише координати x і y.

Про калькулятор відстані між двома точками

Формула відстані — це теорема Піфагора, застосована до координат. Різниці координат двох точок по горизонталі й по вертикалі утворюють катети прямокутного трикутника, а відстань — його гіпотенуза.

Калькулятор точно спрощує корінь: від $(−2, 1)$ до $(3, −3)$ він дає $\sqrt{41}$ , а від $(0,0)$ до $(1, 3)$ — $\sqrt{10}$ , а не просто заокруглений десятковий дріб.

Що таке формула відстані?

Формула відстані дає довжину відрізка, що сполучає дві точки на координатній площині. Якщо точки — $(x_1, y_1)$ і $(x_2, y_2)$ , то різниця по горизонталі дорівнює $x_2 - x_1$ , а по вертикалі — $y_2 - y_1$ . На рисунку ці дві різниці утворюють катети прямокутного трикутника, гіпотенуза якого і є шуканим відрізком.

За теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, а квадратний корінь дає відстань. Результат завжди невід'ємний, не залежить від порядку точок і вимірюється в тих самих одиницях, що й координати.

За її допомогою можна, наприклад, знайти сторони трикутника на папері в клітинку, радіус кола за центром і точкою на ньому або відстань по прямій між двома пунктами на мапі.

Як користуватися калькулятором відстані між двома точками

Введіть першу точку (x₁, y₁).
Введіть другу точку (x₂, y₂).
Натисніть «Обчислити», щоб побачити різниці, їхні квадрати, суму й спрощений корінь.

Формули

Формула відстані

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Теорема Піфагора

a^2 + b^2 = c^2

Середина відрізка

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Розв'язаний приклад: (1, 2) і (4, 6)

У прикладі вимірюється відстань від (1, 2) до (4, 6). Різниці дорівнюють $\Delta x = 3$ і $\Delta y = 4$ , їхні квадрати — 9 і 16, сума — 25, тому $d = \sqrt{25} = 5$ : це знайомий прямокутний трикутник зі сторонами 3-4-5. Калькулятор також указує середину (2,5; 4) і перевіряє, що $d^2$ дорівнює $\Delta x^2 + \Delta y^2$ .

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

d = 5

Як ми зрозуміли вашу задачу

Знаходимо відстань по прямій (евклідову відстань) між двома точками на площині.

Покроковий розв'язок

Позначаємо точки
$(x_1, y_1) = (1, 2),\quad (x_2, y_2) = (4, 6)$
Знаходимо різниці по горизонталі й по вертикалі
$\Delta x = 3,\quad \Delta y = 4$
Підносимо різниці до квадрата й додаємо
$(3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25$
Добуваємо квадратний корінь
$d = \sqrt{25} = 5$
Середина відрізка (середнє координат)
$M = \left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (2.5, 4)$

Використані формули

Формула відстані
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Формула середини відрізка
$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Формула відстані — це теорема Піфагора для прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють різницям координат точок по горизонталі й по вертикалі.

Перевірка

d² = 25 збігається з Δx² + Δy² = 25

Докладне пояснення

Точні корені

Для більшості пар точок відстань не ціла. Від (−2, 1) до (3, −3) різниці дорівнюють 5 і −4, сума квадратів — 41, і оскільки 41 не має множника-квадрата, точна відповідь — $\sqrt{41} \approx 6.4031242$ . Від (1, 1) до (7, 7) сума квадратів дорівнює 72, а оскільки $72 = 36 \times 2$ , калькулятор спрощує корінь до $6\sqrt2 \approx 8.4852814$ . Зберігати точний корінь важливо, якщо відстань використовується далі, наприклад для периметра чи площі.

Відстань, середина відрізка й кола

Середина відрізка — це середнє координат, і вона лежить рівно посередині: її відстань до кожного кінця дорівнює $\frac{d}{2}$ . Формула відстані — це ще й замасковане рівняння кола: точки на відстані $r$ від центра $(h, k)$ задовольняють $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ . Щоб з'ясувати, чи лежить точка всередині кола, поза ним чи на ньому, порівняйте її відстань до центра з радіусом.

Чому піднесення до квадрата прибирає знак

Різниця на зразок $\Delta y = -4$ може бути від'ємною залежно від порядку точок, а довжина — ніколи. Під час піднесення до квадрата всі різниці стають додатними або нульовими, тож $(-4)^2$ і $4^2$ обидва дають 16, а підсумковий корінь — додатне число. Тому переставлення точок ніколи не змінює результат. З тієї самої причини не можна просто додати $|\Delta x| + |\Delta y|$ : це шлях вулицями сітки, довший за відстань по прямій, якщо тільки одна з різниць не дорівнює нулю.

Типові помилки

Забувати, що квадрат від'ємної різниці додатний.
Добувати корінь з кожного доданка окремо: $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ .
Змішувати в одному відніманні координату x і координату y.
Віднімати координати, але забувати піднести різниці до квадрата перед додаванням.
Надто рано заокруглювати корінь і використовувати заокруглене значення на наступних кроках.

Поради

Звертайте увагу на піфагорові трійки на зразок 3-4-5 і 5-12-13, щоб упізнавати цілі відстані.
Відстань ніколи не буває від'ємною й дорівнює нулю, лише якщо точки збігаються.
Спрощуйте $\sqrt{n}$ , виносячи найбільший множник-квадрат: $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ .
Горизонтальним і вертикальним відрізкам формула не потрібна: відстань — це просто різниця тієї координати, яка змінюється.
Щоб порівняти дві довжини, порівнюйте квадрати відстаней, не добуваючи корінь.
Зберігайте точну форму на зразок $\sqrt{41}$ до останнього кроку й заокруглюйте лише підсумковий результат.

Поширені запитання

Яка формула відстані між двома точками?

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ . Вона дає довжину відрізка, що сполучає дві точки.

Як вона пов'язана з теоремою Піфагора?

Різниці за x і за y утворюють два катети прямокутного трикутника; відстань — гіпотенуза, тому $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ .

Чому результат — корінь?

Якщо $\Delta x^2 + \Delta y^2$ не є повним квадратом, точна відстань ірраціональна. Калькулятор спрощує корінь і показує також його десяткове значення.

Чи важливий порядок введення точок?

Ні. Кожна різниця підноситься до квадрата, тому переставлення точок дає ту саму відстань.

Чи можна використовувати від'ємні або десяткові координати?

Так. Від'ємні значення й десяткові дроби обробляються точно аж до підсумкового кореня.

Як знайти ще й середину відрізка?

Знайдіть середнє значень x і середнє значень y. Калькулятор показує середину поруч із відстанню.

Як спростити корінь у відповіді?

Винесіть найбільший множник-квадрат числа під коренем. Відстань від (1, 1) до (7, 7) дорівнює $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt2$ .

Чи працює формула відстані в просторі?

Так, із третім доданком: $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ . Цей калькулятор працює з точками на площині, тому вводьте лише координати x і y.

Як перевірити, чи утворюють три точки прямокутний трикутник?

Знайдіть за формулою відстані довжини трьох сторін і перевірте, чи дорівнює сума квадратів двох менших сторін квадрату найбільшої. Якщо так, трикутник прямокутний (теорема, обернена до теореми Піфагора).

Спробуйте калькулятор відстані між двома точками

Введіть дві точки й отримайте точну відстань, її десяткове значення й середину відрізка крок за кроком.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Відстань між двома точками