Калькулятор степенів

Про калькулятор степенів

Показники степеня — це скорочений запис повторного множення, але вони швидко виходять за його межі: від'ємні показники описують обернені числа, дробові — корені, а кілька властивостей перетворюють довгі добутки на кілька рядків. Плутанина в цих властивостях — одне з найчастіших джерел помилок в алгебрі.

Калькулятор має два режими. Режим степеня точно обчислює $a^b$ для раціональної основи й раціонального показника, наприклад $8^{2/3} = 4$ або $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2} = \tfrac94$ , і повідомляє, якщо результат ірраціональний або не є дійсним числом. Режим спрощення застосовує властивості степенів до одночленів із кількома змінними й записує відповідь із додатними показниками.

Що таке показник степеня?

У $a^n$ основа $a$ множиться сама на себе $n$ разів, якщо $n$ — натуральне число: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Отже, показник $n$ — це кількість множників у добутку.

Означення розширюють так, щоб властивості й далі виконувалися: $a^0 = 1$ при $a \ne 0$ , $a^{-n} = 1/a^n$ і $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ . Тоді зміст має будь-який раціональний показник, а $a^{m/n}$ — це корінь $n$ -го степеня з $a$ , піднесений до степеня $m$ .

Як користуватися калькулятором степенів

Оберіть «Обчислити степінь bⁿ», щоб піднести число до степеня, або «Спростити за властивостями степенів», щоб застосувати властивості до виразу.
У режимі степеня введіть основу й показник. Обидва можуть бути цілими числами, десятковими дробами або дробами на зразок 2/3 чи -1/2.
У режимі спрощення запишіть вираз, використовуючи ^ для степенів, наприклад (2x^3y)^2/(4x^-1y^5).
Натисніть «Обчислити» й стежте за кроками; у кожному названо застосовану властивість, наприклад степінь добутку або частку степенів з однаковою основою.

Формули

Добуток степенів з однаковою основою

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Частка степенів з однаковою основою

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Піднесення степеня до степеня

(a^m)^n = a^{mn}

Степінь добутку

(ab)^n = a^n b^n

Від'ємний показник

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Дробовий показник

a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Розв'язаний приклад: 8^(2/3)

У прикладі обчислюється $8^{2/3}$ . Знаменник показника 3 означає кубічний корінь, а чисельник 2 — квадрат, тому калькулятор спершу знаходить $\sqrt[3]{8} = 2$ , а потім підносить до квадрата й отримує 4.

Якщо спершу добути корінь, числа залишаються невеликими: $8^2 = 64$ , а потім $\sqrt[3]{64} = 4$ дає ту саму відповідь ціною більшого обсягу обчислень.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

4

Як ми зрозуміли вашу задачу

Підносимо 8 до степеня 2/3.

\left(8\right)^{\frac{2}{3}}

Покроковий розв'язок

Визначаємо основу й показник
основа b = 8, показник n = 2/3
$8^{\frac{2}{3}}$
Правило дробового показника
b^(m/n) = (ⁿ√b)^m: знаменник 3 — показник кореня, чисельник 2 — показник степеня.
$8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}$
Точно добуваємо кубічний корінь
$4$

Використані формули

Натуральний степінь
$b^n = \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{n}$
Від'ємний показник
$b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
Раціональний показник
$b^{m/n} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

8 у степені 2/3 дорівнює 4.

Перевірка

Перевірка в десяткових дробах: 8^0.6666666667 ≈ 4.

Докладне пояснення

Чому властивості виконуються

Множення степенів — це лічба. $a^3 \cdot a^2$ — це три множники $a$ , помножені ще на два, разом п'ять, тобто $a^5$ . Ділення — це скорочення: у $\frac{a^5}{a^2}$ скорочуються два множники, і залишаються три.

Означення нульового й від'ємного показників випливають із правила ділення. Оскільки $\frac{a^3}{a^3} = 1$ , а правило дає $a^0$ , має виконуватися $a^0 = 1$ . Так само $\frac{a^2}{a^5} = a^{-3}$ дорівнює й $\frac{1}{a^3}$ , тому $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$ .

Дробові показники й корені

Оскільки $(a^{1/n})^n = a^{1} = a$ , число $a^{1/n}$ має бути коренем $n$ -го степеня з $a$ . Калькулятор видає точний результат, якщо корінь раціональний, як $32^{3/5} = 8$ , а інакше зберігає точний запис із коренем замість заокругленого десяткового дробу.

За від'ємної основи корені непарного степеня дійсні, тож $(-8)^{1/3} = -2$ , а корені парного степеня не є дійсними числами: $(-4)^{1/2}$ не має дійсного значення. Калькулятор повідомляє про це, а не видає оманливий результат.

Спрощення одночленів

Щоб спростити вираз на зразок $\frac{(2x^3y)^2}{4x^{-1}y^5}$ , спершу застосуйте властивість степеня добутку: $(2x^3y)^2 = 4x^6y^2$ . Потім поділіть коефіцієнти й відніміть показники для кожної змінної: $4/4 = 1$ , $x^{6-(-1)} = x^7$ і $y^{2-5} = y^{-3}$ . Нарешті, запишіть від'ємні показники через обернені величини й отримайте $\frac{x^7}{y^3}$ .

Де степені трапляються поза уроками

Степені описують усе, що зростає або спадає в стале число разів. Вклад під 5 % річних через $t$ років множиться на $1.05^t$ , популяція, що подвоюється за кожен період, зростає як $2^t$ , а радіоактивний зразок розпадається за кожен період напіврозпаду як $\left(\tfrac12\right)^t$ . Стандартний вигляд числа, наприклад $6.02 \times 10^{23}$ , використовує степені десяти, щоб компактно записувати дуже великі й дуже малі числа.

В усіх випадках діють ті самі властивості. Два роки зростання, а потім ще три дають $1.05^2 \cdot 1.05^3 = 1.05^5$ , а час до досягнення цільового значення знаходять, обертаючи степінь за допомогою логарифма, що калькулятор логарифмів робить крок за кроком.

Типові помилки

Множити основу на показник, наприклад писати $2^3 = 6$ замість 8.
Думати, що від'ємний показник робить результат від'ємним. $2^{-3} = \tfrac18$ , і це додатне число.
Застосовувати показник лише до частини добутку: $(3x)^2 = 9x^2$ , а не $3x^2$ .
Розподіляти показник по сумі: $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ .
Плутати $-3^2 = -9$ і $(-3)^2 = 9$ ; піднесення до степеня виконується раніше, ніж ураховується знак мінус.

Поради

У $a^{m/n}$ спершу добувайте корінь, якщо основа — точний степінь; так числа залишаються меншими.
Під час спрощення одночленів опрацьовуйте коефіцієнти й кожну змінну окремо.
Залишайте від'ємні показники до останнього кроку, а потім переносьте їх на інший бік риски дробу.
Завжди ставте дужки, коли підносите до степеня від'ємне число або дріб.

Поширені запитання

Чому дорівнює число в нульовому степені?

Будь-яке ненульове число в нульовому степені дорівнює 1. Вираз 0 у степені 0 у цьому калькуляторі залишається невизначеним, бо різні розділи математики трактують його по-різному.

Як обчислити степінь із від'ємним показником?

Візьміть число, обернене до основи, і піднесіть його до додатного степеня. Наприклад, 5 у степені мінус 2 дорівнює 1, поділеній на 25.

Що означає дробовий показник?

Знаменник означає корінь, а чисельник — степінь. Так, 27 у степені 2/3 — це кубічний корінь із 27, тобто 3, піднесений до квадрата, що дає 9.

Чи можна піднести від'ємне число до дробового степеня?

Лише якщо знаменник нескоротного показника непарний. Мінус 8 у степені 1/3 дорівнює мінус 2, а мінус 4 у степені 1/2 не є дійсним числом.

Чому (a + b) у квадраті не дорівнює a у квадраті плюс b у квадраті?

Степінь розподіляється за множенням, а не за додаванням. Після розкриття дужок виходить a у квадраті плюс 2ab плюс b у квадраті, і середній член легко забути; це формула квадрата суми.

Чи дає калькулятор точні результати?

Так. Результати — точні дроби або корені; десяткове наближення показується лише поруч з ірраціональним результатом.

Спробуйте калькулятор степенів

Обчисліть точний степінь або спростіть вираз і перегляньте кожну застосовану властивість.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач