Калькулятор частинних похідних

Про калькулятор частинних похідних

Більшість величин у природничих науках і економіці залежить більш ніж від однієї змінної. Об'єм циліндра залежить від радіуса й висоти, прибуток компанії — від ціни й витрат на рекламу, а температура в кімнаті — від усіх трьох координат. Частинна похідна відповідає на точне запитання про таку функцію: як швидко змінюється результат, якщо змінюється лише одна змінна, а всі інші зафіксовані?

Калькулятор знаходить ці швидкості зміни точно. Запишіть функцію, наприклад $x^2 y + \sin(xy)$ , оберіть змінну, і калькулятор продиференціює її доданок за доданком за правилами суми, сталого множника, степеня, добутку й складеної функції, вважаючи будь-яку іншу літеру сталою. Кожне правило показано окремим кроком, тож видно, чому $y$ залишається перед $\cos(xy)$ і чому доданок на зразок $4y$ зникає під час диференціювання за $x$ .

Похідні вищих порядків знаходяться так само. Введіть xx для другої частинної похідної за $x$ або xy для мішаної похідної, яка береться спочатку за $x$ , а потім за $y$ . Додайте точку, наприклад x = 1, y = 2, щоб обчислити в ній результат. Кожен результат незалежно перевіряється перед виведенням.

Що таке частинна похідна?

Для функції $f(x, y)$ частинна похідна за $x$ , що позначається $\frac{\partial f}{\partial x}$ або $f_x$ , — це звичайна похідна, яку отримують, якщо вважати $y$ фіксованим числом. Формально $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ . Заокруглений символ $\partial$ вказує, що є й інші змінні й що вони вважаються сталими.

Геометрично графік $f(x, y)$ — це поверхня. Якщо розітнути її площиною $y =$ стала, вийде крива, і $f_x$ — кутовий коефіцієнт цієї кривої. Аналогічно $f_y$ — кутовий коефіцієнт перерізу в напрямку $y$ . Разом перші частинні похідні утворюють градієнт $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ , який указує напрямок найшвидшого зростання.

Частинні похідні трапляються в оптимізації (критичні точки — це точки, де всі перші частинні похідні дорівнюють нулю), у фізиці (рівняння теплопровідності, хвильове рівняння й рівняння Лапласа записуються через них), в економіці (граничні витрати й гранична корисність) і в машинному навчанні, де градієнти керують навчанням будь-якої нейронної мережі.

Як користуватися калькулятором частинних похідних

Запишіть функцію, використовуючи будь-які літери як змінні, наприклад x^2 y + sin(x y) або x^3 y^2 + 4y. Пробіл або * між літерами означає множення.
У другому полі введіть змінну, за якою потрібно диференціювати, наприклад x або y.
Для вищих порядків пишіть по одній літері на кожне диференціювання по черзі: xx для f_xx, xy для f_xy (спочатку x, потім y) і так далі.
За бажання задайте значення кожної змінної, наприклад x = 1, y = 2, щоб обчислити похідну в цій точці.
Натисніть «Продиференціювати» й стежте за кроками, кожен із яких підписано застосованим правилом.

Формули

Означення

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

Позначення мішаних похідних

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

Теорема Шварца (Клеро)

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{якщо обидві неперервні}

Вектор градієнта

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

Правило складеної функції в частинній похідній

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

Розв'язаний приклад: ∂/∂x від x²y + sin(xy)

Приклад обчислюється в реальному часі для $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ під час диференціювання за $x$ . При сталому $y$ перший доданок — стала, помножена на $x^2$ , тому він перетворюється на $2xy$ . Для другого доданка потрібне правило складеної функції: похідна $\sin u$ дорівнює $\cos u$ , помноженому на $\frac{\partial u}{\partial x}$ , а для $u = xy$ ця внутрішня похідна дорівнює $y$ .

Додавши частини, отримуємо $2xy + y\cos(xy)$ , і калькулятор виносить спільний множник: $f_x = y(2x + \cos(xy))$ . Зверніть увагу: $y$ жодного разу не диференціюється; він поводиться точно так само, як поводилося б на його місці число 5.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

Як ми зрозуміли вашу задачу

Знайдемо першу частинну похідну f_x функції f(x, y).

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

Покроковий розв'язок

Визначаємо функцію й порядок диференціювання
Диференціюємо за x; усі інші змінні (y) вважаємо сталими.
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
Похідна складеної функції — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
Винесення сталого множника
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
Винесення сталого множника
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
Похідна степеня: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
Спрощуємо: f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

Використані формули

Означення
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
Мішані частинні похідні (теорема Шварца)
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{якщо обидві неперервні}$

Частинна похідна показує, як змінюється f, коли змінюється лише одна змінна: інші змінні вважаються звичайними числами, тому діють звичні правила диференціювання.

Перевірка

Звірено з незалежною системою символьного диференціювання в кількох контрольних точках ✓

Докладне пояснення

Інші змінні вважаємо сталими

Єдина ідея будь-якої частинної похідної — змінні, за якими не диференціюють, заморожені. Якщо це незвично, спочатку замініть їх конкретним числом. Диференціювання $x^3 y^2 + 4y$ за $y$ при $x = 2$ — це диференціювання $8y^2 + 4y$ : результат має вигляд $2 \cdot 8y + 4$ , і, підставивши назад $x^3$ замість 8, отримуємо $f_y = 2x^3 y + 4$ .

Це ж пояснює, які доданки зникають. Доданок, що містить лише заморожені змінні, — стала, тому його частинна похідна дорівнює нулю. Для $f = x^2 + 3xy$ частинна похідна за $y$ повністю ігнорує $x^2$ і дає $f_y = 3x$ .

Знайомі правила й далі діють

Частинне диференціювання використовує точно ті самі правила, що й аналіз функцій однієї змінної: правила степеня, суми, сталого множника, добутку, частки й складеної функції. Змінюється лише облік. Добуток двох множників, що містять $x$ , під час диференціювання за $x$ потребує правила добутку; якщо ж множник містить лише $y$ , це просто сталий множник.

Найбільше помилок припускаються в правилі складеної функції. Якщо функція застосовується до виразу з кількома змінними, як у $e^{xy}$ або $\ln(x^2 + y^2)$ , внутрішня похідна теж частинна. Так, $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ і $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ .

Другі частинні похідні й мішані похідні

Продиференціювавши частинну похідну ще раз, отримуємо другу частинну похідну. Функція двох змінних має їх чотири: $f_{xx}$ , $f_{yy}$ і мішані похідні $f_{xy}$ і $f_{yx}$ . Індекси читаються зліва направо: $f_{xy}$ означає диференціювання спочатку за $x$ , потім за $y$ . Запис у вигляді дробу $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ читається справа наліво й позначає те саме.

Для $f = x^2 y^3$ диференціювання за $x$ спочатку дає $2xy^3$ , а подальше диференціювання за $y$ — $f_{xy} = 6xy^2$ , що в точці $(1, 2)$ дорівнює 24. У зворотному порядку отримуємо $3x^2y^2$ , а потім знову $6xy^2$ . Цей збіг — теорема Шварца, відома також як теорема Клеро: для функцій із неперервними другими частинними похідними порядок мішаного диференціювання не важливий. Калькулятор показує це як перевірку щоразу, коли обчислює мішану похідну.

Другі частинні похідні мають цілком конкретні застосування. У достатній умові екстремуму для критичної точки $f(x, y)$ величина $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ — визначник матриці Гессе — вирішує, чи є точка локальним максимумом, локальним мінімумом або сідловою точкою.

Значення в точці та його зміст

Частинна похідна сама є функцією всіх змінних, тому її значення залежить від того, де ми перебуваємо. Для $f = x^2 + 3xy$ похідна $f_x = 2x + 3y$ у точці $(1, 2)$ дорівнює 8. Це означає: поблизу цієї точки невелике збільшення $x$ на $\Delta x$ при фіксованому $y = 2$ збільшує $f$ приблизно на $8\,\Delta x$ .

Одиниці вимірювання роблять зміст наочним. Якщо $V(r, h) = \pi r^2 h$ — об'єм циліндра в кубічних сантиметрах, то $V_r = 2\pi r h$ вимірюється в кубічних сантиметрах на сантиметр радіуса й показує, наскільки чутливий об'єм до зміни радіуса за фіксованої висоти.

Типові помилки

Диференціювати й змінну, яку потрібно вважати сталою, наприклад писати $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ .
Залишати доданок на зразок $4y$ під час диференціювання за $x$ ; це стала, і її похідна дорівнює 0.
Забувати внутрішню частинну похідну в правилі складеної функції, наприклад писати $\cos(xy)$ для $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ .
Читати $f_{xy}$ у неправильному порядку; порядок індексів — це порядок диференціювання.
Плутати $\frac{\partial f}{\partial x}$ з повною похідною $\frac{df}{dx}$ , коли $y$ сам залежить від $x$ .

Поради

Подумки замінюйте заморожені змінні числами, якщо забули, що вважається сталим.
Виносьте сталі до диференціювання; під час диференціювання за $x$ вираз $x^2 y^3$ — це просто $y^3$ , помножене на $x^2$ .
Використовуйте теорему Шварца як безкоштовну перевірку: обчисліть $f_{xy}$ і $f_{yx}$ і порівняйте.
Записуйте $\nabla f$ , щойно отримаєте обидві перші частинні похідні; більшості застосувань потрібен повний градієнт.
Спрощуйте першу похідну, перш ніж знаходити другу, щоб вирази залишалися оглядними.
Дивіться на знак частинної похідної в точці, щоб зрозуміти, зростає чи спадає функція в цьому напрямку.

Поширені запитання

Як записати функцію двох змінних?

Використовуйте літери для змінних і пробіл або * для множення, наприклад x^2 y + sin(x y) або x^2*y + sin(x*y). Будь-яка літера, що не є назвою функції на зразок sin чи log, вважається змінною.

Як отримати другу частинну похідну на зразок f_xx?

У полі «Диференціювати за» напишіть змінну по одному разу на кожне диференціювання: xx для f_xx, yy для f_yy. Калькулятор продиференціює кілька разів і покаже кожен крок окремо.

Чи дорівнює f_xy похідній f_yx?

Майже для всіх функцій зі шкільної та університетської програми — так. Теорема Шварца гарантує це, якщо мішані похідні неперервні. Калькулятор показує порівняння, щоб ви бачили, що вони збігаються.

Що означає символ ∂?

Це заокруглене d, яке використовується в частинних похідних. Воно вказує, що функція має кілька змінних і що під час диференціювання всі вони, крім тієї, що стоїть у знаменнику, залишаються сталими.

Чи обчислює він частинну похідну в точці?

Так. Введіть значення всіх змінних у необов'язкове поле, наприклад x = 1, y = 2. Калькулятор підставить їх у готову похідну й видасть число; наприклад, f_x = 2x + 3y у точці (1, 2) дорівнює 8.

Чи працює це з трьома змінними?

Так. Функцію на зразок x y z або x^2 + y z можна диференціювати за будь-якою з її літер. Для x y z частинна похідна за z дорівнює xy.

Чим частинна похідна відрізняється від звичайної?

Правила однакові, але звичайна похідна стосується єдиної змінної, а частинна обирає одну змінну з кількох і вважає решту сталими. Результат залишається функцією всіх змінних.

Що таке градієнт і як його утворюють частинні похідні?

Градієнт — це вектор усіх перших частинних похідних, наприклад ⟨f_x, f_y⟩. Він указує напрямок, у якому функція зростає найшвидше, а його довжина дорівнює цій максимальній швидкості зростання.

Чому моя частинна похідна виглядає не так, як у відповіді?

Рівносильні вирази можна записати по-різному. Калькулятор може винести множник за дужки, як у y(2x + cos(xy)) замість 2xy + y cos(xy), або переставити множники. Розкрийте дужки в обох формах або обчисліть їх в одній і тій самій точці, щоб переконатися, що вони збігаються.

Спробуйте калькулятор частинних похідних

Введіть функцію кількох змінних і отримайте fx, fy або будь-яку мішану похідну з поясненням кожного правила.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач