Функції

Як знайти область визначення й множину значень функції

Q: Які значення приймає многочлен на вході?

Усі дійсні числа, (-∞, ∞). Многочлени використовують лише додавання, віднімання й множення, тому жодне значення не призводить до ділення на нуль, кореня парного степеня з від'ємного числа чи невизначеного логарифма.

Автор: MathSolver Pro Editorial Team · Опубліковано 25 жовтня 2026 р.

Область визначення — це множина значень, які функція приймає на вході; множина значень — це все, що вона може видати. Область визначення знаходять, шукаючи заборонені значення; множину значень — з'ясовуючи, яких значень функція справді досягає.

Означення й позначення

Функція ставить у відповідність кожному елементу однієї множини, області визначення, рівно одне значення. Множину всіх значень, яких функція справді набуває, називають множиною значень. Для $f(x) = x^2$ будь-яке дійсне число можна піднести до квадрата, тому область визначення — усі дійсні числа, але квадрат ніколи не буває від'ємним, тому множина значень — $[0, \infty)$ .

Область визначення й множину значень зазвичай записують за допомогою проміжків. Квадратна дужка включає кінець проміжку, кругла — виключає його; біля нескінченності завжди ставлять круглу дужку. Окремі частини з'єднують знаком об'єднання $\cup$ : усі дійсні числа, крім 3, записують так: $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$ . Запис через множину, наприклад $\{x \mid x \neq 3\}$ , каже те саме словами.

Якщо функцію задано лише формулою без додаткових умов, її область визначення — природна область визначення: найбільша множина дійсних чисел, за яких формула має зміст. Але задача може й навмисно обмежити область визначення, наприклад у прикладній задачі, де довжина не може бути від'ємною.

Корисно уявляти функцію як машину. Область визначення — це список вхідних даних, які машина приймає без збою, а множина значень — список усього, що може вийти на виході. Дві функції з тією самою формулою, але різними областями визначення, строго кажучи, різні функції; тому область визначення — частина означення, а не другорядна деталь.

Знаходження області визначення: три обмеження

Для функцій з курсу алгебри й підготовки до математичного аналізу з дійсним числом можуть піти не так лише три речі. Перевірте кожну з них і виключіть значення, що до неї призводять.

Ділення на нуль: знаменник не може дорівнювати нулю.
Корені парного степеня з від'ємних чисел: підкореневий вираз квадратного кореня, кореня четвертого степеня тощо має бути більшим за нуль або дорівнювати йому. Корені непарного степеня, наприклад кубічні, приймають будь-яке дійсне число.
Логарифми від'ємних чисел і нуля: аргумент логарифма має бути строго додатним.

\frac{A}{B}: B \neq 0, \qquad \sqrt{A}: A \ge 0, \qquad \log_b A: A > 0

Многочлени, наприклад $3x^4 - x + 7$ , таких місць не мають: їхня область визначення — усі дійсні числа, $(-\infty, \infty)$ . Те саме правильно для $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ , $|x|$ і кубічних коренів.

Приклади на область визначення

Приклад 1: $f(x) = \sqrt{x - 4}$

Підкореневий вираз має бути більшим за нуль або дорівнювати йому: $x - 4 \ge 0$ .
Отже, $x \ge 4$ , і область визначення — $[4, \infty)$ .

Приклад 2: $g(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 9}$

Прирівняйте знаменник до нуля, щоб знайти заборонені значення: $x^2 - 9 = 0$ , тобто $x = 3$ або $x = -3$ .
Область визначення: $(-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, \infty)$ .

Приклад 3: $h(x) = \ln(5 - 2x)$

Аргумент логарифма має бути строго додатним: $5 - 2x > 0$ .
Розв'яжіть: $-2x > -5$ , а ділення на $-2$ змінює знак нерівності, тому $x < \frac{5}{2}$ .
Область визначення: $\left(-\infty, \frac{5}{2}\right)$ .

Приклад 4: $k(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$

Умова для квадратного кореня: $x + 2 \ge 0$ , тобто $x \ge -2$ .
Умова для знаменника: $x \neq 1$ .
Обидві мають виконуватися одночасно: $[-2, 1) \cup (1, \infty)$ .

У прикладі 3 використано правило ділення нерівності на від'ємне число. Посібник з розв'язування нерівностей пояснює це правило, а також метод інтервалів для умов на кшталт $\frac{x - 1}{x + 2} \ge 0$ .

Якщо функція поєднує кілька таких місць, випишіть кожну умову окремо, розв'яжіть їх по черзі, а потім знайдіть перетин результатів. Більшість помилок виникає через забуту умову, а не під час розв'язування.

Аналітичне знаходження множини значень

Множину значень зазвичай знайти складніше, бо питання в тому, які вихідні значення можливі, а не які вхідні допустимі. Три прийоми покривають більшість випадків.

По-перше, використовуйте відомі множини значень елементарних функцій. Квадратні корені й модулі ніколи не бувають від'ємними, $e^x$ завжди строго додатна, а $\sin x$ і $\cos x$ лежать між $-1$ і $1$ . Перетворення зсувають чи розтягують ці множини. Для $f(x) = 2\sqrt{x - 4} + 1$ корінь дає $[0, \infty)$ , множення на два залишає $[0, \infty)$ без змін, а додавання 1 дає $[1, \infty)$ .

По-друге, зводьте квадратичні функції до вигляду з виділеним повним квадратом, щоб знайти вершину. Оскільки квадрат ніколи не буває від'ємним, ордината вершини — це найменше чи найбільше значення.

Приклад 5: множина значень $f(x) = x^2 - 4x + 1$

Виділяємо повний квадрат: $f(x) = (x - 2)^2 - 3$ .
Оскільки $(x - 2)^2 \ge 0$ , найменше значення дорівнює $-3$ і досягається при $x = 2$ .
Множина значень: $[-3, \infty)$ .

По-третє, розв'яжіть $y = f(x)$ відносно $x$ і з'ясуйте, за яких значень $y$ виходить допустиме $x$ з області визначення.

Приклад 6: множина значень $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$

Запишіть $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ і позбудьтеся знаменника: $y(x - 3) = 2x + 1$ .
Зберіть доданки з $x$ : $yx - 2x = 3y + 1$ , тобто $x(y - 2) = 3y + 1$ і $x = \frac{3y + 1}{y - 2}$ .
Це працює для будь-якого $y$ , крім $y = 2$ . Пряма перевірка: $\frac{2x + 1}{x - 3} = 2$ вимагало б $2x + 1 = 2x - 6$ , що неможливо.
Множина значень: $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ . Пряма $y = 2$ — горизонтальна асимптота.

Те саме міркування дає множину значень $\frac{1}{x^2 + 1}$ . Знаменник не менший за 1, тому значення не більше за 1; крім того, воно завжди строго додатне, але як завгодно близько підходить до 0. Множина значень — $(0, 1]$ .

Область визначення й множина значень за графіком

На графіку область визначення — це тінь, яку крива відкидає на вісь x, а множина значень — її тінь на осі y. Пройдіть кривою зліва направо, щоб знайти область визначення, і знизу вгору — для множини значень. Зафарбовані точки позначають включені кінці, виколоті точки — виключені значення, а стрілки означають, що крива продовжується необмежено.

Вертикальні асимптоти вказують на значення поза областю визначення, а горизонтальні асимптоти часто підказують значення поза множиною значень, як у прикладі 6. Але будьте обережні: крива може перетинати горизонтальну асимптоту, тож сама асимптота не доводить, що значення виключене. Побудовник графіків — добрий спосіб побачити ці особливості, перш ніж підтверджувати їх обчисленнями.

Кусково задані функції й прикладні задачі

У кусково заданої функції область визначення — об'єднання проміжків, на яких задано окремі частини, а множина значень — об'єднання значень, яких набуває кожна частина. Нехай $f(x) = x + 2$ при $x < 0$ і $f(x) = 3$ при $x \ge 0$ . Область визначення — усі дійсні числа. Перша частина дає всі значення, менші за 2, а друга — лише значення 3, тому множина значень — $(-\infty, 2) \cup \{3\}$ .

У застосуваннях контекст задачі додатково обмежує область визначення. Площа квадрата, $A = s^2$ , як формула приймає будь-яке дійсне $s$ , але довжина сторони має бути строго додатною: змістовна область визначення — $s > 0$ , а множина значень — $A > 0$ . Висота кинутого м'яча має зміст лише від моменту кидка до моменту, коли він упаде на землю: область визначення — замкнений проміжок часу, хоча квадратична формула для висоти визначена всюди.

Область визначення й множина значень у подальших темах

Ці ідеї постійно повертаються. Функція має обернену на множині, де вона ін'єктивна, і обернена функція міняє місцями область визначення й множину значень, як пояснює посібник з обернених функцій. Композиція $f(g(x))$ вимагає, щоб кожне значення $g$ лежало в області визначення $f$ ; див. композицію функцій. Логарифми й показникові функції, розглянуті в статті про логарифми, — класична пара з переставленими областю визначення й множиною значень.

Часті помилки

Скорочувати до знаходження області визначення. $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ скорочується до $x + 3$ , але $x = 3$ залишається виключеним з початкової функції.
Для квадратних коренів використовувати $>$ замість $\ge$ , безпідставно втрачаючи кінець проміжку, де корінь дорівнює нулю.
Для логарифмів використовувати $\ge$ замість $>$ , безпідставно допускаючи нульовий аргумент.
Вважати, що множина значень — усі дійсні числа, бо такою є область визначення.
Ставити квадратну дужку з боку нескінченності.

Щоб перевірити відповіді, скористайтеся калькулятором області визначення й множини значень, який перелічує кожне знайдене обмеження й підсумкові проміжки.

Поширені запитання

Які значення приймає многочлен на вході?

Усі дійсні числа, $(-\infty, \infty)$ . Многочлени використовують лише додавання, віднімання й множення, тому жодне значення не призводить до ділення на нуль, кореня парного степеня з від'ємного числа чи невизначеного логарифма.

Чи завжди множину значень знайти складніше, ніж область визначення?

Зазвичай так, бо вона залежить від поведінки функції загалом. Виділення повного квадрата, вираження $x$ через $y$ і відомі множини значень елементарних функцій розв'язують більшість випадків; графік слугує корисною перевіркою.

Чи означає горизонтальна асимптота, що значення не входить до множини значень?

Не завжди. Асимптота описує поведінку далеко ліворуч чи праворуч, а крива може перетинати її при скінченному $x$ . Розв'яжіть $f(x) = c$ , щоб з'ясувати, чи досягається значення асимптоти, $c$ , насправді.

Як записати дійсні числа без двох значень?

Об'єднанням трьох проміжків. Наприклад, усі дійсні числа, крім $-3$ і $3$ , записують як $(-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, \infty)$ .

MathSolver Pro Editorial Team

Редакція й математична вичитка

Наша редакція пише кожен посібник так, щоб він пояснював міркування за кожним методом, а не лише відповідь. Кожен розібраний приклад перед публікацією перевіряється рушіями розв'язування сайту й автоматичними тестами, а статті оновлюються, щойно змінюється метод чи формат тесту.