Калькулятор нерівностей

Про калькулятор нерівностей

Рівняння питає, де два вирази рівні; нерівність — де один більший чи менший за інший. Відповіддю рідко буває одне число, частіше це множина чисел, наприклад усі $x$ між 2 і 3. Правильно записати цю множину, з потрібними круглими й квадратними дужками та кінцями, — саме тут втрачається найбільше балів.

Калькулятор розв'язує лінійні нерівності на зразок $3x - 5 \ge 7$ , алгебраїчні на зразок $x^2 - 5x + 6 < 0$ , дробово-раціональні на зразок $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ , подвійні на зразок $-3 < 2x + 1 \le 9$ і нерівності з модулем на зразок $|x - 4| < 3$ . Він завжди показує, які точки ділять числову пряму, і перевіряє кожен проміжок, щоб ви розуміли, чому відповідь саме така.

Що таке нерівність?

Нерівність порівнює два вирази за допомогою одного зі знаків $<$ , $>$ , $\le$ або $\ge$ . Множина її розв'язків складається з усіх значень змінної, за яких порівняння правильне. Для $x + 2 > 5$ множина розв'язків — усі числа, більші за 3, що записується як $(3, \infty)$ .

Кругла дужка означає, що кінець не входить до проміжку, а квадратна — що входить. Нескінченність ніколи не включається, бо це не число, якого можна досягти. Окремі частини з'єднуються знаком об'єднання, як у $(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ .

Як користуватися калькулятором нерівностей

Введіть нерівність із <, >, <= або >=, наприклад x^2 - 5x + 6 < 0 або 2x + 3 >= 7.
Подвійну нерівність записуйте в один рядок, наприклад -3 < 2x + 1 <= 9.
Для модуля використовуйте abs(), наприклад abs(x - 4) < 3.
Натисніть «Розв'язати». Перегляньте критичні точки й знаки на проміжках, потім прочитайте множину розв'язків у вигляді проміжків.

Формули

Зміна знака нерівності

a < b \text{ і } k < 0 \Rightarrow ka > kb

Під час множення або ділення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

Модуль менший за число

|u| < c \iff -c < u < c \quad (c > 0)

Модуль більший за число

|u| > c \iff u < -c \ \text{або}\ u > c

Знак добутку

(x - r_1)(x - r_2) < 0 \iff r_1 < x < r_2 \quad (r_1 < r_2)

Розв'язаний приклад: x² − 5x + 6 < 0

У прикладі нерівність $x^2 - 5x + 6 < 0$ розкладається як $(x - 2)(x - 3) < 0$ . Критичні точки 2 і 3 ділять числову пряму на три проміжки, і калькулятор перевіряє по одному значенню в кожному.

Добуток від'ємний лише на середньому проміжку, а кінці не входять, бо нерівність строга: відповідь — інтервал $(2, 3)$ .

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

(2, 3)

Як ми зрозуміли вашу задачу

Розв'язуємо нерівність і записуємо відповідь у вигляді проміжків.

{x}^{2}-5x+6 < 0

Покроковий розв'язок

Переносимо все в одну частину й розкладаємо на множники
Для методу інтервалів потрібен вигляд f(x) у порівнянні з 0, записаний як добуток або частка множників.
$(x - 3)(x - 2) < 0$
Знаходимо критичні точки
Знак може змінюватися лише в точках 2 (нуль), 3 (нуль).
Перевіряємо по одній точці в кожному проміжку (метод інтервалів)
(-∞, 2): перевірка x = 1 → знак + → не входить; (2, 3): перевірка x = 2.5 → знак − → входить; (3, ∞): перевірка x = 4 → знак + → не входить
Визначаємо, чи входять кінці
2: не входить; 3: не входить
Записуємо множину розв'язків
$x \in (2, 3)$

Використані формули

Зміна знака нерівності
$a < b,\; c < 0 \Rightarrow ac > bc$
Модуль
$|A| < c \iff -c < A < c,\qquad |A| > c \iff A < -c \text{ або } A > c$

Нерівність виконується саме при x з (2, 3). Точки, де вираз не визначений, ніколи не входять, а кінці входять лише при ≤ або ≥, якщо вираз у них дорівнює нулю.

Перевірка

x = 1: не задовольняє нерівність.
x = 2.5: задовольняє нерівність.
x = 4: не задовольняє нерівність.

Докладне пояснення

Лінійні нерівності

Лінійну нерівність розв'язують як рівняння, але з одним додатковим правилом: щоразу, коли обидві частини множать або ділять на від'ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний. З $-2x > 6$ випливає $x < -3$ , бо множення на $-\tfrac12$ змінює порядок чисел на числовій прямій.

Причина в тому, що зміна знака числа рівносильна відбиттю числової прямої. Якщо $5 > 2$ , то $-5 < -2$ . Додавання або віднімання того самого числа в обох частинах напрям нерівності ніколи не змінює.

Метод інтервалів

В алгебраїчних і дробово-раціональних нерівностях перенесіть усе в одну частину, щоб в іншій залишився нуль. Потім знайдіть критичні точки: нулі чисельника, а для дробів ще й нулі знаменника. Многочлен може змінити знак лише у своєму нулі, тому між двома сусідніми критичними точками його знак сталий.

Візьміть на кожному проміжку будь-яке пробне значення й визначте знак. Залиште проміжки, знак на яких відповідає нерівності. Наприкінці вирішіть долю кожного кінця: нулі чисельника входять до відповіді при $\le$ або $\ge$ , а нулі знаменника не входять ніколи, бо там вираз не визначений.

Кратні корені потребують уваги. У $(x - 1)^2 (x + 2) > 0$ множник $(x - 1)^2$ ніколи не змінює знак, тому по обидва боки від $x = 1$ вираз має той самий знак. Метод інтервалів із пробними точками враховує це автоматично, а спрощене правило «знаки просто чергуються» тут помиляється.

Подвійні нерівності й нерівності з модулем

Подвійну нерівність на зразок $-3 < 2x + 1 \le 9$ розв'язують, виконуючи ту саму дію одразу з усіма трьома частинами, і отримують $-2 < x \le 4$ . Нерівність із модулем зводиться до подвійної: $|x - 4| < 3$ означає, що відстань від $x$ до 4 менша за 3, тобто $1 < x < 7$ .

Типові помилки

Забувати змінювати знак нерівності після множення або ділення на від'ємне число.
Множити обидві частини на вираз на зразок $x - 2$ , знак якого невідомий. Використовуйте метод інтервалів.
Включати до відповіді значення, що перетворює знаменник на нуль.
Закривати проміжок квадратною дужкою з боку нескінченності.
Записувати $|x| > 3$ як $-3 > x > 3$ , чого не задовольняє жодне число; мається на увазі $x < -3$ або $x > 3$ .

Поради

Перш ніж розкладати на множники, досягніть, щоб в одній частині був нуль.
Завжди малюйте числову пряму з критичними точками: це запобігає більшості помилок із кінцями проміжків.
Перевірте в початковій нерівності одне значення з відповіді й одне, що до неї не входить.
Строгі нерівності дають невключені кінці; нестрогі включають нулі чисельника.

Поширені запитання

Чому під час ділення на від'ємне число знак нерівності змінюється?

Множення на від'ємне число змінює порядок чисел на числовій прямій. 5 більше за 2, але мінус 5 менше за мінус 2, тому порівняння треба перевернути, щоб воно залишилося правильним.

Що таке запис у вигляді проміжків?

Це спосіб записати множину розв'язків за допомогою круглих і квадратних дужок. Кругла дужка виключає кінець, квадратна включає його, а частини з'єднуються знаком об'єднання.

Як розв'язати квадратну нерівність?

Перенесіть усе в одну частину, розкладіть на множники або знайдіть корені, позначте їх на числовій прямій, перевірте по одному значенню на кожному проміжку й залиште проміжки з відповідним знаком.

Чому в дробово-раціональних нерівностях деякі кінці не входять до відповіді?

Значення, що перетворюють знаменник на нуль, роблять вираз невизначеним, тому вони ніколи не входять до розв'язку, навіть за знаків «менше або дорівнює» і «більше або дорівнює».

Чи може нерівність не мати розв'язків?

Так. Наприклад, x у квадраті плюс 1 менше за 0 не має дійсних розв'язків, бо x у квадраті плюс 1 завжди додатне. Калькулятор видає порожню множину.

Чи може нерівність виконуватися для всіх дійсних чисел?

Так. Наприклад, x у квадраті більше або дорівнює 0 для будь-якого дійсного x, і калькулятор відповідає всією числовою прямою.

Спробуйте калькулятор нерівностей

Введіть нерівність і отримайте критичні точки, знаки на проміжках і відповідь у вигляді проміжків.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач