Калькулятор похідних

Основні правила

Майже всі похідні з першого курсу математичного аналізу випливають із кількох правил. Правило для степеня дає $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ для будь-якого дійсного $n$, і це охоплює корені: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ має похідну $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Виносячи сталий множник і диференціюючи суму почленно, ви знаходите похідну многочлена доданок за доданком. Експонента $e^x$ дорівнює своїй похідній, а для логарифма $\frac{d}{dx}\ln x = \frac1x$. Кожна з шести тригонометричних функцій має табличну похідну, починаючи з $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ і $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.

Табличні похідні комбінуються за допомогою трьох структурних правил. Правило добутку відповідає за $f \cdot g$, правило частки — за $\frac{f}{g}$, а правило складеної функції — за функцію всередині іншої функції. Розпізнати структуру виразу — більша частина роботи, тому калькулятор називає правило в заголовку кожного кроку.

Похідна складеної функції на практиці

Правило стверджує: якщо $y = f(g(x))$, то $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Диференціюють зовнішню функцію, залишаючи внутрішню без змін, і множать на похідну внутрішньої функції. У $\sin(x^2)$ зовнішня функція — синус, внутрішня — $x^2$, тому похідна дорівнює $\cos(x^2) \cdot 2x$. Калькулятор записує її як $2\cos(x^2)\,x$ — це той самий вираз із переставленими множниками.

Правило складеної функції приховане й в інших правилах. У $e^{3x}$ внутрішня функція — $3x$, тому похідна дорівнює $3e^{3x}$, і калькулятор називає цей крок похідною показникової функції з $e^u \cdot u'$. Забути множник — похідну внутрішньої функції — найчастіша помилка під час диференціювання, і найшвидше її знайти, порівнявши свою відповідь із кроком калькулятора для внутрішньої функції.

Частки та спрощення

Для частки $\frac{u}{v}$ правило має вигляд $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. Порядок у чисельнику важливий, бо віднімання не комутативне. Диференціюючи $\frac{e^{3x}}{x}$, отримуємо $\frac{3e^{3x} \cdot x - e^{3x}}{x^2}$, що калькулятор спрощує до $\left(\frac3x - \frac{1}{x^2}\right)e^{3x}$. Обидві форми правильні, як і $\frac{e^{3x}(3x - 1)}{x^2}$. Якщо ваша відповідь виглядає інакше, підставте в обидва вирази значення, наприклад $x = 1$; якщо вони збігаються в кількох точках, це добра ознака того, що вирази рівносильні.

Похідні вищих порядків і значення в точці

Продиференціювавши ще раз, отримуємо другу похідну, яка показує, як змінюється сам кутовий коефіцієнт. Додатна друга похідна означає, що крива опукла вниз, як чаша, від'ємна — що вона опукла вгору. Для $f(x) = x^3$ перша похідна дорівнює $3x^2$, а друга — $6x$; при $x = 2$ отримуємо $f''(2) = 12$. Якби $x^3$ у фізиці описувало координату, то 12 було б прискоренням у момент часу 2.

Значення першої похідної в точці — це кутовий коефіцієнт дотичної в ній, і разом із самою точкою воно дає змогу записати рівняння дотичної. На цьому ґрунтуються лінійне наближення й метод Ньютона для розв'язування рівнянь.

Пошук максимумів і мінімумів за допомогою похідної

Диференційовна функція може мати локальний максимум або мінімум лише там, де її похідна дорівнює нулю або не існує: на вершині чи в низині дотична горизонтальна. Щоб дослідити функцію на екстремум, знайдіть похідну, прирівняйте $f'(x) = 0$, розв'яжіть відносно $x$ і перевірте кожну критичну точку. Для $f(x) = x^3 - 3x$ похідна дорівнює $3x^2 - 3$ і перетворюється на нуль при $x = -1$ і при $x = 1$. Друга похідна $6x$ від'ємна в $-1$ і додатна в $1$, тому крива має максимум у точці $(-1, 2)$ і мінімум у точці $(1, -2)$.

На відрізку найбільше й найменше значення можуть досягатися й на кінцях, тому порівняйте також значення функції там. Багато прикладних задач, наприклад мінімізація витрати матеріалу на коробку заданого об'єму, розв'язуються саме так, щойно оптимізовану величину записано як функцію однієї змінної.

Як калькулятор перевіряє результат

Символьне диференціювання може помилятися непомітно, особливо під час спрощення, тому результат не приймається без перевірки. Калькулятор обчислює вашу похідну в низці контрольних точок і порівнює її з центральним різницевим відношенням $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ при малому $h$, обчисленим безпосередньо за початковою функцією. Якщо вони збігаються з жорстким допуском в усіх точках, де функція визначена, перевірку пройдено, і це відображається під результатом. Ту саму ідею можна застосувати вручну зі звичайним калькулятором: оберіть значення $x$, трохи зсуньте його вгору й униз і перевірте, чи відповідає зміна $f$, поділена на зміну $x$, вашій похідній.