Калькулятор оберненої функції

Про калькулятор оберненої функції

Обернена функція скасовує дію функції. Якщо $f$ переводить градуси Цельсія в градуси Фаренгейта, то обернена до неї переводить Фаренгейти назад у Цельсії; якщо $f$ подвоює число й додає три, то обернена віднімає три й ділить навпіл. Вручну для цього міняють ролями вхід і вихід і розв'язують рівняння: для лінійних функцій це рутина, але з дробами, коренями й показниковими функціями все швидко заплутується.

Калькулятор знаходить $f^{-1}(x)$ для лінійних, дробово-раціональних, степеневих, ірраціональних, показникових і логарифмічних функцій, а також для основних тригонометричних функцій. Він показує кроки переставлення й вираження змінної, указує область визначення оберненої функції, а якщо $f$ не є взаємно однозначною, обирає стандартну вітку й повідомляє про це. Кожен результат перевіряється чисельно: $f$ компонується з $f^{-1}$ у контрольних точках.

Що таке обернена функція?

Функція, обернена до $f$ , — це функція $f^{-1}$ , для якої $f^{-1}(f(x)) = x$ для кожного $x$ з області визначення $f$ і $f(f^{-1}(y)) = y$ для кожного $y$ з множини значень $f$ . Запис $f^{-1}$ позначає обернену функцію, а не обернене число $\frac{1}{f}$ .

Оборотні лише взаємно однозначні функції, адже кожне значення має отримуватися рівно з одного входу. За графіком це перевіряють горизонтальною прямою: жодна горизонтальна пряма не повинна перетинати криву двічі. Графік $f^{-1}$ отримують відбиттям графіка $f$ відносно прямої $y = x$ , а область визначення й множина значень міняються ролями.

Як користуватися калькулятором оберненої функції

Введіть функцію від $x$ , наприклад (2x + 3)/(x - 1), x^3 + 1 або e^x.
Натисніть «Знайти обернену функцію».
Прочитайте кроки: f(x) замінюється на y, x і y міняються місцями, потім виражається y.
Зверніть увагу на область визначення f⁻¹ і на звуження до вітки, якщо калькулятор його виконав.
За допомогою рядків перевірки переконайтеся, що f і f⁻¹ взаємно скасовують одна одну.

Формули

Визначальна властивість

f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(x)) = x

Поміняти місцями й виразити

y = f(x) \;\to\; x = f(y) \;\to\; y = f^{-1}(x)

Обмін області визначення й множини значень

\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Ran}(f)

Функція, обернена до дробово-лінійної

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{a - cx}

Розв'язаний приклад: (2x + 3)/(x − 1)

У прикладі обертається $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ . Після переставлення в рівнянні $x = \frac{2y + 3}{y - 1}$ позбуваємося знаменника, переносимо всі члени з $y$ в одну частину й виносимо $y$ за дужки.

Виходить $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ . Її область визначення не містить 2, бо $f$ ніколи не набуває значення 2: зі зростанням $x$ значення $f(x)$ наближається до горизонтальної асимптоти $y = 2$ , але не досягає її.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}

Як ми зрозуміли вашу задачу

Знайдемо f⁻¹ — функцію, обернену до f(x) = (2 x + 3) / (x - 1).

f(x) = \frac{2x+3}{x-1}

Покроковий розв'язок

Замінюємо f(x) на y
$y = \frac{2x+3}{x-1}$
Множимо обидві частини на знаменник
$y(1x+-1) = 2x+3$
Збираємо члени з x в одній частині й виносимо x за дужки
$x(1y-2) = 3--1y$
Ділимо, щоб виразити x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
Виразили x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
Міняємо місцями x і y, щоб записати обернену функцію
$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$
Область визначення f⁻¹ — це множина значень f
$\text{Область визначення } f^{-1}:\ (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

Використані формули

Обернена функція
$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$

Щоб знайти обернену функцію, записуємо y = f(x), скасовуємо дії у зворотному порядку, доки x не залишиться окремо, а потім міняємо букви місцями.

Перевірка

Перевірено: f(f⁻¹(y)) = y у 12 контрольних точках.
Перевірено: f⁻¹(f(x)) = x у 12 контрольних точках.

Докладне пояснення

Чому працює прийом «поміняти місцями й виразити»

Рівняння $y = f(x)$ задає всі точки $(x, y)$ графіка. Міняючи букви місцями, ви описуєте множину відбитих точок, тобто саме графік оберненої функції. Виразивши $y$ з нового рівняння, ви знову перетворюєте цю множину точок на формулу функції. Метод не спрацьовує, лише якщо під час вираження виходить більше одного розв'язку, а це означає, що $f$ не є взаємно однозначною.

Кожен вид функцій має обернену дію: віднімання скасовує додавання, ділення скасовує множення, кубічний корінь скасовує піднесення до куба, $\ln$ скасовує $e^x$ , а $\log_2$ скасовує $2^x$ . Щоб обернути $x^3 + 1$ , скасовуйте ці дії у зворотному порядку: спершу відніміть 1, потім добудьте кубічний корінь, і вийде $\sqrt[3]{x - 1}$ .

Звуження області визначення

Функція на зразок $x^2$ не проходить перевірку горизонтальною прямою: і $2$ , і $-2$ дають значення 4. Щоб зробити її оборотною, розглядають лише частину області визначення. Калькулятор використовує звичну вітку $x \geq 0$ , яка дає $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ , і вказує звуження у відповіді. Для $x^2 + 1$ та сама вітка дає $\sqrt{x - 1}$ з областю визначення $[1, \infty)$ .

Тригонометричні функції теж звужуються стандартним чином. Для $\sin x$ калькулятор використовує $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ , що дає $\arcsin x$ на $[-1, 1]$ .

Як перевіряється результат

Знайшовши кандидата в обернені функції, алгоритм обчислює $f(f^{-1}(y))$ для контрольних значень $y$ з множини значень $f$ і вимагає, щоб знову виходило $y$ ; інакше обернена функція не виводиться. Крім того, він обчислює $f^{-1}(f(x))$ : якщо $x$ повертається лише для деяких входів, то $f$ не взаємно однозначна, і у відповіді вказується використана вітка. Так виявляються помилки в знаках і хибні вітки, які легко пропустити під час суто алгебраїчних викладок.

Типові помилки

Розуміти $f^{-1}(x)$ як $\frac{1}{f(x)}$ ; показник тут позначає обернену функцію, а не обернене число.
Забувати поміняти місцями $x$ і $y$ і просто виражати $x$ з $y = f(x)$ , тож відповідь залежить від $y$ .
Стверджувати, що функція, обернена до $x^2$ , дорівнює $\pm\sqrt x$ ; функція дає лише одне значення, тому треба обрати вітку.
Не вказувати область визначення оберненої функції, яка збігається з множиною значень початкової.
Скасовувати дії в початковому порядку, а не у зворотному.

Поради

Перевірте одне значення: якщо $f(2) = 7$ , то $f^{-1}(7)$ має дорівнювати 2.
Перед оберненням побудуйте графік $f$ у побудовнику графіків і перевірте його горизонтальною прямою.
Для відношення лінійних виразів позбудьтеся знаменника, зберіть члени з $y$ і винесіть $y$ за дужки.
Знайдіть множину значень $f$ калькулятором області визначення й множини значень — це й буде область визначення оберненої функції.
За допомогою калькулятора композиції функцій перевірте, що $f(f^{-1}(x))$ спрощується до $x$ .

Поширені запитання

Як знайти функцію, обернену до даної?

Замініть f(x) на y, поміняйте місцями x і y, виразіть y з нового рівняння й запишіть результат як f⁻¹(x). Потім укажіть область визначення: вона збігається з множиною значень початкової функції.

Чи кожна функція має обернену?

Ні, лише взаємно однозначні функції. Функції, що не проходять перевірку горизонтальною прямою, наприклад x² або sin x, треба звузити, щоб вони стали оборотними.

Яку вітку калькулятор обирає для x²?

Він використовує x ≥ 0, тому оберненою функцією є квадратний корінь. Звуження вказується у відповіді, щоб ви знали, яку вітку використано.

Чи збігається f⁻¹(x) з 1/f(x)?

Ні. Показник −1 позначає обернену функцію. Обернене число 1/f(x) — інша функція, яку зазвичай записують дробом або як (f(x))⁻¹.

Яка функція обернена до e^x?

Натуральний логарифм ln x, визначений при x > 0. Аналогічно функція, обернена до 2^x, — логарифм x за основою 2.

Як пов'язані графіки f і f⁻¹?

Вони симетричні відносно прямої y = x: точці (a, b) одного графіка відповідає точка (b, a) іншого.

Як калькулятор перевіряє обернену функцію?

Він обчислює f(f⁻¹(y)) у кількох контрольних точках і виводить обернену функцію, лише якщо всі значення повертаються без змін. Він також виконує композицію в іншому порядку, щоб розпізнати випадки, коли потрібне було звуження до вітки.

Спробуйте калькулятор оберненої функції

Введіть функцію й отримайте обернену, область визначення f⁻¹ і перевірку крок за кроком.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач