Калькулятор визначених інтегралів

Чому F(b) − F(a) дає площу

Уявіть функцію площі $A(t)$, що дорівнює площі під $f$ від $a$ до рухомої точки $t$. Якщо зсунути $t$ на малу величину $h$, додасться вузька смужка заввишки приблизно $f(t)$ і завширшки $h$, тому $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$. Поділивши на $h$ і спрямувавши його до нуля, бачимо, що $A'(t) = f(t)$: функція площі — первісна для $f$.

Дві первісні відрізняються лише на сталу, тому $A(t) = F(t) + C$ для знайденої первісної $F$. Оскільки $A(a) = 0$, стала дорівнює $-F(a)$, і вся площа дорівнює $A(b) = F(b) - F(a)$. Ось чому стала інтегрування ніколи не з'являється у визначеному інтегралі: вона скорочується під час віднімання.

Орієнтована й геометрична площа

Якщо крива проходить під віссю, інтеграл віднімає цю частину. У $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$ додатна й від'ємна дуги точно компенсують одна одну, і результат дорівнює 0. Це правильне значення інтеграла, але не та площа, яку ви заштрихували б на кресленні.

Щоб знайти повну площу, визначте нулі функції на відрізку, проінтегруйте за кожною частиною й додайте модулі результатів. Калькулятор розуміє abs(): якщо ввести abs(x-1) від 0 до 2, він видасть 1 — суму площ двох трикутників, тоді як x-1 на тому самому відрізку дає 0.

Невласні інтеграли: нескінченні межі й вертикальні асимптоти

Інтеграл називається невласним, якщо одна з меж інтегрування нескінченна або функція десь на відрізку необмежена. Тоді його значення визначається як границя. Для $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$ калькулятор знаходить $F(x) = -\frac1x$, обчислює границю при $x \to \infty$, що дорівнює 0, віднімає $F(1) = -1$ і повідомляє, що інтеграл збігається до 1.

З асимптотами ідея та сама. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ збігається до 2, бо $2\sqrt{x}$ має в точці 0 скінченну границю, а $\int_0^1 \frac1x\,dx$ розбігається, бо $\ln x$ прямує до $-\infty$. Обидві функції необмежено зростають поблизу нуля; результат вирішує те, наскільки швидко. Якщо особлива точка лежить усередині відрізка, інтеграл треба розбити в ній, і кожна половина має збігатися сама по собі.

На всій числовій прямій границя потрібна для обох меж інтегрування. Калькулятор обчислює $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ як $\arctan x$ від $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ і отримує рівно $\pi$.

Коли формули немає: чисельне інтегрування

Первісні деяких цілком звичайних функцій не виражаються через елементарні функції. Класичні приклади — дзвоноподібна крива $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ і $\sqrt{1 + x^3}$. Їхні визначені інтеграли проте існують, їх просто потрібно обчислювати чисельно.

У цьому разі калькулятор використовує адаптивний метод Сімпсона: він наближає невеликі ділянки кривої параболами й далі дробить ті ділянки, де оцінка ще недостатньо точна, домагаючись похибки, меншої за $10^{-10}$. Для $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ він видає приблизно 0,7468241328 і позначає це як чисельне наближення, щоб його ніколи не сплутали з точним значенням.

Корисні властивості, що заощаджують час

Під час переставлення меж знак змінюється: $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$. Інтеграл за відрізком нульової довжини дорівнює нулю. Для непарної функції, наприклад $x^3$ або $\sin x$, інтеграл за симетричним відрізком $[-a, a]$ дорівнює нулю, а для парної він удвічі більший за інтеграл від 0 до $a$. Помітивши симетрію до обчислень, часто можна перетворити громіздку задачу на відповідь в один рядок.

Крім того, інтеграл лінійний: сталі виносяться, а сума розпадається на окремі інтеграли. Разом з адитивністю за відрізком це дає змогу розбити складну область на зручні частини.