Область визначення й множина значень функції

Про калькулятор області визначення й множини значень

Перш ніж будувати графік функції, обертати її чи розв'язувати з нею рівняння, треба знати, які входи вона допускає й які значення може видавати. Ці дві множини — область визначення й множина значень. Пошук області визначення зводиться переважно до виявлення заборонених дій; множину значень знайти важче, бо треба зрозуміти, яких висот графік справді досягає.

Калькулятор знаходить обидві множини для многочленів, дробово-раціональних функцій, коренів, логарифмів, показникових функцій, функцій із модулем і основних тригонометричних функцій. Він виписує кожне обмеження, розв'язує його, а потім досліджує функцію на кожній частині області визначення, щоб зібрати множину значень. Відповіді записуються проміжками, за можливості з точними межами.

Що таке область визначення й множина значень?

Область визначення функції — це множина всіх входів $x$ , за яких формула функції дає дійсне число. Множина значень — це множина всіх виходів $f(x)$ , які отримуємо, коли $x$ пробігає область визначення. На графіку область визначення — це тінь кривої на осі $x$ , а множина значень — її тінь на осі $y$ .

Дійсні формули обмежують три дії: ділення, що забороняє нульовий знаменник; корені парного степеня, що потребують невід'ємного підкореневого виразу; і логарифми, аргумент яких має бути строго додатним. Функція без цих дій, наприклад будь-який многочлен, визначена при всіх дійсних числах.

Як користуватися калькулятором області визначення й множини значень

Введіть функцію від $x$ , наприклад (x + 1)/(x - 2), sqrt(x - 3) або log(x + 2).
Натисніть «Знайти область визначення та множину значень».
Прочитайте список обмежень і те, як розв'язується кожне з них.
Стежте за кроками знаходження множини значень, у яких функція досліджується на кожному проміжку області визначення.
Запишіть область визначення й множину значень у вигляді проміжків.

Формули

Знаменник

\frac{p(x)}{q(x)}:\; q(x) \neq 0

Корінь парного степеня

\sqrt{u(x)}:\; u(x) \geq 0

Логарифм

\ln u(x):\; u(x) > 0

Вершина параболи

f(x) = ax^2 + bx + c:\; x_v = -\frac{b}{2a}

Розв'язаний приклад: (x + 1)/(x − 2)

У прикладі досліджується $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ . Єдине обмеження — знаменник не може дорівнювати нулю, тому $x = 2$ виключається з області визначення.

Щоб знайти множину значень, алгоритм розглядає кожен бік від виключеної точки окремо. На обох частинах функція наближається до горизонтальної асимптоти $y = 1$ , ніколи не досягаючи цього значення, тому 1 — єдине значення, якого немає в множині значень.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

D = (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty),\quad R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)

Як ми зрозуміли вашу задачу

Знайдемо всі дійсні x, за яких f(x) = (x + 1) / (x - 2) визначена (область визначення), і всі значення, яких вона набуває (множина значень).

f(x) = \frac{x+1}{x-2}

Покроковий розв'язок

Записуємо функцію
$f(x) = \frac{x+1}{x-2}$
Виписуємо обмеження
знаменник (x - 2) не може дорівнювати 0.
Розв'язуємо (x - 2) ≠ 0
Вираз може змінювати знак лише в 2. Перевірка значення на кожному проміжку дає множину розв'язків (-∞, 2) ∪ (2, ∞).
$x-2 \ne 0 \iff x \in (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty)$
Множина значень на (-∞, 2)
при x → -∞, f → 1; при x → 2⁻, f → -∞. Усередині цього проміжку немає точок екстремуму, тому f на ньому монотонна або стала. Функція неперервна на цьому проміжку, тому набуває всіх значень між найменшим (-∞, не досягається) і найбільшим (1, не досягається).
$f\big((-\infty,\ 2)\big) = (-\infty,\ 1)$
Множина значень на (2, ∞)
при x → 2⁺, f → ∞; при x → ∞, f → 1. Усередині цього проміжку немає точок екстремуму, тому f на ньому монотонна або стала. Функція неперервна на цьому проміжку, тому набуває всіх значень між найменшим (1, не досягається) і найбільшим (∞, не досягається).
$f\big((2,\ \infty)\big) = (1,\ \infty)$
Об'єднуємо частини
$R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)$

Використані формули

Обмеження
$\tfrac{p}{q}: q \ne 0,\quad \sqrt{u}: u \ge 0,\quad \ln u: u > 0$

Область визначення знаходимо, розв'язуючи кожне обмеження у формулі й перетинаючи множини розв'язків. Множина значень випливає з неперервності: на кожному проміжку області визначення функція набуває всіх значень між своїми екстремальними значеннями й границями на кінцях проміжку.

Перевірка

Область визначення перевірено приблизно в 4,000 контрольних точках: f дійсне й скінченне саме там, де вказує область визначення ✓
Кожне обчислене значення f лежить у знайденій множині значень ✓

Докладне пояснення

Знаходження області визначення

Почніть з усіх дійсних чисел і приберіть усе заборонене. Вимагайте, щоб кожен знаменник був відмінним від нуля, кожен вираз під квадратним коренем був невід'ємним, а кожен аргумент логарифма — строго додатним, а потім перетніть результати. Для $\sqrt{4 - x^2}$ умова $4 - x^2 \geq 0$ дає відрізок $[-2, 2]$ . Для $\frac{1}{x^2 - 4}$ виключаються дві точки, і область визначення розпадається на три проміжки.

Не спрощуйте заздалегідь. $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ скорочується до $x + 1$ , але $x = 1$ залишається виключеним із початкової функції, і калькулятор указує область визначення з цією виколотою точкою.

Знаходження множини значень

Множина значень залежить від форми графіка. Парабола досягає екстремального значення у вершині: у $x^2 - 4x + 1$ вершина розташована при $x = 2$ зі значенням $-3$ , тому множина значень — $[-3, \infty)$ . Квадратний корінь починається з нуля й зростає, тому в $\sqrt{x - 3}$ множина значень $[0, \infty)$ . Логарифм набуває будь-якого дійсного значення, а $e^x$ — будь-якого строго додатного.

Для дробово-раціональних функцій калькулятор працює частинами: він визначає, де функція зростає чи спадає й до якого значення прямує на кінцях кожного проміжку. Так він встановлює, що в $\frac{1}{x^2}$ множина значень $(0, \infty)$ , а $\frac{x}{x^2 + 1}$ залишається між $-\frac12$ і $\frac12$ . Якщо множину значень не можна надійно знайти, як для $\tan x$ , калькулятор повідомляє, що її не обчислено, замість того щоб угадувати.

Як читати запис проміжками

Калькулятор використовує квадратні й круглі дужки: квадратна дужка включає межу, кругла виключає її; біля нескінченності завжди стоїть кругла дужка. Знак $\cup$ об'єднує окремі частини, тому $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ означає всі дійсні числа, крім 2. В українських підручниках кінці проміжку зазвичай розділяють крапкою з комою, але зміст запису той самий. У такій формі результати легко порівнювати з графіком.

Типові помилки

Скорочувати дробово-раціональну функцію до пошуку області визначення й втрачати виколоту точку.
Використовувати $> 0$ для квадратного кореня (нуль допустимий) або $\geq 0$ для логарифма (нуль недопустимий).
Вважати, що множина значень — усі дійсні числа лише тому, що такою є область визначення.
Забувати, що горизонтальна асимптота може виключати значення з множини значень.
Ставити квадратну дужку біля нескінченності.

Поради

Перш ніж щось розв'язувати, випишіть усі знаменники, підкореневі вирази й аргументи логарифмів.
Побудуйте графік у побудовнику графіків, щоб наочно підтвердити множину значень.
Для квадратичної функції знайдіть вершину: множина значень починається або закінчується на її $y$ -координаті.
Пам'ятайте, що множина значень $f$ стає областю визначення оберненої функції.
Перевіряйте межу, підставляючи її у функцію.

Поширені запитання

Як знайти область визначення функції?

Почніть з усіх дійсних чисел і приберіть значення, за яких знаменник дорівнює нулю, під коренем парного степеня опиняється від'ємне число або аргумент логарифма не більший за нуль. Те, що залишилося, і є областю визначення.

Як знайти множину значень функції?

Визначте, яких значень функція справді досягає, використовуючи вершину, асимптоти, проміжки монотонності й поведінку на кінцях кожної частини області визначення.

Яка область визначення многочлена?

Усі дійсні числа, (−∞, ∞), бо в многочлені немає ділення на x, коренів і логарифмів.

Чому 1 не входить у множину значень (x + 1)/(x − 2)?

Графік має горизонтальну асимптоту y = 1. Рівняння (x + 1)/(x − 2) = 1 зводиться до 1 = −2, що неможливо: функція ніколи не набуває значення 1.

Що означають квадратні й круглі дужки в записі проміжків?

Квадратна дужка означає, що межу включено, кругла — що виключено. Нескінченність ніколи не включається, тому біля неї завжди кругла дужка.

Чи працює калькулятор із тригонометричними функціями?

Так, у звичайних випадках. Він встановлює, що в sin x множина значень [−1, 1], а tan x виключає точки π/2 плюс кратні π, і повідомляє, якщо множину значень не обчислено.

Що означає log у калькуляторі?

log(x) позначає натуральний логарифм, тому log(x + 2) визначений при x > −2 і набуває будь-якого дійсного значення.

Спробуйте калькулятор області визначення й множини значень

Введіть функцію й отримайте область визначення й множину значень у вигляді проміжків крок за кроком.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Калькулятор області визначення й множини значень