Розкладання многочленів на множники: покроковий алгоритм

Навіщо потрібне розкладання на множники

Розкласти многочлен на множники — означає записати його у вигляді добутку простіших многочленів. Розкриття дужок у $(x + 3)(x + 4)$ дає $x^2 + 7x + 12$; розкладання на множники — зворотний шлях. Розкладена форма зазвичай набагато корисніша: вона одразу показує розв'язки рівняння, спрощує дроби скороченням спільних множників і показує, де графік перетинає вісь x.

Будь-яке розкладання можна перевірити, знову перемноживши множники. Якщо перемноження не дає точно початкового многочлена, десь помилка; зробіть таку перевірку звичкою.

Алгоритм розкладання на множники

Кожен викладач і кожен підручник упорядковує прийоми трохи по-своєму, але такий алгоритм підходить майже для всіх многочленів першого курсу алгебри. Застосовуйте його по черзі й починайте спочатку для кожного множника, доки розкладати не буде чого.

1. Винесіть за дужки найбільший спільний множник усіх членів.
2. Порахуйте члени. Якщо їх два, шукайте різницю квадратів або суму чи різницю кубів.
3. Якщо членів три, шукайте повний квадрат; якщо це не він, добирайте числа за сумою й добутком або використайте метод перекидання (AC).
4. Якщо членів чотири, спробуйте групування.
5. Починаючи з третього степеня й за відсутності впізнаваної форми використайте теорему про раціональні корені й ділення многочленів.
6. Перевірте кожен множник ще раз, а потім перемножте для контролю.

Крок 1: найбільший спільний множник

Завжди починайте звідси. Знайдіть найбільше число, на яке діляться всі коефіцієнти, і найменший степінь кожної змінної, що входить в усі члени.

Якщо старший коефіцієнт від'ємний, винесіть від'ємний спільний множник. $-x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)$ набагато зручніше, ніж працювати з від'ємним членом при $x^2$.

Тричлени зі старшим коефіцієнтом 1

Для $x^2 + bx + c$ шукайте два числа $m$ і $n$, для яких $mn = c$ і $m + n = b$. Тоді $x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)$.

• $x^2 + 7x + 12$: 3 і 4 в добутку дають 12, а в сумі 7, звідси множники $(x + 3)(x + 4)$.
• $x^2 - 2x - 15$: $-5$ і 3 в добутку дають $-15$, а в сумі $-2$, звідси множники $(x - 5)(x + 3)$.
• $x^2 - 9x + 20$: $-4$ і $-5$, що дає $(x - 4)(x - 5)$.

Знаки підказують короткий шлях. Якщо $c$ додатне, обидва числа мають знак $b$. Якщо $c$ від'ємне, числа різних знаків, і більше за модулем має знак $b$.

Тричлени з довільним старшим коефіцієнтом: метод перекидання

При $a \neq 1$ помножте $a$ на $c$, знайдіть два числа з добутком $ac$ і сумою $b$, розбийте з їхньою допомогою середній член, а потім розкладіть групуванням.

Тричлен із цілими коефіцієнтами розкладається на множники над цілими числами тоді й лише тоді, коли $b^2 - 4ac$ — повний квадрат. Для $3x^2 - 10x + 8$ дискримінант дорівнює $100 - 96 = 4$, це повний квадрат, тому добір обов'язково вдасться. Якщо дискримінант не повний квадрат, припиніть добір і скористайтеся формулою коренів квадратного рівняння.

Формули скороченого множення, які варто впізнавати

Три форми трапляються так часто, що їх варто впізнавати з першого погляду:

• $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$.
• $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$: формулу різниці квадратів застосовують двічі.
• $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$, бо $4x^2 = (2x)^2$, $9 = 3^2$ і $12x = 2(2x)(3)$.
• $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ і $27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)$.

Суму двох квадратів на кшталт $x^2 + 4$ не можна розкласти на множники над дійсними числами. Її дискримінант дорівнює $-16$, тобто від'ємний.

Чотири члени: розкладання групуванням

Розбийте многочлен на дві пари, винесіть спільне в кожній парі й шукайте спільну дужку.

Якщо дужки не збігаються, перш ніж здаватися, перегрупуйте члени в інші пари.

Високі степені: теорема про раціональні корені

Для многочлена з цілими коефіцієнтами будь-який раціональний корінь $\frac{p}{q}$ у нескоротному записі задовольняє умову: $p$ ділить вільний член, а $q$ ділить старший коефіцієнт. Перевіряйте кандидатів, доки один не дасть нуль, а потім діліть на відповідний лінійний множник.

Калькулятор многочленів виконує ділення крок за кроком, якщо хочете звірити результат.

Часті помилки під час розкладання на множники

• Забути спільний множник, через що залишається складніший тричлен і неповна відповідь.
• Зупинитися надто рано: $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ — це ще не все, бо $x^2 - 4$ розкладається далі.
• Поводитися з $a^2 + b^2$ як з різницею квадратів.
• Помилки в знаках під час групування: $-4x - 12 = -4(x + 3)$, а не $-4(x - 3)$.
• Не перевіряти перемноженням. Це займає лише кілька секунд і виявляє всі перелічені помилки.

Перевіряйте свої многочлени в калькуляторі розкладання на множники, який на кожному кроці вказує застосований метод, і використовуйте розкладені форми, щоб спрощувати раціональні дроби.

Як зрозуміти, що многочлен не розкладається

Не кожен многочлен розкладається на множники над цілими числами, і якщо розпізнати це рано, можна заощадити багато часу. Для квадратного тричлена $ax^2 + bx + c$ із цілими коефіцієнтами обчисліть дискримінант $b^2 - 4ac$. Якщо це повний квадрат, многочлен розпадається на лінійні множники з раціональними коефіцієнтами. Якщо він додатний, але не є повним квадратом, корені ірраціональні, і многочлен називають незвідним над раціональними числами; якщо він від'ємний, многочлен узагалі не розкладається над дійсними числами.

Наприклад, у $x^2 + 3x + 1$ дискримінант дорівнює $9 - 4 = 5$, а це не повний квадрат: жодна пара цілих чисел не дає в добутку 1, а в сумі 3. Його корені $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ знаходять за формулою коренів квадратного рівняння. Сума квадратів $x^2 + 4$ має дискримінант $-16$ і не розкладається над дійсними числами, але над комплексними розкладається у вигляді $(x - 2i)(x + 2i)$.

Для многочленів третього степеня й вищих теорема про раціональні корені дає скінченний список кандидатів. Якщо жоден із них не є коренем, многочлен не має лінійного множника з раціональними коефіцієнтами, хоча многочлен четвертого степеня все одно може розпадатися на два квадратні тричлени.

Де розкладання на множники знадобиться далі

Розкладання на множники — не відокремлена тема. Розв'язування рівнянь із многочленами спирається на властивість нульового добутку: якщо $AB = 0$, то $A = 0$ або $B = 0$. Спрощення раціональних дробів спирається на скорочення спільних множників. Точки перетину з віссю x і знак многочлена визначають просто за розкладеною формою, а в математичному аналізі границі вигляду $\frac{0}{0}$ часто знаходять розкладанням і скороченням.

Наприклад, $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ не можна знайти підстановкою, але якщо розкласти чисельник як $(x - 2)(x + 2)$ і скоротити, залишиться $x + 2$, тому границя дорівнює 4. Розкладання на найпростіші дроби для інтегрування теж починається з повного розкладання знаменника на множники.

Завжди перевіряйте розкладання перемноженням. Множити швидше, ніж розкладати, і це одразу виявляє помилки в знаках.

Щоб перевірити своє розкладання, введіть його в калькулятор розкладання на множники або розкрийте дужки в результаті за допомогою калькулятора спрощення виразів.

Поширені запитання