Математичний аналіз

Що таке інтеграл? Пояснення для початківців

Q: Навіщо в невизначеному інтегралі + C?

Похідна будь-якої сталої дорівнює нулю: якщо F — первісна f, то й F + C теж, за будь-якої сталої C. Доданок + C позначає всю цю сім'ю.

Автор: MathSolver Pro Editorial Team · Опубліковано 25 жовтня 2026 р.

Інтеграл додає нескінченно багато крихітних частин в одну загальну величину: площу, шлях, об'єм чи будь-яку іншу накопичену величину. Основна теорема аналізу пов'язує це підсумовування з первісними, і саме це дає змогу обчислювати інтеграли на практиці.

Інтегрувати — означає підсумовувати

Якщо автомобіль 2 години їде зі сталою швидкістю 60 км на годину, він проїжджає $60 \times 2 = 120$ км. На графіку залежності швидкості від часу цей шлях — площа прямокутника заввишки 60 і завширшки 2. Якщо швидкість змінюється, площа під кривою вже не прямокутник, але шлях і далі дорівнює площі під графіком швидкості. Знайти цю площу — задача інтеграла.

У загальному випадку: щоразу, коли величина дорівнює швидкості, помноженій на кількість, наприклад швидкість на час, густина на об'єм чи сила на переміщення, і ця швидкість змінюється, загальна величина — це інтеграл. Похідна розбиває загальну величину на швидкості; інтеграл знову збирає загальну величину зі швидкостей.

Суми Рімана: наближення прямокутниками

Щоб знайти площу під $f(x) = x^2$ від $x = 0$ до $x = 2$ , розбийте відрізок на 4 смужки завширшки $0.5$ . Якщо брати висоту за правим краєм кожної смужки, вийдуть прямокутники заввишки $f(0.5)$ , $f(1)$ , $f(1.5)$ і $f(2)$ :

0.5\,(0.25 + 1 + 2.25 + 4) = 3.75

За лівими краями виходить $0.5\,(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 1.75$ . Справжня площа лежить між цими двома значеннями. Зі зростанням кількості смужок $n$ обидві суми наближаються до того самого значення, і ця границя і є визначеним інтегралом:

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x

Знак інтеграла — це витягнута літера S від латинського слова «сума»; $f(x)$ — висота, а $dx$ позначає нескінченно малу ширину. Для $x^2$ на $[0, 2]$ границя дорівнює точно $\frac{8}{3} \approx 2.667$ . Поняття границі, пояснене в нашому посібнику з границь, перетворює наближення на точне значення.

Площа зі знаком

Там, де графік проходить нижче від осі абсцис, $f(x)$ від'ємна, і прямокутники дають від'ємний внесок. Тому визначений інтеграл вимірює площу зі знаком: площу над віссю мінус площу під нею.

Наприклад, $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$ , бо дуга над віссю від 0 до $\pi$ точно врівноважує частину під віссю від $\pi$ до $2\pi$ . Площа кожної дуги дорівнює 2, тож загальна геометрична площа дорівнює 4. Щоб отримати загальну площу, розбийте відрізок у нулях, де функція змінює знак, і додайте модулі окремих частин.

Первісні й невизначений інтеграл

Первісна функції $f$ — це функція $F$ , похідна якої дорівнює $f$ . Оскільки $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$ , функція $x^3$ — первісна для $3x^2$ . Як і $x^3 + 7$ або $x^3$ плюс будь-яка стала, адже похідна сталої дорівнює нулю. Невизначений інтеграл об'єднує їх усі:

\int 3x^2\,dx = x^3 + C

Кожне основне правило диференціювання, прочитане у зворотному напрямку, дає правило інтегрування:

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\ (n \ne -1), \quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C, \quad \int e^x\,dx = e^x + C

\int \cos x\,dx = \sin x + C, \qquad \int \sin x\,dx = -\cos x + C

Приклад 1: інтегрування многочлена

$\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$ : інтегруємо почленно.
$3\cdot\frac{x^3}{3} - 4\cdot\frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - 2x^2 + 5x + C$ .
Перевірка диференціюванням: $3x^2 - 4x + 5$ . Продиференціювати результат — завжди надійна перевірка.

Основна теорема математичного аналізу

Два значення інтеграла — площу як границю сум і сім'ю первісних — пов'язує основна теорема аналізу, відома як формула Ньютона — Лейбніца. У практичній формі вона стверджує: якщо $F$ — будь-яка первісна неперервної функції $f$ , то:

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Це дивовижно: нескінченна сума прямокутників зводиться до двох значень функції. Інша частина теореми каже, що інтеграл зі змінною верхньою межею $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ має похідну $f(x)$ : інтегрування й диференціювання взаємно обернені.

Приклад 2: два визначені інтеграли

$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$ , що збігається з границею сум Рімана.
$\int_1^3 (2x + 1)\,dx = \left[x^2 + x\right]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 10$ .
Стала $C$ скорочується в $F(b) - F(a)$ : тому у визначених інтегралах її можна не писати.

Різницю між двома видами інтегралів докладніше розібрано в статті визначені й невизначені інтеграли.

Два прийоми, крім базових правил

Інтегрування не має правила добутку чи складеної функції, яке механічно працювало б в усіх випадках, тому деякі прийоми обертають ці правила диференціювання.

Приклад 3: заміна змінної — правило складеної функції навпаки

$\int 2x(x^2 + 1)^3\,dx$ : покладемо $u = x^2 + 1$ , тоді $du = 2x\,dx$ .
Інтеграл перетворюється на $\int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + C$ .
Зворотна заміна: $\frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C$ .

Приклад 4: інтегрування частинами — правило добутку навпаки

Формула має вигляд $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ .
Для $\int xe^x\,dx$ виберемо $u = x$ і $dv = e^x\,dx$ , тоді $du = dx$ і $v = e^x$ .
$\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = e^x(x - 1) + C$ .

Застосування

Шлях за швидкістю: якщо $v(t) = 3t^2$ м/с, переміщення за перші 2 секунди дорівнює $\int_0^2 3t^2\,dt = 8$ м.
Площа між двома кривими: між $y = x$ і $y = x^2$ на $[0, 1]$ площа дорівнює $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .
Середнє значення: середнє значення $f$ на $[a, b]$ дорівнює $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ .
Імовірність: площі під кривою густини — це ймовірності, наприклад під кривою нормального розподілу, на якій ґрунтуються z-оцінки.
Об'єм, робота змінної сили, загальні витрати за граничними витратами й центри мас — усе це інтеграли.

Типові помилки

Забути $+ C$ у невизначеному інтегралі.
Застосувати правило степеня до $\frac{1}{x}$ , що означало б ділення на нуль; її первісна — $\ln|x|$ .
Вважати, що $\int f g\,dx$ дорівнює $\int f\,dx \cdot \int g\,dx$ .
Сприймати визначений інтеграл як загальну площу, коли частина графіка лежить нижче від осі.
Обчислювати $F(a) - F(b)$ замість $F(b) - F(a)$ .

Калькулятор інтегралів знаходить первісні й показує кожен крок, а калькулятор визначених інтегралів обчислює інтеграли на відрізку й видає числове значення.

Чому основна теорема інтуїтивно зрозуміла

Повернімося до автомобіля. Нехай $s(t)$ — його положення, а $v(t) = s'(t)$ — швидкість. Якщо додати швидкість на крихітних проміжках часу впродовж усієї поїздки, вийде повна зміна положення, тобто кінцеве положення мінус початкове. У формулах: $\int_a^b v(t)\,dt = s(b) - s(a)$ , і це точно основна теорема, де роль первісної відіграє $s$ .

За такого погляду теорема майже очевидна: якщо додати всі малі зміни величини, вийде її повна зміна. Її сила в тому, що складні обчислення границь вона перетворює на просте віднімання, якщо вдається знайти первісну.

Чисельне інтегрування

Якщо первісну записати не можна або функція відома лише з вимірювань, інтеграли оцінюють чисельно. Найкращі оцінки використовують фігури, доречніші за прямокутники. Формула трапецій бере середнє лівої й правої сум; для $x^2$ на $[0, 2]$ з 4 смужками вона дає $\frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$ . Формула середніх прямокутників бере висоту в середині кожної смужки й дає $0.5\,(0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625) = 2.625$ . Обидві виявляються значно ближчими до точного значення $2.667$ , ніж будь-яка із сум за краями.

Формула Сімпсона, яка проводить параболи через групи з трьох точок, для цієї функції й для будь-якого многочлена до третього степеня точна. Програми використовують удосконалені версії цих ідей, щоб за частки секунди обчислювати інтеграли з точністю до багатьох знаків після коми.

Трохи історії

Обчислювати площі, додаючи тонкі смужки, — давня ідея. Архімед понад дві тисячі років тому знайшов площу параболічного сегмента методом, дуже близьким до границі. Великим проривом сімнадцятого століття, який приписують Ньютону й Лейбніцу, стала основна теорема, що показала: площі можна отримувати, обертаючи диференціювання. Бернгард Ріман у дев'ятнадцятому столітті дав сумам їхнє сучасне строге означення, звідси й їхня назва.

Поширені запитання

Чим похідна відрізняється від інтеграла?

Похідна дає швидкість зміни в одну мить; інтеграл додає швидкості в загальну величину. Основна теорема аналізу показує, що це взаємно обернені операції, як множення й ділення.

Навіщо в невизначеному інтегралі + C?

Похідна будь-якої сталої дорівнює нулю: якщо $F$ — первісна $f$ , то й $F + C$ теж, за будь-якої сталої $C$ . Доданок $+ C$ позначає всю цю сім'ю.

Чи може інтеграл бути від'ємним числом?

Так. Він вимірює площу зі знаком: області нижче від осі абсцис ураховуються зі знаком мінус. Від'ємний результат означає, що на цьому відрізку під віссю лежить більше площі, ніж над нею.

Чи кожна функція має первісну, яку можна записати?

Ні. Кожна неперервна функція має первісну, але деякі з них, наприклад первісну $e^{-x^2}$ , не можна виразити через звичайні функції. Їхні визначені інтеграли обчислюють чисельно.

Що означає dx наприкінці інтеграла?

Воно вказує змінну інтегрування й позначає ширину вузьких смужок суми Рімана. Воно важливе й під час заміни змінної, де $dx$ перетворюється на $du$ , і в інтегралах із кількома літерами, де показує, яка з них є змінною.

MathSolver Pro Editorial Team

Редакція й математична вичитка

Наша редакція пише кожен посібник так, щоб він пояснював міркування за кожним методом, а не лише відповідь. Кожен розібраний приклад перед публікацією перевіряється рушіями розв'язування сайту й автоматичними тестами, а статті оновлюються, щойно змінюється метод чи формат тесту.