Обернені функції: як знайти, побудувати й перевірити обернену функцію

Що робить обернена функція

Функція бере вхід і видає вихід. Обернена функція, яку позначають $f^{-1}$, проходить шлях у зворотний бік: вона бере значення $f$ і повертає вхід, що його дав. Якщо $f(a) = b$, то $f^{-1}(b) = a$. Застосувавши спершу одну, а потім іншу, ви повертаєтеся у вихідну точку.

Приклад із життя — переведення температур. Функція $F = \frac{9}{5}C + 32$ переводить градуси Цельсія в градуси Фаренгейта. Обернена функція $C = \frac{5}{9}(F - 32)$ переводить у зворотний бік. Підставивши 37 градусів Цельсія в першу, отримуємо 98,6 градуса Фаренгейта, а підставивши 98,6 у другу, знову отримуємо 37.

Позначення потребує уваги. $-1$ в $f^{-1}$ — не показник степеня. Обернена функція $f^{-1}(x)$ — це не обернена величина $\frac{1}{f(x)}$. Для $f(x) = 2x$ обернена функція дорівнює $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$, а обернена величина — $\frac{1}{2x}$.

Коли існує обернена функція?

Функцію можна обернути, лише якщо кожне її значення отримується рівно з одного входу. Таку функцію називають ін'єктивною (взаємно однозначною). Якщо два різні входи дають те саме значення, незрозуміло, який із них повертати, і на цій множині оберненої функції немає.

Функція $f(x) = x^2$ не проходить цієї перевірки на дійсних числах, бо $f(3) = f(-3) = 9$. Обернена функція, що скасовує 9, не знала б, повернути 3 чи $-3$. На графіку це перевірка горизонтальною прямою: функція ін'єктивна тоді й лише тоді, коли жодна горизонтальна пряма не перетинає графік більше ніж один раз. Пряма $y = 9$ перетинає параболу $y = x^2$ двічі, тому парабола перевірки не проходить.

Строго зростаючі й строго спадні функції проходять її автоматично. Лінійні функції з ненульовим кутовим коефіцієнтом, $x^3$, $e^x$ і $\ln x$ ін'єктивні на своїй природній області визначення.

Як знайти обернену функцію аналітично

1. Замініть $f(x)$ на $y$.
2. Поміняйте місцями $x$ і $y$ в усьому виразі.
3. Розв'яжіть нове рівняння відносно $y$.
4. Замініть $y$ на $f^{-1}(x)$ і вкажіть її область визначення — це множина значень $f$.

Якщо після перестановки $y$ трапляється кілька разів, перенесіть усі доданки з $y$ в один бік і винесіть $y$ за дужки, як у прикладі 3.

Обмеження області визначення

Неін'єктивна функція може мати обернену, якщо обмежити її область визначення проміжком, на якому вона ін'єктивна. Так означують квадратний корінь та обернені тригонометричні функції.

Якщо обмежити $f(x) = x^2$ умовою $x \ge 0$, залишається лише права половина параболи, а вона ін'єктивна. Обернена функція — $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$. При $x \le 0$ вийшло б $-\sqrt{x}$.

Обернені тригонометричні функції влаштовано так само. Синус не ін'єктивний, тому $\arcsin x$ означують як обернену до синуса, обмеженого на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Тому $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$, а не $\frac{5\pi}{6}$: результат має лежати в обмеженому проміжку.

Показникові функції й логарифми

Найважливіша пара взаємно обернених функцій до математичного аналізу — $e^x$ і $\ln x$: $\ln(e^x) = x$ за будь-якого дійсного $x$ і $e^{\ln x} = x$ при $x > 0$. У загальному випадку $\log_b x$ — обернена до $b^x$. Стаття про логарифми виводить із цього факту всі властивості логарифмів.

Графіки обернених функцій

Оскільки обернена функція міняє місцями входи й виходи, кожна точка $(a, b)$ графіка $f$ стає точкою $(b, a)$ графіка $f^{-1}$. Геометрично перестановка координат — це відбиття відносно прямої $y = x$. Отже, графік оберненої функції — дзеркальне відбиття початкового графіка відносно цієї бісектриси.

Це дає швидкий ескіз оберненої функції й корисну перевірку: графіки $e^x$ і $\ln x$ симетричні один одному, як і графіки $x^3$ і $\sqrt[3]{x}$. Особливості теж міняються місцями. Горизонтальна асимптота $f$ стає вертикальною асимптотою $f^{-1}$, як у прикладі 3. Якщо побудувати обидві функції разом із прямою $y = x$ у побудовнику графіків, симетрія стане очевидною.

Як перевірити обернену функцію

Щоб довести, що дві функції взаємно обернені, складіть їхню композицію в обох порядках і спростіть. Якщо обидві композиції на відповідних множинах дають $x$, функції взаємно обернені. Для прикладу 3:

Швидша неформальна перевірка: виберіть вхід, застосуйте $f$, потім обернену функцію й подивіться, чи повернувся вхід. Це не доводить правильності формули, але виявляє більшість помилок. Композицію докладно пояснено в посібнику з композиції функцій.

Обернені функції в математичному аналізі

Якщо $f$ диференційовна й ін'єктивна, кутовий коефіцієнт дотичної до оберненої функції в точці дорівнює оберненій величині кутового коефіцієнта $f$ у відповідній точці. Якщо $f(a) = b$ і $f'(a) \neq 0$, то:

Для $f(x) = x^3 + x$ маємо $f(1) = 2$ і $f'(x) = 3x^2 + 1$, тому $f'(1) = 4$ і $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}$. Це працює, навіть коли формулу для $f^{-1}$ знайти дуже важко. Саме тому похідна $\ln x$ дорівнює $\frac{1}{x}$: $\ln$ — обернена функція до $e^x$.

Часті помилки

• Вважати $f^{-1}(x)$ рівним $\frac{1}{f(x)}$.
• Забути поміняти місцями $x$ і $y$, через що початкова функція просто переписується.
• Шукати формулу для неін'єктивної функції, не обмеживши область визначення.
• Після обмеження області визначення вибрати неправильний знак квадратного кореня.
• Не вказати область визначення оберненої функції, яка має збігатися з множиною значень початкової.

Калькулятор оберненої функції показує кроки перестановки й розв'язання, а потім перевіряє результат композицією.

Обернені функції за таблицями й у застосуваннях

Формула потрібна не завжди. Якщо таблиця задає ін'єктивну функцію, обернену отримують перестановкою двох стовпців. Нехай служба доставки бере плату за вагою, і за тарифною таблицею 1 кілограм коштує 6 доларів, 2 кілограми — 9 доларів, а 3 кілограми — 12 доларів. Обернена таблиця відповідає на зворотне запитання: скільки важила посилка, якщо відомо, скільки заплатив клієнт? Оплата 9 доларів відповідає 2 кілограмам. Якби дві ваги коштували однаково, зворотне запитання не мало б однозначної відповіді: це й є умова ін'єктивності в реальній ситуації.

Багато життєвих формул використовують в обидва боки. Кредитний калькулятор знаходить щомісячний платіж за сумою кредиту, а обернена залежність каже, скільки можна позичити за посильного платежу. Рецепт, перерахований на кількість порцій, можна обернути, щоб дізнатися, скільки порцій вийде із заданої кількості борошна. У природничих науках градуювальна крива переводить відому концентрацію в показання приладу, а обернена функція переводить показання в концентрацію. В усіх випадках обернена функція корисна саме тому, що початкова залежність ін'єктивна в потрібному діапазоні.

З цього погляду алгебраїчні кроки виглядають природно. Поміняти місцями $x$ і $y$ — лише короткий спосіб сказати, що ролі входу й виходу помінялися, а розв'язати відносно $y$ — означає відповісти на зворотне запитання.

Поширені запитання