Калькулятор логарифмів

Про калькулятор логарифмів

Логарифм відповідає на одне-єдине питання: до якого степеня треба піднести основу, щоб отримати дане число? Оскільки $2^5 = 32$ , правильно $\log_2 32 = 5$ . Логарифми обертають показникові функції, тому вони — інструмент для розв'язання будь-якого рівняння, у якому невідоме стоїть у показнику, від складних відсотків до водневого показника й децибелів.

Калькулятор має три режими. Режим обчислення знаходить $\log_b(x)$ і видає точний раціональний результат на зразок $\log_4 8 = \tfrac32$ , якщо $x$ — раціональний степінь $b$ , а інакше — вираз через перехід до іншої основи разом із десятковим значенням. Режим «Розв'язати $b^x = y$ » знаходить показник, а режим «Розв'язати $\log_b(x) = c$ » — аргумент логарифма. Основою може бути будь-яке додатне число, крім 1, або $e$ для натурального логарифма.

Що таке логарифм?

Для основи $b > 0$ , $b \ne 1$ і числа $x > 0$ запис $\log_b x = y$ означає саме $b^y = x$ . Обидві рівності виражають той самий факт двома способами, і вміння переходити від однієї до іншої — ключова навичка.

Дві основи мають власні назви. Десятковий логарифм $\log x$ (в українських підручниках його зазвичай записують як lg) використовує основу 10, а натуральний логарифм $\ln x$ — основу $e \approx 2.71828$ , яка природно виникає в задачах про зростання, у математичному аналізі й теорії ймовірностей. Логарифми нуля й від'ємних чисел у дійсних числах не визначені, бо жоден степінь додатної основи не буває нульовим чи від'ємним.

Як користуватися калькулятором логарифмів

Оберіть режим: обчислити log_b(x), розв'язати b^x = y або розв'язати log_b(x) = c.
Введіть основу: додатне число, не рівне 1, 10 для десяткового логарифма або e для натурального.
Введіть число x (під час обчислення) або праву частину (у режимах рівнянь). Допускаються дроби на зразок 1/8.
Натисніть кнопку режиму. Ви побачите, як число записано у вигляді степеня основи або який перехід до іншої основи використано.

Формули

Означення

\log_b x = y \iff b^y = x

Логарифм добутку

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Логарифм частки

\log_b\frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Логарифм степеня

\log_b(M^k) = k\log_b M

Перехід до іншої основи

\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}

Розв'язаний приклад: log₄(8)

У прикладі обчислюється $\log_4 8$ . Жодне з чисел не є степенем іншого, але обидва — степені одного простого числа: $4 = 2^2$ і $8 = 2^3$ . Калькулятор записує питання як $(2^2)^y = 2^3$ , тобто $2y = 3$ .

Тому точний результат — $\tfrac32$ , а для перевірки $4^{3/2} = (\sqrt4)^3 = 8$ .

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

\log_{4}\left(8\right) = \frac{3}{2}

Як ми зрозуміли вашу задачу

Обчислюємо логарифм 8 за основою 4.

\log_{4}\left(8\right)

Покроковий розв'язок

Питаємо: до якого степеня треба піднести основу, щоб отримати число?
$4^{\,y} = 8$
Записуємо обидва числа як степені тих самих простих множників
Порівняння показників простих множників дає 8 = 4^(3/2).
$8 = 4^{\frac{3}{2}}$

Використані формули

Означення
$\log_b x = y \iff b^y = x$
Перехід до іншої основи
$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$
Властивості
$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N,\quad \log_b M^k = k\log_b M$

4 у степені 3/2 дає рівно 8.

Перевірка

Перевірка: 4^1.5 ≈ 8.

Докладне пояснення

Точні значення чи перехід до іншої основи

Якщо число й основу можна записати як степені того самого простого числа, логарифм раціональний і обчислюється точно, наприклад $\log_{27} 9 = \tfrac23$ або $\log_2 \tfrac18 = -3$ . Калькулятор розкладає обидва числа на степені простих і порівнює показники, тому такі результати точні.

Більшість логарифмів ірраціональні. $\log 50$ не має точного раціонального значення: калькулятор записує його через перехід до іншої основи, $\frac{\ln 50}{\ln 10}$ , і наводить десяткове значення $1.69897\ldots$ . Формула переходу працює, бо з $y = \log_b x$ випливає $b^y = x$ , а взявши від обох частин натуральний логарифм, отримуємо $y \ln b = \ln x$ .

Розв'язання показникових рівнянь

Щоб розв'язати $2^x = 10$ , прологарифмуйте обидві частини. Властивість логарифма степеня виносить невідоме вперед: $x \ln 2 = \ln 10$ , тому $x = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \log_2 10 \approx 3.32193$ . Швидка перевірка: $2^3 = 8$ і $2^4 = 16$ , отже, розв'язок має лежати між 3 і 4.

Рівняння на зразок $2^x = -4$ не має дійсних розв'язків, бо додатна основа в будь-якому дійсному степені додатна. Калькулятор повідомляє про це, а не видає значення.

Розв'язання логарифмічних рівнянь

Щоб розв'язати $\log_3 x = 4$ , перейдіть до показникової форми: $x = 3^4 = 81$ . Розв'язок має бути додатним, адже логарифми визначені лише для додатних аргументів; у складніших рівняннях завжди перевіряйте, чи входять знайдені значення в область визначення.

Поєднання властивостей логарифмів

Властивості логарифмів добутку, частки й степеня відображають властивості степенів, адже логарифми — це показники. За їхньою допомогою можна розкласти логарифм на простіші частини, наприклад $\log_2(8x^3) = 3 + 3\log_2 x$ , або зібрати кілька логарифмів в один, наприклад $\ln 6 - \ln 2 = \ln 3$ . Об'єднання часто буває першим кроком, якщо в рівнянні більше одного логарифма, бо єдиний логарифм потім можна переписати в показниковій формі.

Типові помилки

Писати $\log(a + b) = \log a + \log b$ . Властивість добутку стосується $\log(ab)$ , а не сум.
Неправильно ділити логарифми: $\frac{\log a}{\log b}$ — це не $\log(a - b)$ і не $\log\frac ab$ .
Обчислювати логарифм нуля або від'ємного числа.
Плутати на калькуляторі $\log$ (основа 10) і $\ln$ (основа $e$ ).
Забувати, що $\log_b 1 = 0$ і $\log_b b = 1$ за будь-якої допустимої основи.

Поради

Якщо зміст логарифма незрозумілий, спершу перепишіть його в показниковій формі.
Перед обчисленням оцінюйте результат за сусідніми степенями: $\log_2 10$ трохи більший за 3.
Використовуйте розклад на прості множники, щоб розпізнавати точні результати, наприклад $\log_8 32 = \tfrac53$ .
Якщо курс це допускає, зберігайте результат у точній логарифмічній формі до останнього кроку.

Поширені запитання

Чим відрізняються log і ln?

Запис log зазвичай означає основу 10, тобто десятковий логарифм (в українських підручниках — lg), а ln — основу e, натуральний логарифм. Властивості в них однакові; вони відрізняються лише сталим множником.

Чому не можна знайти логарифм від'ємного числа?

Додатна основа в будь-якому дійсному степені завжди додатна: жоден дійсний показник не дає нуль чи від'ємне число. Такі логарифми в дійсних числах не визначені.

Як працює формула переходу до іншої основи?

Логарифм x за основою b дорівнює ln x, поділеному на ln b. Так можна обчислити логарифм за будь-якою основою на калькуляторі, де є лише клавіші ln або log.

Коли логарифм виходить цілим числом або дробом?

Коли число — раціональний степінь основи. Наприклад, логарифм 8 за основою 4 дорівнює 3/2, бо 4 у степені 3/2 дорівнює 8. В інших випадках логарифм ірраціональний.

Як розв'язати рівняння з невідомим у показнику?

Прологарифмуйте обидві частини, винесіть показник за властивістю логарифма степеня й поділіть. Для 2 у степені x, що дорівнює 10, x дорівнює ln 10, поділеному на ln 2.

Чому основа не може дорівнювати 1?

Усі степені 1 дорівнюють 1: логарифм за основою 1 не міг би розрізняти числа й не був би функцією.

Навіщо потрібні логарифми?

Щоб вимірювати величини, що охоплюють багато порядків, наприклад магнітуду землетрусу, рівень звуку в децибелах або кислотність через водневий показник, і щоб розв'язувати задачі про зростання й розпад.

Спробуйте калькулятор логарифмів

Обчисліть логарифм за будь-якою основою або розв'яжіть показникове чи логарифмічне рівняння крок за кроком.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач