Диференціювання неявної функції крок за кроком

Явні й неявні рівняння

Явне рівняння задає $y$ безпосередньо формулою від $x$, наприклад $y = x^2 + 1$. Проте багато важливих кривих описуються неявно — рівнянням, що пов'язує $x$ і $y$. Коло $x^2 + y^2 = 25$ — знайомий приклад. Якщо виразити $y$, вийдуть дві функції, $y = \sqrt{25 - x^2}$ для верхньої половини і $y = -\sqrt{25 - x^2}$ для нижньої, і диференціювати кожну окремо виснажливо.

Для інших кривих $y$ узагалі не можна виразити елементарними перетвореннями, наприклад для $x^3 + y^3 = 6xy$ або $e^y + xy = e$. Проте їхні графіки майже скрізь мають дотичну, і диференціювання неявної функції — інструмент для знаходження цих кутових коефіцієнтів. Метод цілком спирається на правило диференціювання складеної функції: повторіть правила диференціювання з поясненнями, якщо це правило вам ще не до кінця зрозуміле.

Метод у чотири кроки

1. Продиференціюйте обидві частини рівняння за $x$.
2. Щоразу, диференціюючи доданок з $y$, множте на $\frac{dy}{dx}$, бо $y$ — функція від $x$ і діє правило складеної функції.
3. Перенесіть усі доданки з $\frac{dy}{dx}$ в один бік, а все інше — в інший.
4. Винесіть $\frac{dy}{dx}$ за дужки й поділіть, щоб його виразити.

Суть кроку 2 — така тотожність із правила складеної функції, де $f$ — будь-яка диференційовна функція:

Тому $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$ і $\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$. Добутки на зразок $xy$ додатково потребують правила добутку: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$.

Приклад: коло

Зверніть увагу, що неявний результат правильний одразу для обох половин: у точці $(3, -4)$ кутовий коефіцієнт дорівнює $+\frac{3}{4}$. Формула також показує, де дотичні горизонтальні — при $x = 0$, у точках $(0, 5)$ і $(0, -5)$, — і де вертикальні — при $y = 0$, у точках $(5, 0)$ і $(-5, 0)$. Результат містить не лише $x$, а й $y$, і для похідної неявної функції це нормально: щоб отримати число, потрібна точка кривої, а не лише значення $x$.

Приклади, де y не можна виразити

Другі похідні

Щоб отримати $\frac{d^2y}{dx^2}$, ще раз неявно продиференціюйте першу похідну, а потім підставте в результат саму першу похідну. Для кола почніть з $y' = -\frac{x}{y}$ і застосуйте правило частки:

Останній крок спрощує вираз за допомогою вихідного рівняння $x^2 + y^2 = 25$ — прийом, який часто допомагає. Результат від'ємний на верхній половині, де $y > 0$, отже, крива там опукла вгору, і додатний на нижній половині, де вона опукла вниз, що узгоджується з формою кола.

Похідні обернених функцій

Диференціювання неявної функції пояснює, звідки беруться похідні обернених функцій. Нехай $y = \arctan x$. Тоді $\tan y = x$. Диференціювання дає $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$, отже, $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

Той самий прийом для $y = \ln x$, переписаного як $e^y = x$, дає $e^y\frac{dy}{dx} = 1$, звідки $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. У загальному випадку кутовий коефіцієнт оберненої функції — величина, обернена до кутового коефіцієнта вихідної функції у відповідній точці, як пояснює наша стаття про обернені функції.

Пов'язані швидкості зміни

Якщо змінні залежать від часу, та сама ідея працює під час диференціювання за $t$ замість $x$. Кожна змінна має власну швидкість зміни.

Типові помилки

• Забути множник $\frac{dy}{dx}$ під час диференціювання доданка з $y$.
• Вважати $xy$ однією змінною замість застосування правила добутку.
• Диференціювати сталу в правій частині, ніби вона змінна; похідна сталої дорівнює 0.
• Підставляти числа до диференціювання, «заморожуючи» змінні величини.
• Використовувати точку, яка взагалі не лежить на кривій. Завжди спочатку перевіряйте точку.

Калькулятор похідної неявної функції виконує всі кроки, групує доданки з похідною й може обчислити кутовий коефіцієнт у точці. Для явних функцій використовуйте калькулятор похідних.

Чому метод працює

Диференціювання неявної функції припускає, що поблизу розглядуваної точки крива справді є графіком диференційовної функції $y(x)$, навіть якщо її не можна записати. Якщо підставити її в рівняння, воно стає тотожністю щодо $x$, правильною для всіх $x$ поблизу точки. Два вирази, рівні при всіх $x$, мають рівні похідні: тому й можна диференціювати обидві частини.

Припущення порушується лише в особливих точках, наприклад там, де дотична вертикальна або крива перетинає саму себе. Декартів лист перетинає себе в початку координат, і формула похідної дає там $\frac{0}{0}$. У таких точках крива локально не є графіком однієї функції, тому однозначного кутового коефіцієнта в неї немає. Теорема про неявну функцію, яку вивчають в аналізі функцій кількох змінних, точно каже, коли припущення напевно виконується.

Короткий шлях через частинні похідні

Якщо криву можна записати як $F(x, y) = 0$, існує компактна формула для кутового коефіцієнта, що випливає з того самого міркування:

Тут $F_x$ і $F_y$ — частинні похідні, які отримують, диференціюючи за однією змінною й вважаючи іншу сталою. Для кола $F = x^2 + y^2 - 25$ дає $F_x = 2x$ і $F_y = 2y$, тож кутовий коефіцієнт, як і раніше, дорівнює $-\frac{x}{y}$. Калькулятор частинних похідних обчислить $F_x$ і $F_y$ за вас.

Розв'язані вправи

1. $x^2 - y^2 = 9$. Відповідь: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
2. $xy = 12$, кутовий коефіцієнт у точці $(3, 4)$. Відповідь: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$, там він дорівнює $-\frac{4}{3}$.
3. $y^3 + y = x$. Відповідь: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$, завжди додатний, отже, крива скрізь зростає.
4. $\cos y = x$. Відповідь: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$, що приводить до похідної арккосинуса.

Перевіряйте кожен результат: виберіть точку кривої, оцініть кутовий коефіцієнт чисельно за допомогою сусідньої точки й порівняйте.

Де трапляються неявні криві

Неявні рівняння на практиці трапляються часто. Конічні перерізи, такі як еліпси й гіперболи, природно записуються в неявній формі. В економіці крива байдужості пов'язує кількості двох благ, що приносять споживачеві однакову корисність, а її кутовий коефіцієнт, знайдений неявно, — це гранична норма заміщення, тобто пропорція, у якій споживач готовий обміняти одне благо на інше. У термодинаміці рівняння стану пов'язують тиск, об'єм і температуру, і диференціювання неявної функції показує, як змінюється одна величина за зміни іншої. Щоразу, коли дві величини пов'язані співвідношенням, а не формулою, цей метод дає швидкість зміни однієї відносно іншої.

Поширені запитання