Математичний аналіз

Правила диференціювання з поясненнями й розібраними прикладами

Q: Чи працює правило степеня з від'ємними й дробовими показниками?

Так. Воно правильне для будь-якого дійсного показника: d/(dx)x^(-1) = -x^(-2) і d/(dx)x^(1/3) = 1/3x^(-2/3). Спочатку перепишіть корені й обернені величини у вигляді степенів.

Q: Чи можна обійтися без правила частки?

Часто можна. Запишіть f/g як f · g^(-1) і застосуйте правила добутку й складеної функції або заздалегідь спростіть дріб. Обидва шляхи ведуть до одного результату, хоча іноді його доводиться додатково спростити, щоб він мав однаковий вигляд.

Q: Як зрозуміти, що потрібне правило складеної функції?

Завжди, коли функція містить щось, крім самого x: степінь дужки, тригонометричну функцію від 2x, e у степені, відмінному від x, або логарифм виразу. Якщо внутрішня функція — просто x, її похідна дорівнює 1, і правило складеної функції нічого не змінює.

Q: Чому похідна e в степені x дорівнює самій функції?

Число e ≈ 2.71828 — це саме та основа, за якої кутовий коефіцієнт a^x у точці x = 0 дорівнює 1. Завдяки цій властивості означення через границю показує, що кутовий коефіцієнт у будь-якій точці дорівнює значенню функції в цій точці.

Автор: MathSolver Pro Editorial Team · Опубліковано 25 жовтня 2026 р.

Обчислювати похідні за означенням через границю виснажливо. Невеликий набір правил, кожне з яких один раз доведено з цього означення, дає змогу продиференціювати майже будь-яку формулу за кілька рядків. Цей посібник подає кожне правило, пояснює, чому воно працює, і показує, як їх поєднувати.

Чому правила, а не границі

Похідна означується як границя, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ , і стаття що таке похідна застосовує це означення до простих функцій. Робити так у кожній задачі було б виснажливо. Натомість математики раз і назавжди довели загальні правила, які сьогодні охоплюють многочлени, корені, показникові функції, логарифми, тригонометричні функції та всі їхні комбінації.

Уявіть ці правила як дві родини: похідні основних елементарних функцій і правила, за якими їх поєднують у сумах, добутках, частках і складених функціях.

Базові правила: сталі, степені й суми

\frac{d}{dx}c = 0, \qquad \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}, \qquad \frac{d}{dx}\big[c f(x)\big] = c f'(x), \qquad \frac{d}{dx}\big[f + g\big] = f' + g'

Стала ніколи не змінюється: її швидкість зміни дорівнює нулю. Правило диференціювання степеня правильне для будь-якого дійсного показника $n$ , а не лише для натуральних чисел, і тому воно значно корисніше, ніж здається. Сталий множник виноситься за знак похідної, а похідна суми дорівнює сумі похідних.

Приклад 1: многочлен

Диференціюємо $5x^4 - 3x^2 + 7x - 2$ почленно.
$5 \cdot 4x^3 - 3 \cdot 2x + 7 - 0 = 20x^3 - 6x + 7$ .

Приклад 2: корені й обернені величини

Спочатку перепишіть у вигляді степенів: $\frac{4}{x^3} = 4x^{-3}$ і $6\sqrt{x} = 6x^{1/2}$ .
$\frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}$ .
$\frac{d}{dx}6x^{1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

Перед диференціюванням записуйте корені й дроби з $x$ у знаменнику як степені. Більшість помилок із правилом степеня виникає, коли цей крок пропускають.

Показникові, логарифмічні й тригонометричні функції

Ці похідні варто вивчити напам'ять, бо на них спираються всі довші задачі:

\frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ln a}

\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x

Функція $e^x$ збігається зі своєю похідною, і саме тому $e$ трапляється в аналізі всюди. Тригонометричні правила вимагають кутів у радіанах; у градусах з'являється додатковий множник $\frac{\pi}{180}$ . Решта тригонометричних похідних така: $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$ , $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$ і $\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$ , і всі вони випливають із правила диференціювання частки, наведеного нижче.

Похідна добутку

\frac{d}{dx}\big[f(x)g(x)\big] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Похідна добутку — не добуток похідних. Щоб зрозуміти чому, уявіть прямокутник зі сторонами $f$ і $g$ . Якщо обидві сторони трохи виростуть, площа збільшиться на смужку розміром $f' \cdot g$ уздовж однієї сторони й на смужку розміром $f \cdot g'$ уздовж іншої, плюс крихітний кутовий шматочок, який у границі зникає.

Приклад 3: $y = x^2\sin x$

Покладемо $f = x^2$ і $g = \sin x$ , тоді $f' = 2x$ і $g' = \cos x$ .
$y' = 2x\sin x + x^2\cos x$ .
При $x = \pi$ : $y' = 2\pi \cdot 0 + \pi^2(-1) = -\pi^2$ .

Похідна частки

\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Тут через віднімання важливий порядок. Зручно промовляти правило так: похідна чисельника на знаменник мінус чисельник на похідну знаменника, і все це поділене на квадрат знаменника.

Приклад 4: $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$

$f = x^2 + 1$ , $f' = 2x$ ; $g = x - 1$ , $g' = 1$ .
$y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}$ .
Спрощуємо чисельник: $2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1$ , отже, $y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$ .

Застосоване до $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , воно дає $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ , що підтверджує таблицю вище.

Похідна складеної функції

Правило диференціювання складеної функції дає похідну композиції, тобто функцій, вкладених одна в одну. Якщо $y = f(g(x))$ , то:

\frac{dy}{dx} = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)

Словами: похідна зовнішньої функції, помножена на похідну внутрішньої. Продиференціюйте зовнішню функцію, залишивши внутрішню без змін, а потім помножте на похідну внутрішньої. У позначеннях Лейбніца при $u = g(x)$ пишуть $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ . Швидкості перемножуються: якщо $u$ змінюється в 3 рази швидше за $x$ , а $y$ — у 2 рази швидше за $u$ , то $y$ змінюється в 6 разів швидше за $x$ . Розпізнавати внутрішню й зовнішню функції вчить тема композиції функцій.

Приклад 5: чотири похідні складених функцій

$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^5 = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4$ .
$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x$ .
$\frac{d}{dx}e^{-2x} = -2e^{-2x}$ .
$\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 4) = \frac{2x}{x^2 + 4}$ .

Поєднання правил

У справжніх задачах правила перемішані. Рухайтеся ззовні всередину: визначте останню дію у виразі, застосуйте відповідне правило, а потім візьміться за кожну частину.

Приклад 6: $y = xe^{3x}$

Найзовнішніша дія — добуток: застосовуємо правило добутку.
Похідна $e^{3x}$ потребує правила складеної функції: $3e^{3x}$ .
$y' = 1 \cdot e^{3x} + x \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$ .

Приклад 7: логарифмічне диференціювання $y = x^x$

Не підходить ні правило степеня, ні правило для показникової функції, бо змінними є і основа, і показник.
Логарифмуємо: $\ln y = x\ln x$ .
Диференціюємо обидві частини, ліву — за правилом складеної функції: $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$ .
Отже, $y' = x^x(\ln x + 1)$ при $x > 0$ .

Якщо виразити $y$ не можна, як у $x^2 + y^2 = 25$ , правило складеної функції однаково працює завдяки неявному диференціюванню.

Типові помилки

Забути похідну внутрішньої функції, наприклад записати $\cos(x^2)$ як похідну $\sin(x^2)$ .
Перемножити похідні множників замість застосування правила добутку.
Переставити доданки в чисельнику правила частки, через що змінюється знак.
Застосувати правило степеня до $e^x$ або $2^x$ ; це показникові функції, а не степеневі.
Обчислювати тригонометричні похідні в градусах.

Щоб перевірити результат, калькулятор похідних показує, яке правило він застосовує на кожному кроці, а в побудовнику графіків можна порівняти нахил кривої зі значеннями її похідної.

Обернені тригонометричні функції

Обернені тригонометричні функції мають алгебраїчні похідні, що багатьох спочатку дивує. Їх отримують неявним диференціюванням оберненого співвідношення; наприклад, якщо $y = \arcsin x$ , то $\sin y = x$ , і диференціювання обох частин дає $\cos y \cdot y' = 1$ . Оскільки на множині значень арксинуса $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ , отримуємо результат:

\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

Ці два результати важливіші для інтегрування, ніж для диференціювання: вони пояснюють, чому в інтегралах на зразок $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ з'являється арктангенс.

Похідні вищих порядків

Продиференціювавши похідну, отримують другу похідну, і діють ті самі правила. Для $y = x^4$ похідні дорівнюють $4x^3$ , потім $12x^2$ , потім $24x$ , потім 24, а всі наступні дорівнюють 0. Многочлен степеня $n$ завжди перетворюється на нуль після $n + 1$ диференціювань.

Синус і косинус, навпаки, ходять по колу: похідні $\sin x$ — це $\cos x$ , $-\sin x$ , $-\cos x$ і знову $\sin x$ , і так повторюється кожні чотири кроки. Показникова функція $e^x$ не змінюється ніколи. Ці закономірності — відправна точка рядів Тейлора, які наближають функцію за допомогою всіх її похідних в одній точці.

Розв'язані вправи

Спробуйте розв'язати кожну задачу, перш ніж читати відповідь. Спочатку визначте найзовнішніше правило.

$\frac{d}{dx}\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right)$ . Відповідь: $6x^2 + \frac{1}{x^2}$ .
$\frac{d}{dx}\left(x^3 e^x\right)$ . Відповідь: $x^2e^x(3 + x)$ , за правилом добутку.
$\frac{d}{dx}\cos(5x + 1)$ . Відповідь: $-5\sin(5x + 1)$ , за правилом складеної функції.
$\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x}$ . Відповідь: $\frac{1 - \ln x}{x^2}$ , за правилом частки.
$\frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2}$ . Відповідь: $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$ , за правилом складеної функції з показником $\frac{1}{2}$ .

Правила на практиці: пов'язані швидкості зміни

Саме правило диференціювання складеної функції робить задачі на пов'язані швидкості розв'язними. Припустімо, колова хвиля розходиться по озеру так, що її радіус зростає на 2 см за секунду. Площа дорівнює $A = \pi r^2$ , і диференціювання за часом дає $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$ . Коли радіус дорівнює 10 см, площа зростає зі швидкістю $2\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7$ квадратного сантиметра за секунду.

Та сама ідея відповідає на запитання про драбину, що сповзає по стіні, про повітряну кулю, яку надувають, чи про тінь людини, що віддаляється від ліхтаря. Щоразу складають рівняння, що пов'язує величини, диференціюють кожен доданок за часом за правилом складеної функції і лише потім підставляють значення для розглядуваного моменту. Підставляти до диференціювання — класична помилка: через неї змінні величини перетворюються на сталі.

Поширені запитання

Чи працює правило степеня з від'ємними й дробовими показниками?

Так. Воно правильне для будь-якого дійсного показника: $\frac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2}$ і $\frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$ . Спочатку перепишіть корені й обернені величини у вигляді степенів.

Чи можна обійтися без правила частки?

Часто можна. Запишіть $\frac{f}{g}$ як $f \cdot g^{-1}$ і застосуйте правила добутку й складеної функції або заздалегідь спростіть дріб. Обидва шляхи ведуть до одного результату, хоча іноді його доводиться додатково спростити, щоб він мав однаковий вигляд.

Як зрозуміти, що потрібне правило складеної функції?

Завжди, коли функція містить щось, крім самого $x$ : степінь дужки, тригонометричну функцію від $2x$ , $e$ у степені, відмінному від $x$ , або логарифм виразу. Якщо внутрішня функція — просто $x$ , її похідна дорівнює 1, і правило складеної функції нічого не змінює.

Чому похідна e в степені x дорівнює самій функції?

Число $e \approx 2.71828$ — це саме та основа, за якої кутовий коефіцієнт $a^x$ у точці $x = 0$ дорівнює 1. Завдяки цій властивості означення через границю показує, що кутовий коефіцієнт у будь-якій точці дорівнює значенню функції в цій точці.

У якому порядку застосовувати правила диференціювання?

Почніть з останньої дії, яку ви виконали б, обчислюючи вираз для конкретного числа. Якщо це множення, беріть правило добутку; якщо функцію застосовано до дужки — правило складеної функції. Потім поставте те саме запитання для кожної частини й рухайтеся всередину.

MathSolver Pro Editorial Team

Редакція й математична вичитка

Наша редакція пише кожен посібник так, щоб він пояснював міркування за кожним методом, а не лише відповідь. Кожен розібраний приклад перед публікацією перевіряється рушіями розв'язування сайту й автоматичними тестами, а статті оновлюються, щойно змінюється метод чи формат тесту.