Калькулятор неявного диференціювання

Про калькулятор неявного диференціювання

Багато кривих незручно записувати у вигляді $y = f(x)$ . Коло на зразок $x^2 + y^2 = 25$ не проходить тест вертикальної прямої, а така крива, як декартів лист $x^3 + y^3 = 6xy$ , не має зручної формули для $y$ . Проте кутові коефіцієнти дотичних до них існують майже в кожній точці, і неявне диференціювання — це прийом, який знаходить їх, не виражаючи спочатку $y$ .

Калькулятор застосовує метод так, як його пояснюють на уроках. Він вважає $y$ невідомою функцією від $x$ , диференціює обидві частини вашого рівняння за $x$ і за правилом складеної функції приписує кожному доданку, що містить $y$ , множник $y'$ . Потім він збирає доданки з $y'$ в одній частині, виносить $y'$ за дужки й ділить, отримуючи формулу для $\frac{dy}{dx}$ через $x$ та $y$ .

Якщо вказати точку на кривій, калькулятор підставить її, видасть кутовий коефіцієнт числом і запише рівняння дотичної в цій точці. Готова формула незалежно звіряється з $-\frac{F_x}{F_y}$ — результатом, який передбачають частинні похідні, — щоб ви могли довіряти відповіді, перш ніж її переписати.

Що таке неявне диференціювання?

Рівняння на зразок $x^2 + y^2 = 25$ задає $y$ неявно: воно описує зв'язок між $x$ та $y$ , а не виражає $y$ безпосередньо. Поблизу більшості точок кривої $y$ однаково поводиться як функція від $x$ , навіть якщо цю функцію не можна записати. Неявне диференціювання знаходить її похідну за самим зв'язком.

Ключ — правило складеної функції. Якщо $y$ залежить від $x$ , то похідна $y^2$ за $x$ дорівнює не $2y$ , а $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ . Те саме справджується для $\sin y$ , $e^y$ і будь-якого іншого доданка з $y$ : диференціюємо як зазвичай і множимо на $y'$ . Доданки, що містять лише $x$ , диференціюються звичайним чином, а сталі зникають.

Результат зазвичай містить і $x$ , і $y$ , як у $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ . Це нормально й правильно. Одному значенню $x$ може відповідати кілька точок кривої з різними кутовими коефіцієнтами, тому формулі потрібна координата $y$ , щоб зрозуміти, про яку точку йдеться.

Як користуватися калькулятором неявного диференціювання

Запишіть рівняння з x та y рівно з одним знаком рівності, наприклад x^2 + y^2 = 25 або x^3 + y^3 = 6 x y.
Для множення літер використовуйте пробіл або *: x y чи x*y означає добуток x та y.
За бажання введіть точку на кривій, наприклад x = 3, y = 4, щоб отримати кутовий коефіцієнт і дотичну в цій точці.
Натисніть «Знайти dy/dx», щоб побачити продиференційовані частини, зібрані доданки з y′ і готову формулу.
Якщо ви вказали точку, кутовий коефіцієнт і рівняння дотичної будуть в останніх кроках.

Формули

Правило складеної функції для доданка з y

\frac{d}{dx}\big[g(y)\big] = g'(y)\,\frac{dy}{dx}

Правило добутку з y

\frac{d}{dx}\big[xy\big] = y + x\,\frac{dy}{dx}

Короткий шлях через частинні похідні

F(x,y) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

Дотична в точці (x₀, y₀)

y - y_0 = m\,(x - x_0),\quad m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,\,y_0)}

Розв'язаний приклад: x² + y² = 25 у точці (3, 4)

Приклад обчислюється в реальному часі для кола $x^2 + y^2 = 25$ у точці $(3, 4)$ . Диференціювання обох частин дає $2x + 2y\,y' = 0$ ; доданок $2y\,y'$ з'являється з правила складеної функції. Перенісши $2x$ в іншу частину й поділивши на $2y$ , отримуємо $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

У точці $(3, 4)$ кутовий коефіцієнт дорівнює $-\frac34 = -0.75$ , тому дотична має рівняння $y - 4 = -0.75(x - 3)$ . Геометрія це підтверджує: радіус, проведений у точку $(3, 4)$ , має кутовий коефіцієнт $\frac43$ , а дотична до кола перпендикулярна радіусу, тому її коефіцієнт має бути протилежним оберненим числом, $-\frac34$ .

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},\quad \text{кутовий коефіцієнт у точці} = -0.75

Як ми зрозуміли вашу задачу

Знайдемо dy/dx для неявно заданої кривої, вважаючи y диференційовною функцією від x.

{x}^{2}+{y}^{2} = 25

Покроковий розв'язок

Вважаємо y функцією від x і диференціюємо обидві частини за x
Для кожного доданка з y потрібне правило диференціювання складеної функції: d/dx[g(y)] = g′(y)·y′.
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+{y}^{2}\right] = \frac{d}{dx}\left[25\right]$
Результат диференціювання обох частин
$2x + \left(2y\right) y' = 0$
Збираємо доданки з y′ в одній частині
Переносимо всі доданки з y′ ліворуч, а все інше праворуч, потім виносимо y′ за дужки.
$\left(2y\right) y' = -\left(2x\right)$
Ділимо, щоб виразити y′
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
Підставляємо x = 3, y = 4
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,\,4)} = -0.75$
Дотична в точці
$y - 4 = -0.75\,(x - 3)$

Використані формули

Похідна складеної функції для y
$\frac{d}{dx}\,g(y) = g'(y)\,\frac{dy}{dx}$
Формула похідної неявної функції
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},\quad F(x,y) = 0$

Під час диференціювання обох частин рівність зберігається; оскільки y залежить від x, кожен доданок з y дає множник y′, відносно якого потім розв'язуємо рівняння алгебраїчно. Результат зазвичай містить і x, і y.

Перевірка

Збігається з −F_x / F_y від незалежної системи символьного диференціювання в кількох контрольних точках ✓
(3, 4) лежить на кривій ✓

Докладне пояснення

Метод у чотири кроки

Перше: продиференціюйте всі доданки обох частин за $x$ . Друге: якщо доданок містить $y$ , помножте його похідну на $y'$ ; якщо $x$ та $y$ перемножені, використовуйте правило добутку. Третє: перенесіть усі доданки з $y'$ в одну частину, а решту — в іншу. Четверте: винесіть $y'$ за дужки й поділіть на те, що залишилося.

Для $x^3 + y^3 = 6xy$ перші два кроки дають $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$ , бо права частина — добуток. Після групування доданків залишається $(3y^2 - 6x)\,y' = 6y - 3x^2$ , тобто $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$ . Калькулятор показує саме цю послідовність кроків.

Чому правило складеної функції дає y′

Уявіть $y$ як $y(x)$ — функцію, якої не видно. Тоді $y^3$ насправді складена функція, куб $y(x)$ , і за правилом складеної функції її похідна дорівнює $3y(x)^2 \cdot y'(x)$ . Неявне диференціювання — це лише звичне правило складеної функції, застосоване до внутрішньої функції, формула якої невідома.

Тому ж $\frac{d}{dx}[\sin y] = \cos y \cdot y'$ і $\frac{d}{dx}[e^y] = e^y\,y'$ . Для рівняння $\sin y = x$ диференціювання дає $\cos y\,y' = 1$ , тобто $y' = \frac{1}{\cos y}$ . Оскільки на головній гілці ця крива є $y = \arcsin x$ , так швидко отримують похідну арксинуса, якщо записати $\cos y$ як $\sqrt{1 - x^2}$ .

Кутові коефіцієнти, дотичні й особливі точки

Підставивши точку у формулу, ви отримаєте кутовий коефіцієнт у цій точці, але лише якщо точка справді лежить на кривій, тому спочатку перевірте, чи задовольняє вона вихідне рівняння. З кутовим коефіцієнтом $m$ і точкою $(x_0, y_0)$ дотична має рівняння $y - y_0 = m(x - x_0)$ .

Формула допомагає знаходити й особливі точки. Горизонтальні дотичні там, де чисельник $\frac{dy}{dx}$ перетворюється на нуль, а знаменник ні. Вертикальні дотичні там, де на нуль перетворюється знаменник, а чисельник ні; у кола це відбувається в $(\pm 5, 0)$ , де $y = 0$ . Якщо чисельник і знаменник одночасно дорівнюють нулю, як у початку координат у декартового листа, крива може перетинати саму себе, і кутовий коефіцієнт потрібно досліджувати окремо.

Короткий шлях через частинні похідні

Якщо перенести все в одну частину, крива записується як $F(x, y) = 0$ . Аналіз функцій кількох змінних дає тоді формулу $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ , де $F_x$ і $F_y$ — частинні похідні. Для $x^2 + xy + y^2 = 7$ маємо $F_x = 2x + y$ і $F_y = x + 2y$ , отже, $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ , що в точці $(1, 2)$ дорівнює $-0.8$ .

Калькулятор використовує цю формулу як незалежну перевірку покрокового результату. Ви можете чинити так само: якщо ваше ручне розв'язання й короткий шлях збігаються, результату можна довіряти.

Де це знадобиться далі: пов'язані швидкості

Неявне диференціювання — рушій задач на пов'язані швидкості зміни. Якщо драбина сповзає по стіні, її нижній і верхній кінці в кожен момент задовольняють $x^2 + y^2 = L^2$ , і обидві координати залежать від часу. Диференціюючи за $t$ , а не за $x$ , отримуємо $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ , що пов'язує швидкість нижнього кінця зі швидкістю верхнього.

Порядок дій той самий, що й на цій сторінці: продиференціювати зв'язок, застосувати правило складеної функції до кожної змінної величини й виразити шукану швидкість. На цьому ж ґрунтується логарифмічне диференціювання: від обох частин $y = x^x$ беруть $\ln$ і неявно диференціюють $\ln y = x \ln x$ , отримуючи $y' = x^x(\ln x + 1)$ .

Типові помилки

Записувати похідну $y^2$ як $2y$ , забуваючи множник $y'$ .
Забувати правило добутку в мішаних доданках, так що $\frac{d}{dx}[xy]$ перетворюється просто на $y'$ або $xy'$ .
Диференціювати сталу в правій частині як змінну, замість того щоб отримати 0.
Ділити на вираз, що дорівнює нулю в досліджуваній точці, і тим самим пропускати вертикальну дотичну.
Підставляти точку, яка не задовольняє вихідне рівняння.
Без потреби заздалегідь виражати $y$ , що часто породжує квадратні корені з неясним знаком.

Поради

Обводьте або виділяйте кожен $y'$ під час запису, щоб жоден не загубився під час групування доданків.
Розкривайте добутки до диференціювання, якщо це зменшує кількість доданків за правилом добутку.
Використовуйте $-\frac{F_x}{F_y}$ для швидкої перевірки результату.
Спрощуйте підсумковий дріб, скорочуючи спільні множники на зразок 2 або 3.
Перед пошуком дотичної перевірте, чи лежить ваша точка на кривій.
Для другої похідної ще раз неявно продиференціюйте $y'$ і підставте формулу першої похідної.

Поширені запитання

Коли застосовують неявне диференціювання?

Щоразу, коли y пов'язаний з x рівнянням, яке важко або неможливо розв'язати відносно y, як x³ + y³ = 6xy, або коли вираження y розбило б криву на кілька гілок, як у кіл і еліпсів.

Чому dy/dx містить не лише x, а й y?

Одному значенню x може відповідати кілька точок неявної кривої, і кожна має свій кутовий коефіцієнт. Літера y у формулі вказує, про яку точку йдеться. Для кола −x/y у точці (3, 4) дорівнює −0,75, а в точці (3, −4) дорівнює +0,75.

Як ввести точку для кутового коефіцієнта?

Запишіть обидві координати в необов'язкове поле, наприклад x = 3, y = 4. Калькулятор підставить їх у dy/dx і запише рівняння дотичної за точкою й кутовим коефіцієнтом.

Чи може він диференціювати рівняння з sin y або e^y?

Так. Допускається будь-який диференційовний вираз з x та y. Доданки на зразок sin y або e^y отримують множник y′ за правилом складеної функції, тож із sin y = x виходить dy/dx = 1/cos y.

Що означає, якщо знаменник dy/dx дорівнює нулю?

У цій точці дотична вертикальна, якщо тільки чисельник теж не перетворюється на нуль. Для x² + y² = 25 це відбувається в точках (5, 0) і (−5, 0).

Неявне диференціювання — те саме, що використання частинних похідних?

Обидва способи дають однаковий результат. Покроковий метод безпосередньо використовує правило складеної функції, а формула dy/dx = −F_x/F_y — частинні похідні F(x, y). Калькулятор показує перший спосіб і перевіряє його другим.

Чи можна знайти d²y/dx² цим калькулятором?

Калькулятор знаходить першу похідну. Для другої ще раз продиференціюйте формулу dy/dx за правилом частки, пам'ятаючи, що y і далі залежить від x, а потім замініть кожен y′, що з'явився, виразом першої похідної.

Які літери мають бути в рівнянні?

Рівняння має бути записане через x та y, де y — залежна змінна. Інші літери не приймаються, і калькулятор повідомить про це, а не вгадуватиме їхню роль.

Чи потрібно виражати y перед диференціюванням?

Ні, і зазвичай краще цього не робити. Якщо виразити y з x² + y² = 25, вийде ±√(25 − x²) — дві різні функції з громіздкими квадратними коренями. Диференціюючи вихідне рівняння, ви працюєте одразу з обома половинами кола.

Спробуйте калькулятор неявного диференціювання

Введіть рівняння з x та y і отримайте dy/dx з усіма кроками, а також кутовий коефіцієнт і дотичну у вибраній точці.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Про калькулятор неявного диференціювання

Що таке неявне диференціювання?

Як користуватися калькулятором неявного диференціювання

Формули

Правило складеної функції для доданка з y

Правило добутку з y

Короткий шлях через частинні похідні

Дотична в точці (x₀, y₀)

Розв'язаний приклад: x² + y² = 25 у точці (3, 4)

Відповідь

Як ми зрозуміли вашу задачу

Покроковий розв'язок

Використані формули

Перевірка

Докладне пояснення

Метод у чотири кроки

Чому правило складеної функції дає y′

Кутові коефіцієнти, дотичні й особливі точки

Короткий шлях через частинні похідні

Де це знадобиться далі: пов'язані швидкості

Типові помилки

Поради

Поширені запитання

Коли застосовують неявне диференціювання?

Чому dy/dx містить не лише x, а й y?

Як ввести точку для кутового коефіцієнта?

Чи може він диференціювати рівняння з sin y або e^y?

Що означає, якщо знаменник dy/dx дорівнює нулю?

Неявне диференціювання — те саме, що використання частинних похідних?

Чи можна знайти d²y/dx² цим калькулятором?

Які літери мають бути в рівнянні?

Чи потрібно виражати y перед диференціюванням?

Спробуйте калькулятор неявного диференціювання

Інші математичні калькулятори