Многочлени: степінь, поведінка на нескінченності, корені й графіки

Що робить функцію многочленом

Многочлен (поліном) — це сума доданків, кожен з яких дорівнює сталій, помноженій на степінь $x$ з натуральним показником:

Найбільший показник $n$ — це степінь, відповідний коефіцієнт $a_n$ — старший коефіцієнт, а $a_0$ — вільний член, який водночас задає точку перетину графіка з віссю y. Степінь 1 дає прямі, степінь 2 — параболи, степінь 3 — кубічні функції, а степінь 4 — многочлени четвертого степеня. Вирази з від'ємними чи дробовими показниками, наприклад $\frac{1}{x}$ або $\sqrt{x}$, а також зі змінною в знаменнику чи в показнику многочленами не є.

Многочлени визначено за будь-якого дійсного числа, а їхні графіки гладкі й неперервні, без зламів, розривів і асимптот. Це одна з причин, чому їх так охоче використовують для моделювання й наближення інших функцій.

Поведінка на нескінченності й старший член

За дуже великих додатних чи від'ємних $x$ старший член переважає всі інші, тому кінці графіка поводяться як $a_n x^n$. Важать лише дві речі: парний чи непарний степінь і який знак має старший коефіцієнт.

• Парний степінь і додатний старший коефіцієнт: обидва кінці йдуть угору, як у $x^2$.
• Парний степінь і від'ємний старший коефіцієнт: обидва кінці йдуть униз, як у $-x^2$.
• Непарний степінь і додатний старший коефіцієнт: графік приходить зліва знизу й іде праворуч угору, як у $x^3$.
• Непарний степінь і від'ємний старший коефіцієнт: графік приходить зліва згори й іде праворуч униз, як у $-x^3$.

Наприклад, у $p(x) = -2x^5 + 40x^2 + 7$ непарний степінь і від'ємний старший коефіцієнт: графік піднімається ліворуч і опускається праворуч, хоч якими великими здавалися б інші коефіцієнти. Отже, многочлен непарного степеня завжди хоча б раз перетинає вісь x, бо його кінці йдуть у протилежні боки.

Корені, лінійні множники й кратність

Корінь многочлена $p$ — це значення $c$, за якого $p(c) = 0$. Корені — це абсциси точок, де графік перетинає вісь x, і кожному дійсному кореню $c$ відповідає лінійний множник $(x - c)$. Тому розкладання на множники — головний інструмент пошуку коренів завдяки властивості нульового добутку: добуток дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли хоча б один множник дорівнює нулю.

Якщо лінійний множник трапляється кілька разів, корінь має кратність більшу за одиницю, і графік поводиться в ньому інакше. У корені непарної кратності графік перетинає вісь; за парної кратності він дотикається до осі й повертається на той самий бік. Що вища кратність, то пологішим стає графік поблизу кореня.

Многочлен степеня $n$ має не більше ніж $n$ дійсних коренів і не більше ніж $n - 1$ точок локального екстремуму, тобто максимумів і мінімумів графіка. Кубічна функція може мати одну чи дві точки локального екстремуму або жодної, як показує $x^3$. Способи знаходження множників докладно розбирає посібник з розкладання многочленів на множники.

Теорема Безу та її наслідок

Під час ділення многочлена $p(x)$ на $(x - c)$ остача — просто число, і теорема Безу стверджує, що це число дорівнює $p(c)$. Звідси одразу випливає: $(x - c)$ є множником тоді й лише тоді, коли $p(c) = 0$.

Натомість $p(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$: під час ділення $p(x)$ на $(x - 2)$ залишилася б остача $-4$, і $(x - 2)$ множником не є.

Схема Горнера

Схема Горнера — компактний спосіб ділення на $(x - c)$, що використовує лише коефіцієнти. Для прикладу 3 запишіть $c = 1$ і коефіцієнти $1, -2, -5, 6$.

1. Перенесіть униз перший коефіцієнт: 1.
2. Помножте його на $c$ і додайте результат до наступного коефіцієнта: $1 \times 1 = 1$, і $-2 + 1 = -1$.
3. Повторіть: $-1 \times 1 = -1$, і $-5 + (-1) = -6$.
4. Повторіть: $-6 \times 1 = -6$, і $6 + (-6) = 0$.
5. Останнє число, 0, — це остача. Інші, $1, -1, -6$, — коефіцієнти частки: $x^2 - x - 6$.

Кожному степеню $x$ потрібне своє місце: пишіть 0 замість кожного відсутнього члена. Щоб поділити $x^3 - 8$ на $(x - 2)$, беруть коефіцієнти $1, 0, 0, -8$ і отримують частку $x^2 + 2x + 4$ без остачі, тобто з остачею 0.

Схема Горнера працює лише з дільниками вигляду $x - c$. Щоб поділити на $2x - 1$, поділіть на $x - \frac{1}{2}$, а потім частку на 2, або скористайтеся діленням многочленів кутом.

Скільки коренів: основна теорема алгебри

Основна теорема алгебри гарантує, що многочлен степеня $n \ge 1$ має рівно $n$ комплексних коренів, якщо кожен рахувати стільки разів, яка його кратність. Одні можуть бути дійсними, інші комплексними. Якщо коефіцієнти дійсні, комплексні корені з'являються спряженими парами: якщо $2 + 3i$ — корінь, то й $2 - 3i$ теж.

Це пояснює, чому кубічна функція з дійсними коефіцієнтами завжди має хоча б один дійсний корінь: три корені не можуть усі бути комплексними, адже комплексні корені йдуть парами. А многочлен четвертого степеня може взагалі не мати дійсних коренів, як показує $x^4 + 1$.

Якщо корінь не можна знайти точно, його допомагає локалізувати теорема про проміжне значення. Для $p(x) = x^3 + x - 1$ маємо $p(0) = -1$ і $p(1) = 1$. Оскільки графіки многочленів не мають розривів, графік мусить перетнути вісь десь між 0 і 1; чисельно корінь дорівнює приблизно $0.6823$.

Як скласти многочлен за його коренями

І навпаки, корені визначають многочлен з точністю до сталого множника. Нехай квадратична функція має корені 2 і $-1$ та проходить через $(0, 4)$. Тоді вона обов'язково має вигляд $f(x) = a(x - 2)(x + 1)$. Підстановка точки дає $4 = a(-2)(1)$, отже, $a = -2$ і $f(x) = -2(x - 2)(x + 1) = -2x^2 + 2x + 4$. Розкриття дужок і перевірка $f(0) = 4$, $f(2) = 0$ і $f(-1) = 0$ підтверджують результат.

Ескіз графіка многочлена

1. Визначте степінь і старший коефіцієнт, щоб установити поведінку на нескінченності.
2. Розкладіть на множники, щоб знайти корені та їхні кратності.
3. Позначте точку перетину з віссю y, задану вільним членом.
4. У кожному корені за кратністю вирішіть, перетинає графік вісь чи дотикається до неї.
5. З'єднайте точки гладкою кривою, яка дотримується поведінки на нескінченності й має не більше ніж $n - 1$ локальних максимумів і мінімумів.

Так ви отримаєте надійну форму, але не точні висоти максимумів і мінімумів: для них потрібне диференціальне числення. Порівняти ескіз із побудовником графіків — добрий спосіб набути впевненості.

Застосування: наймісткіша відкрита коробка

З аркуша картону 10 на 16 сантиметрів у кожному куті вирізають квадрат зі стороною $x$ і загинають краї вгору, отримуючи відкриту коробку. Об'єм дорівнює $V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$. Оскільки всі довжини мають бути додатними, змістовна область визначення — $0 < x < 5$.

Корені 0, 5 і 8 показують, де об'єм дорівнює нулю. Між ними об'єм зростає, а потім знову спадає, і диференціальне числення знаходить максимум: $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x - 20)(x - 2)$, що дорівнює нулю при $x = 2$ всередині області визначення. Наймісткіша коробка має об'єм $V(2) = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ кубічні сантиметри. Посібник з правил диференціювання показує, як обчислювати такі похідні.

Часті помилки

• Визначати поведінку на нескінченності за першим записаним членом, а не за членом найбільшого степеня.
• Забувати нульові коефіцієнти відсутніх степенів у схемі Горнера.
• Вважати, що графік перетинає вісь у кожному корені, і пропускати парні кратності.
• Указувати більше ніж $n - 1$ локальних максимумів і мінімумів.
• Плутати корінь $c$ зі знаком у лінійному множнику: кореню 3 відповідає множник $(x - 3)$.

Калькулятор многочленів знаходить корені, розкладає на множники й ділить многочлени, показуючи кожен крок: скористайтеся ним, щоб перевірити приклади вище.

Поширені запитання