Калькулятор спрощення виразів — спростити вираз з розв'язанням

Про калькулятор спрощення виразів

Спрощення — це щоденне прибирання в алгебрі. Перш ніж розв'язувати рівняння, будувати графік чи порівнювати вирази, їх зазвичай треба звести до охайного стандартного вигляду: дужки розкрито, подібні доданки зведено, дроби скорочено. Вручну це передусім питання акуратності, і один загублений знак псує весь результат.

Калькулятор спрощує многочлени від однієї або кількох змінних, як-от $3(x + 2) - 2(x - 1)$ або $(a + b)^2 - (a - b)^2$ , числові вирази з дробами та алгебраїчні дроби від однієї змінної, як-от $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ : він розкладає їх на множники, скорочує спільні множники й указує виключені значення.

Що означає спростити вираз?

Два вирази тотожно рівні, якщо за кожного допустимого значення змінних вони набувають того самого значення. Спростити вираз — означає замінити його тотожно рівним, коротшим або одноманітнішим. Стандартний вигляд многочлена не містить дужок, у ньому рівно один член для кожного поєднання степенів, а члени впорядковано за спаданням степеня.

Найпростіший вигляд алгебраїчного дробу той, у якому чисельник і знаменник не мають спільного множника-многочлена. Скорочувати множник на зразок $x + 3$ можна лише там, де $x + 3 \ne 0$ , тому повна відповідь указує це обмеження.

Як користуватися калькулятором спрощення виразів

Введіть вираз, наприклад 3(x + 2) - 2(x - 1) або (x^2 - 9)/(x^2 + 3x).
Використовуйте ^ для степенів, а для множення — * або просто запис поруч: 2x, 2*x і 2(x + 1) працюють однаково.
Натисніть «Спростити» й стежте за кроками: розкриття дужок, піднесення до степеня, зведення подібних доданків, а для дробів — розкладання на множники й скорочення.
Прочитайте остаточний спрощений вигляд разом із відповідними виключеними значеннями.

Формули

Розподільний закон

a(b + c) = ab + ac

Квадрат суми

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Зведення подібних доданків

px^k + qx^k = (p + q)x^k

Скорочення спільного множника

\frac{AC}{BC} = \frac{A}{B}, \quad C \ne 0

Розв'язаний приклад: 3(x + 2) − 2(x − 1)

У прикладі спрощується $3(x + 2) - 2(x - 1)$ . Калькулятор розкриває дужки, множачи на кожен коефіцієнт, і стежить, щоб $-2$ множилося на обидва члени другої дужки, тож $-1$ перетворюється на $+2$ .

Отримуємо $3x + 6 - 2x + 2$ . Якщо окремо звести члени з $x$ і вільні члени, залишається $x + 8$ .

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

x + 8

Як ми зрозуміли вашу задачу

Спрощуємо многочлен від x.

3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)

Покроковий розв'язок

Читаємо вираз
$3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)$
Розкриваємо дужки (перемножуємо всі добутки)
Кожен член одного множника множимо на кожен член іншого: a(b + c) = ab + ac.
Результат після розкриття дужок
$3x + 6 - 2x + 2$
Зводимо подібні члени
x: 3 − 2 = 1; вільні члени: 6 + 2 = 8. Подібні члени мають однакові змінні з однаковими показниками, тому додаються лише їхні коефіцієнти.
Записуємо результат у стандартному вигляді
Члени впорядковано за спаданням повного степеня.
$x + 8$

Використані формули

Розподільний закон
$a(b + c) = ab + ac$
Квадрат суми
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Подібні члени
$m\,x^k + n\,x^k = (m + n)\,x^k$

Після розкриття дужок і зведення подібних членів вираз дорівнює x + 8: це многочлен степеня 1, у якому 2 членів.

Перевірка

Вибіркова перевірка при x = 0.73: початковий 8.73, спрощений 8.73 ✓

Докладне пояснення

Подібні доданки

Подібні доданки мають точно однакові змінні з точно однаковими показниками; різнитися можуть лише числові коефіцієнти. Так, $5x^2y$ і $-2x^2y$ подібні й у сумі дають $3x^2y$ , а $x^2y$ і $xy^2$ — ні, і їх треба залишити окремо.

Калькулятор зберігає кожен член як коефіцієнт разом зі списком показників. Додати два члени — означає додати коефіцієнти з однаковим списком, а це й є зведення подібних доданків. Оскільки коефіцієнти — точні дроби, результати на зразок $\tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{6}x = \tfrac{1}{2}x$ виходять точними.

Спершу розкрити дужки, потім звести подібні

Дужки ховають подібні доданки. У $(a + b)^2 - (a - b)^2$ нічого не можна звести, доки обидва квадрати не розкрито: $a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)$ . Після цього члени $a^2$ і $b^2$ взаємно знищуються, і залишається $4ab$ . Калькулятор завжди спершу розкриває всі добутки й степені й лише потім зводить подібні.

Віднімання дужки — класичне джерело помилок. Знак мінус стосується всіх членів у дужці, тому $-(a^2 - 2ab + b^2) = -a^2 + 2ab - b^2$ .

Алгебраїчні дроби

Щоб спростити частку многочленів, повністю розкладіть чисельник і знаменник на множники й скоротіть множники, що є в обох. У $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$ скорочується спільний множник $x + 3$ , і залишається $\frac{x - 3}{x}$ при $x \ne 0$ і $x \ne -3$ .

Скорочують лише множники й ніколи — окремі доданки. Викреслити $x^2$ у $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ було б помилкою, адже $x^2$ — доданок, а не множник усього чисельника. Запам'ятайте: скорочувати можна добутки, а не суми.

Числові вирази й порядок дій

Якщо у виразі лише числа, спростити його — означає точно обчислити. Калькулятор дотримується звичайного порядку дій: спершу дужки, потім степені, потім множення й ділення, потім додавання й віднімання, щоразу зліва направо. Дроби залишаються дробами від початку до кінця, тож $\tfrac34 + \tfrac56 \cdot 2$ перетворюється на $\tfrac34 + \tfrac53 = \tfrac{29}{12}$ , а не на заокруглений десятковий дріб.

Точні обчислення важливі, бо надто раннє заокруглення може спотворити результат на наступних кроках. Якщо для практичної відповіді потрібен десятковий дріб, перетворіть точне остаточне значення один раз, у самому кінці.

Типові помилки

Застосовувати знак мінус лише до першого члена в дужці.
Записувати $(a + b)^2$ як $a^2 + b^2$ , забуваючи член $2ab$ .
Додавати неподібні доданки, наприклад $x^2$ і $x$ , отримуючи $2x^3$ .
Скорочувати в дробі доданки замість множників.
Забувати виключені значення після скорочення множника.

Поради

Перш ніж розкривати дужки, запишіть віднімання дужки як додавання дужки, помноженої на $-1$ .
Перед зведенням подібних позначте їх одним кольором.
Перевіряйте спрощення, підставляючи просте значення на зразок $x = 2$ в обидві форми.
Розкладайте все на множники, перш ніж щось скорочувати в алгебраїчному дробі.
Упорядковуйте результат за спаданням степенів, щоб його було легко порівняти з іншими розв'язаннями.

Поширені запитання

Що таке подібні доданки?

Доданки з однаковими змінними й однаковими показниками, наприклад 4xy і мінус 7xy. Різняться лише коефіцієнти, тому їх можна об'єднати в один член.

Чи змінює спрощення значення виразу?

Ні. Спрощений вираз тотожно рівний початковому за кожного допустимого значення. Єдина відмінність: скорочені множники породжують виключені значення, які треба вказати.

Чи спрощує калькулятор вирази з кількома змінними?

Так: у многочленах із будь-якою кількістю змінних розкриваються дужки й зводяться подібні доданки. Алгебраїчні дроби спрощуються для однієї змінної.

Чому мій скорочений дріб має обмеження?

Коли ви скорочуєте спільний множник чисельника й знаменника, початковий вираз не був визначений там, де цей множник дорівнює нулю. Спрощений вигляд має зберегти це обмеження, щоб залишитися тотожно рівним початковому.

Спростити — те саме, що розв'язати?

Ні. Спрощення перетворює вираз; розв'язання знаходить значення, за яких рівняння стає правильним. Спершу спростіть обидві частини, а для пошуку розв'язків використовуйте калькулятор рівнянь.

Що таке стандартний вигляд многочлена?

Усі дужки розкрито, для кожного поєднання степенів є рівно один член, а члени йдуть від найвищого степеня до найнижчого, з вільним членом наприкінці.

Чи можна спрощувати числові вирази?

Так. Вирази на зразок 3/4 + 5/6 помножити на 2 точно обчислюються за порядком дій, а потім спрощуються до нескоротного дробу.

Спробуйте калькулятор спрощення виразів

Введіть вираз і простежте кожен крок до його найпростішого точного вигляду.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Спрощення виразів