Логарифми: означення, властивості й розв'язування рівнянь

Що таке логарифм?

Степені й логарифми — два способи описати ту саму залежність. Рівність $2^3 = 8$ каже, що, піднісши 2 до степеня 3, отримуємо 8. Логарифм перевертає запитання: до якого степеня треба піднести 2, щоб отримати 8? Відповідь — 3, і пишуть $\log_2 8 = 3$.

Число $b$ — основа, $x$ — аргумент логарифма, а $y$ — шуканий показник степеня, тобто сам логарифм. Умови важливі. Основа має бути додатною й не дорівнювати 1, бо всі степені 1 дорівнюють 1, а степені від'ємного числа визначено не для будь-якого дійсного показника. Аргумент має бути додатним, бо додатна основа в будь-якому дійсному степені завжди дає додатний результат.

• $\log_{10} 1000 = 3$, бо $10^3 = 1000$.
• $\log_5 \frac{1}{25} = -2$, бо $5^{-2} = \frac{1}{25}$.
• $\log_9 3 = \frac{1}{2}$, бо $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$.
• $\log_7 1 = 0$ за будь-якої допустимої основи, бо $b^0 = 1$, і $\log_b b = 1$, бо $b^1 = b$.

Для двох основ є особливі позначення. Десятковий логарифм $\log x$ має основу 10, зручну для величин, які виражають степенями десяти. Натуральний логарифм $\ln x$ має основу $e \approx 2.71828$, яка природно виникає під час зростання, розпаду й у математичному аналізі. У деяких книжках і мовах програмування $\log$ позначає натуральний логарифм, тому з'ясуйте, яку домовленість прийнято у вашому курсі.

Три властивості логарифмів

Оскільки логарифми — це показники степеня, властивості степенів прямо переходять у властивості логарифмів. Для додатних $M$ і $N$ та будь-якої допустимої основи:

Властивість логарифма добутку випливає з $b^m b^n = b^{m+n}$: перемножити числа — означає додати їхні показники, тобто їхні логарифми. Властивість логарифма частки випливає з ділення степенів, а властивість логарифма степеня — з $(b^m)^k = b^{mk}$. Саме тому до появи калькуляторів користувалися таблицями логарифмів: вони перетворювали важке множення на додавання.

• $\log_2(32 \cdot 4) = \log_2 32 + \log_2 4 = 5 + 2 = 7$, і справді $128 = 2^7$.
• $\log 50 + \log 2 = \log 100 = 2$.
• $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$.
• $\ln(e^5) = 5\ln e = 5$.

Розкладання й згортання виразів

Розкласти — означає за допомогою властивостей розбити логарифм на простіші частини; згорнути — об'єднати кілька логарифмів в один. Обидві задачі часто трапляються на контрольних, і обидві допомагають під час розв'язування рівнянь.

Перед згортанням коефіцієнти мають стати показниками. $2\ln x + \ln y$ дорівнює $\ln(x^2 y)$, а не $\ln(2xy)$.

Перехід до нової основи

На калькуляторах зазвичай є клавіші лише для $\log$ і $\ln$. Будь-яку іншу основу обробляє формула переходу до нової основи, правильна для будь-якої нової основи $c$:

Наприклад, $\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx \frac{2.302585}{0.693147} \approx 3.3219$. Допомагає прикидка: $2^3 = 8$ і $2^4 = 16$, тому результат має лежати між 3 і 4. Формула показує також, що $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, тобто $\log_8 2 = \frac{1}{3}$, бо $\log_2 8 = 3$.

Розв'язування показникових рівнянь

Якщо невідоме стоїть у показнику, відокремте степінь і прологарифмуйте обидві частини, щоб властивість логарифма степеня «опустила» показник.

Часта помилка в прикладі 2 — логарифмувати до ділення на 5. Це не неправильно, але призводить до $\ln 5 + (x - 1)\ln 2 = \ln 40$, що вимагає більше роботи. Якщо спершу виразити степінь, розв'язання залишається коротким.

Розв'язування логарифмічних рівнянь

Якщо невідоме стоїть під знаком логарифма, згорніть логарифми в один і перепишіть рівняння в показниковій формі. Оскільки логарифмів нуля й від'ємних чисел не існує, кожен можливий розв'язок треба перевірити за початковим рівнянням.

Розв'язання прикладу 3 звелося до квадратного рівняння. Щоб повторити, як його розв'язувати, прочитайте посібник з розв'язування квадратних рівнянь.

Графік логарифмічної функції

Функція $y = \log_b x$ — обернена до $y = b^x$, тому її графік — дзеркальне відбиття графіка показникової функції відносно прямої $y = x$. При $b > 1$ він проходить через $(1, 0)$ і $(b, 1)$, зростає повільно й необмежено та наближається до осі y, яка є вертикальною асимптотою. Область визначення — $(0, \infty)$, а множина значень — усі дійсні числа, якраз навпаки порівняно з показниковою функцією.

Зсуви змінюють область визначення. Для $y = \ln(x - 3)$ аргумент має бути додатним: область визначення — $(3, \infty)$, а асимптота зсувається до $x = 3$. Як знаходити ці множини, пояснює посібник з області визначення й множини значень, а зв'язок із показниковими функціями докладніше розбирає стаття про обернені функції. Кілька основ одразу можна побудувати в побудовнику графіків.

Де застосовують логарифми

• Складні відсотки: сума, що зростає на 5% на рік, подвоюється, коли $1.05^t = 2$, тобто через $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.21$ року.
• Хімія: водневий показник pH дорівнює $-\log[\mathrm{H}^+]$; концентрація йонів водню $10^{-3}$ моль на літр дає pH 3, і кожна одиниця pH відповідає множнику десять.
• Акустика: рівень звуку в децибелах дорівнює $10\log_{10}\frac{I}{I_0}$; звук у 100 разів інтенсивніший здається гучнішим на 20 децибелів.
• Інформатика: двійковий пошук серед $n$ елементів потребує приблизно $\log_2 n$ кроків, тому мільйону елементів потрібно всього близько 20.

Усі чотири випадки мають спільну рису: логарифми стискають величини, що охоплюють багато порядків, у зручну шкалу й перетворюють мультиплікативні зміни на адитивні.

Часті помилки

• Писати $\log(a + b) = \log a + \log b$. Властивість стосується добутків, а для логарифма суми правила немає.
• Писати $\frac{\log a}{\log b} = \log\frac{a}{b}$. Ліва частина — це перехід до нової основи, тобто $\log_b a$.
• Плутати $(\log x)^2$ з $\log x^2 = 2\log x$.
• Не перевіряти розв'язки логарифмічних рівнянь і пропустити відповідь, за якої аргумент стає від'ємним.
• Плутати клавіші $\log$ і $\ln$ на калькуляторі.

Калькулятор логарифмів обчислює за будь-якої основи й показує крок переходу до нової основи, тож приклади вище можна швидко перевірити.

План вивчення логарифмів

Логарифми здаються абстрактними здебільшого тому, що позначення приховує просте запитання. Щоб відчути впевненість, тренуйте переведення в обидва боки, доки воно не стане автоматичним. Візьміть десять уже знайомих степенів, наприклад $2^5 = 32$ чи $10^{-2} = 0.01$, і запишіть кожен як логарифм. Потім візьміть десять логарифмів і запишіть кожен як степінь. Після короткого тренування $\log_3 81$ чи $\log_{10} 0.001$ стають усною лічбою, а не загадкою.

Далі відпрацюйте властивості на числах, перш ніж застосовувати їх до змінних. Якщо ви переконаєтеся, що $\log_2 8 + \log_2 4$ дорівнює $\log_2 32$, обчисливши обидві частини, властивість добутку стане переконливою, і ви навчитеся розпізнавати хибні правила з попереднього розділу. Лише після цього переходьте до розкладання й згортання алгебраїчних виразів.

Нарешті, розв'язуйте рівняння обох типів: ті, де невідоме стоїть у показнику, і ті, де воно під знаком логарифма. Перший тип розв'язують логарифмуванням, другий — переходом до показникової форми. Розпізнати тип задачі — половина роботи, а перевірка умов наприкінці — друга звичка, яка відрізняє правильні відповіді від майже правильних.

Поширені запитання