Границі в математичному аналізі: практичний посібник

Ідея границі

Розгляньмо $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. При $x = 3$ формула дає $\frac{0}{0}$: значення $f(3)$ не визначене. Але якщо обчислити $f$ у точках 2,9; 2,99; 3,01 і 3,1, вийде 5,9; 5,99; 6,01 і 6,1. Результати наближаються до 6. Кажуть, що границя $f(x)$, коли $x$ прямує до 3, дорівнює 6, і пишуть:

Значення функції в самій точці на границю не впливає. Важливо лише те, що відбувається поруч із нею. Графічно графік $f$ — це пряма $y = x + 3$ без точки $(3, 6)$, а границя — висота цієї «виколотої» точки.

Неформально запис $\lim_{x \to a} f(x) = L$ означає, що $f(x)$ стає як завгодно близьким до $L$, якщо взяти $x$ досить близько до $a$, але не рівним йому. Строге формулювання цього твердження, означення «мовою епсилон-дельта», перетворює його на твердження, яке можна довести.

Спосіб 1: безпосередня підстановка

Многочлени, дробово-раціональні функції з ненульовим знаменником, корені, показникові функції, логарифми й тригонометричні функції неперервні на своїй області визначення. Для неперервної функції границя дорівнює просто значенню функції: досить підставити число.

Наприклад, $\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10$ і $\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{x + 1} = \frac{1}{1} = 1$. Завжди спочатку пробуйте підстановку. Якщо вийшло дійсне число, задачу розв'язано. Якщо вийшло ненульове число, поділене на нуль, границя нескінченна або не існує. Додаткової роботи потребують лише $\frac{0}{0}$ та інші невизначеності такого роду.

Спосіб 2: розкласти на множники й скоротити

Якщо підстановка в дробово-раціональну функцію дає $\frac{0}{0}$, чисельник і знаменник мають спільний множник $(x - a)$. Розкладіть обидва на множники, скоротіть і підставте знову.

Скорочувати можна, бо границя ніколи не використовує значення в самій точці $x = a$. У посібнику з розкладу на множники описано потрібні тут прийоми.

Спосіб 3: помножити на спряжений вираз

Якщо невизначеність $\frac{0}{0}$ виникає через квадратний корінь, помножте чисельник і знаменник на спряжений вираз: за формулою різниці квадратів він позбавляє від кореня.

Однобічні границі й коли границя не існує

Однобічна границя враховує значення лише з одного боку: $x \to a^-$ для лівосторонньої і $x \to a^+$ для правосторонньої границі. Границя існує лише тоді, коли обидві однобічні границі існують і рівні.

Для $f(x) = \frac{|x|}{x}$ будь-яке додатне значення аргументу дає 1, а будь-яке від'ємне — $-1$. Отже, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ і $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$. Вони різні, тому $\lim_{x \to 0} f(x)$ не існує. Найчастіше так поводяться кусково задані функції: у точці, де змінюється формула, завжди перевіряйте обидва боки.

Границя може не існувати й тому, що функція коливається. При $x \to 0$ функція $\sin\frac{1}{x}$ нескінченно багато разів пробігає значення від $-1$ до 1 і не наближається до жодного числа.

Нескінченні границі й границі на нескінченності

Якщо функція необмежено зростає поблизу $a$, пишуть, що границя дорівнює $\infty$, як у $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty$. Строго кажучи, границя як число не існує, але запис показує, у який спосіб вона не існує, і вказує на вертикальну асимптоту $x = a$.

Границі при $x \to \infty$ описують поведінку функції на нескінченності й горизонтальні асимптоти. Для дробово-раціональної функції поділіть кожен доданок на найвищий степінь $x$ у знаменнику:

Якщо степінь знаменника вищий, границя дорівнює 0; наприклад, $\lim_{x \to \infty}\frac{2x + 1}{x^2} = 0$. Якщо вищий степінь чисельника, функція необмежено зростає. Одна знаменита границя на нескінченності визначає сталу: $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.71828$.

Важливі тригонометричні границі й теорема про двох поліцейських

Дві границі лежать в основі всіх похідних тригонометричних функцій:

В обох випадках підстановка дає $\frac{0}{0}$, і самою алгеброю невизначеність не розкрити. Чисельно $\frac{\sin 0.1}{0.1} \approx 0.99833$ і $\frac{\sin 0.01}{0.01} \approx 0.99998$, що підказує відповідь, а геометричне міркування з теоремою про двох поліцейських її доводить. Кут має бути виражений у радіанах.

Теорема про двох поліцейських, або теорема про затиснуту функцію, стверджує: якщо $g(x) \le f(x) \le h(x)$ поблизу $a$ і обидві функції $g$ і $h$ прямують до $L$, то й $f$ прямує до $L$. Наприклад, $-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2$, і обидві межі прямують до 0, тому $\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0$, хоча сама функція $\sin\frac{1}{x}$ границі не має.

Правило Лопіталя

Якщо границя має вигляд $\frac{0}{0}$ або $\frac{\infty}{\infty}$, а функції диференційовні поблизу точки, чисельник і знаменник можна замінити їхніми похідними: $\lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f'}{g'}$, якщо нова границя існує.

Диференціюйте чисельник і знаменник окремо. Правило Лопіталя — це не правило диференціювання частки, і застосовувати його можна лише до невизначеностей.

Границі, неперервність і похідні

Функція неперервна в точці $a$, якщо $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$: границя існує, функція в цій точці визначена, і обидва значення збігаються. Сама похідна — це границя, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$, яка завжди починається з вигляду $\frac{0}{0}$; див. що таке похідна. Через границі означуються й інтеграли, і збіжність рядів.

Калькулятор границь обчислює однобічні й двобічні границі, зокрема границі на нескінченності, і зазначає використаний спосіб. Щоб перевірити границю графічно, наблизьте околицю точки в побудовнику графіків.

Властивості границь

Границі добре узгоджуються з арифметичними діями. Якщо існують $\lim f(x)$ і $\lim g(x)$, то границя суми дорівнює сумі границь, границя добутку — добутку границь, а границя частки — частці границь, якщо границя знаменника не дорівнює нулю. Так само поводяться сталий множник і степені. Ці правила пояснюють, чому для неперервних функцій працює безпосередня підстановка: многочлен побудовано із сум і добутків $x$ і сталих, і його границя складається точнісінько так само.

Правила вимагають, щоб обидві границі існували окремо. Границя $x\sin\frac{1}{x}$ у точці 0 дорівнює 0, але отримати її перемноженням границь не можна, бо $\sin\frac{1}{x}$ там границі не має. У таких випадках доводиться звертатися до теореми про двох поліцейських.

Стратегія для більшості задач

1. Підставте число. Якщо вийшло дійсне число, це й є відповідь.
2. Ненульове число, поділене на нуль: дослідіть знак з кожного боку, щоб вибрати між $\infty$, $-\infty$ і границею, що не існує.
3. Нуль на нуль у многочленів: розкладіть на множники й скоротіть.
4. Нуль на нуль із квадратними коренями: помножте на спряжений вираз.
5. Нуль на нуль із тригонометричними функціями: перетворіть, використовуючи $\frac{\sin x}{x} \to 1$.
6. Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь знаменника.
7. Якщо алгебра не допомагає, застосуйте правило Лопіталя або перевірте чисельно значеннями з обох боків.

Розв'язані вправи: $\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{x - 2} = 12$ — розкладом різниці кубів. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x} = 3$ — записавши вираз як $3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}$. $\lim_{x \to \infty}\frac{4x - 7}{2x + 9} = 2$ — поділивши все на $x$.

Поширені запитання