Математичний аналіз

Що таке похідна? Зрозумілий вступ

Q: Похідна — це те саме, що кутовий коефіцієнт?

Похідна в точці — це кутовий коефіцієнт дотичної в цій точці. У прямої похідна стала й дорівнює її кутовому коефіцієнту; у кривої вона змінюється від точки до точки.

Q: Чому в означенні не можна просто замінити h на 0?

Пряма підстановка дає 0/0, що не має значення. Границя запитує, до якого значення прямує відношення, коли h прямує до 0, і це з'ясовують, спочатку перетворивши вираз так, щоб h зникло зі знаменника.

Q: Чи може неперервна функція не мати похідної?

Так. Модуль неперервний у 0, але має там злам: кутові коефіцієнти ліворуч і праворуч не збігаються, і похідної не існує. Є навіть неперервні функції, які не диференційовні в жодній точці.

Q: У яких одиницях вимірюється похідна?

В одиницях залежної змінної, поділених на одиниці незалежної. Якщо V — об'єм у літрах, а t — час у хвилинах, то (dV)/(dt) вимірюється в літрах за хвилину.

Автор: MathSolver Pro Editorial Team · Опубліковано 25 жовтня 2026 р.

Похідна функції показує, як швидко змінюється її значення зі зміною змінної, причому в конкретний момент. Графічно це кутовий коефіцієнт дотичної; алгебраїчно — границя середніх швидкостей зміни на дедалі коротших проміжках.

Від середньої швидкості зміни до миттєвої

Якщо автомобіль проїжджає 120 км за 2 години, його середня швидкість дорівнює 60 км на годину. Це число нічого не каже про те, що показував спідометр у конкретний момент: можливо, 0 на червоному сигналі світлофора або 100 на трасі. Похідна — математичний відповідник показу спідометра: швидкість зміни в одну мить, а не на проміжку.

Для будь-якої функції $f$ середня швидкість зміни між $x$ і $x + h$ — це кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через ці дві точки графіка, так званої січної. Цей дріб називають також різницевим відношенням:

\frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Щоб отримати миттєву швидкість, проміжок стискають. Коли $h$ прямує до 0, січна повертається й перетворюється на дотичну — пряму, яка лише торкається графіка в точці. Границя кутових коефіцієнтів січних і є похідною.

Строге означення

Похідна функції $f$ у точці $x$ — це границя

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

якщо вона існує. Тоді кажуть, що $f$ диференційовна в точці $x$ . Просто підставити $h = 0$ у дріб не можна: вийде $\frac{0}{0}$ . Натомість вираз перетворюють, доки $h$ не зникне зі знаменника, і лише потім переходять до границі. Якщо границі для вас новинка, наш посібник із границь спочатку пояснює саму ідею.

Приклад 1: похідна $f(x) = x^2$

Різницеве відношення: $\frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$ .
Спрощуємо: $\frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$ , що правильно при $h \ne 0$ .
Переходимо до границі: при $h \to 0$ маємо $2x + h \to 2x$ . Отже, $f'(x) = 2x$ .
При $x = 3$ кутовий коефіцієнт дорівнює 6, і дотична в точці $(3, 9)$ задається рівнянням $y = 6x - 9$ .

Приклад 2: похідна $f(x) = \frac{1}{x}$

$\frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h} = \frac{x - (x + h)}{h\,x(x + h)} = \frac{-1}{x(x + h)}$ .
При $h \to 0$ : $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ , визначена для всіх $x \ne 0$ .
Кутовий коефіцієнт завжди від'ємний, що узгоджується з графіком: $\frac{1}{x}$ спадає з кожного боку від 0.

Приклад 3: похідна $f(x) = \sqrt{x}$

Множимо різницеве відношення на спряжений вираз: $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}$ .
При $h \to 0$ : $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ для $x > 0$ .

Позначення

Паралельно використовують кілька позначень, і всі вони означають те саме. У позначенні Лагранжа зі штрихом пишуть $f'(x)$ . У позначенні Лейбніца пишуть $\frac{dy}{dx}$ або $\frac{d}{dx}f(x)$ : воно нагадує, що похідна — це відношення малих змін, і робить правило диференціювання складеної функції природним. У фізиці похідну за часом часто позначають крапкою: $\dot{x}$ .

Диференціювання двічі дає другу похідну, яку позначають $f''(x)$ або $\frac{d^2y}{dx^2}$ . Якщо $s(t)$ — положення, то $s'(t)$ — швидкість, а $s''(t)$ — прискорення.

Що похідна каже про графік

Там, де $f'(x) > 0$ , функція зростає.
Там, де $f'(x) < 0$ , вона спадає.
Там, де $f'(x) = 0$ , дотична горизонтальна; локальні максимуми й мінімуми розташовані в таких точках (або там, де $f'$ не існує).
Там, де $f''(x) > 0$ , графік опуклий униз, як чашка; там, де $f''(x) < 0$ , — опуклий угору.

Приклад 4: локальні екстремуми $f(x) = x^3 - 3x$

За правилом диференціювання степеня $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ .
$f'(x) = 0$ при $x = -1$ і при $x = 1$ .
Під час переходу через ці точки знак $f'$ змінюється за схемою $+, -, +$ : $x = -1$ — локальний максимум, $f(-1) = 2$ , а $x = 1$ — локальний мінімум, $f(1) = -2$ .
Перевірка другої похідної: $f''(x) = 6x$ від'ємна при $-1$ (опуклість угору, максимум) і додатна при 1 (мінімум).

Правила, які роблять цю роботу швидкою, зокрема використане тут правило диференціювання степеня, зібрано в статті правила диференціювання з поясненнями.

Приклад із фізики: камінь, що падає

Камінь, відпущений зі стану спокою, через $t$ секунд пролітає $s(t) = 4.9t^2$ метра, якщо знехтувати опором повітря. Між $t = 1$ і $t = 3$ він проходить шлях від 4,9 м до 44,1 м, тому його середня швидкість дорівнює $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ м/с.

Його миттєва швидкість — похідна, $s'(t) = 9.8t$ м/с. При $t = 2$ вона дорівнює 19,6 м/с, точно середній швидкості на проміжку від 1 до 3 секунд; у квадратичної функції середня швидкість на проміжку завжди дорівнює миттєвій швидкості в його середині. Друга похідна, $s''(t) = 9.8$ м/с², — стале прискорення вільного падіння.

Одиниці вимірювання — добра перевірка будь-якої похідної. Похідна величини в метрах за часом у секундах вимірюється в метрах за секунду. В економіці похідна загальних витрат у гривнях за обсягом випуску — це граничні витрати, у гривнях за одиницю продукції.

Коли похідна не існує

Функція не диференційовна в точці, якщо границя різницевого відношення там не існує. На графіку це виявляється чотирма способами:

Злам, як у $|x|$ у точці 0, де кутовий коефіцієнт ліворуч дорівнює $-1$ , а праворуч $+1$ .
Вістря, як у $x^{2/3}$ у точці 0, де нахил стає нескінченно крутим у протилежних напрямках.
Вертикальна дотична, як у $\sqrt[3]{x}$ у точці 0, де кутовий коефіцієнт нескінченний.
Розрив, наприклад стрибок або виколота точка.

З диференційовності випливає неперервність: якщо $f'(a)$ існує, то $f$ неперервна в точці $a$ . Обернене неправильне, як показує $|x|$ : функція неперервна скрізь, але має злам у 0.

Чисельна оцінка похідної

Коли формули немає, наприклад для даних вимірювань, похідну можна оцінити з малим кроком. Центральна різниця зазвичай точніша за однобічну:

f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}

Для $f(x) = \sin x$ у точці $x = 0$ при $h = 0.01$ отримуємо $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$ , дуже близько до точного значення $\cos 0 = 1$ . Графічні калькулятори й електронні таблиці використовують такі оцінки. Калькулятор похідних, навпаки, диференціює символьно й показує кожне застосоване правило, а калькулятор границь обчислює границю з означення безпосередньо.

Навіщо потрібні похідні

Будь-яке запитання на зразок «як швидко» чи «яке значення найкраще» — це запитання про похідну. Інженери знаходять розміри упаковки з найменшою витратою матеріалу, прирівнюючи до нуля похідну площі її поверхні. Економісти знаходять обсяг випуску, що максимізує прибуток, за якого граничний виторг дорівнює граничним витратам. Медики моделюють, як концентрація ліків у крові змінюється з часом, і похідна показує, коли вона досягає максимуму.

Машинне навчання спирається на похідні у величезних масштабах. Навчити модель — означає підлаштувати мільйони параметрів так, щоб міра помилки зменшилася, а напрямок, у якому зсувається кожен параметр, задає похідна; цей метод називається градієнтним спуском. Фізику майже цілком сформульовано мовою похідних: другий закон Ньютона стверджує, що сила дорівнює масі, помноженій на другу похідну положення.

Трохи історії

Ісаак Ньютон і Ґотфрід Вільгельм Лейбніц незалежно один від одного створили диференціальне числення в другій половині сімнадцятого століття. Ньютон мислив величинами, що течуть у часі, а Лейбніц працював із нескінченно малими різницями, і його позначення $\frac{dy}{dx}$ сьогодні використовує більшість підручників. Методи обох чудово працювали, але спиралися на розмиті уявлення про нескінченно малі. Строге означення через границі, яким користується ця стаття, з'явилося в дев'ятнадцятому столітті, передусім завдяки Оґюстену Луї Коші й Карлу Веєрштрассу, і нарешті дало цій галузі міцний фундамент.

Поширені запитання

Похідна — це те саме, що кутовий коефіцієнт?

Похідна в точці — це кутовий коефіцієнт дотичної в цій точці. У прямої похідна стала й дорівнює її кутовому коефіцієнту; у кривої вона змінюється від точки до точки.

Чому в означенні не можна просто замінити h на 0?

Пряма підстановка дає $\frac{0}{0}$ , що не має значення. Границя запитує, до якого значення прямує відношення, коли $h$ прямує до 0, і це з'ясовують, спочатку перетворивши вираз так, щоб $h$ зникло зі знаменника.

Чи може неперервна функція не мати похідної?

Так. Модуль неперервний у 0, але має там злам: кутові коефіцієнти ліворуч і праворуч не збігаються, і похідної не існує. Є навіть неперервні функції, які не диференційовні в жодній точці.

У яких одиницях вимірюється похідна?

В одиницях залежної змінної, поділених на одиниці незалежної. Якщо $V$ — об'єм у літрах, а $t$ — час у хвилинах, то $\frac{dV}{dt}$ вимірюється в літрах за хвилину.

MathSolver Pro Editorial Team

Редакція й математична вичитка

Наша редакція пише кожен посібник так, щоб він пояснював міркування за кожним методом, а не лише відповідь. Кожен розібраний приклад перед публікацією перевіряється рушіями розв'язування сайту й автоматичними тестами, а статті оновлюються, щойно змінюється метод чи формат тесту.