Композиція функцій: як обчислювати й застосовувати f(g(x))

Що таке композиція

Для двох функцій $f$ і $g$ композиція $f \circ g$, читається «f після g», — це функція, що спершу застосовує $g$, а потім $f$ до результату:

Найбільше плутанини викликає порядок. Функція, записана праворуч, найближча до $x$, діє першою. Уявіть конвеєр: $x$ надходить у машину $g$, продукт $g(x)$ рухається далі в машину $f$, і на виході виходить $f(g(x))$. Щоб це працювало, кожне використане значення $g$ має бути допустимим входом для $f$.

Композиція — це не множення. Добуток $(fg)(x)$ означає $f(x) \cdot g(x)$, тобто перемножує два значення, тоді як $(f \circ g)(x)$ підставляє одну функцію в іншу. Усе вирішує маленький кружечок.

Композиція двох формул

Щоб знайти $f(g(x))$, візьміть формулу $f$ і замініть кожен $x$ усією формулою $g(x)$ у дужках. Потім спростіть.

Два порядки дають цілком різні функції. У загальному випадку композиція не комутативна: $f \circ g$ і $g \circ f$ майже завжди різні, і ніколи не можна вважати їх рівними. Зате вона асоціативна: $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$, і ланцюжок із трьох функцій можна обчислювати зсередини назовні.

Під час підстановки завжди беріть внутрішню функцію в дужки. Без них $g(2x + 3)$ при $g(x) = x^2$ легко перетворюється на $2x + 3^2$, а це неправильно.

Обчислення композиції за числами й таблицями

Часто потрібне лише одне конкретне значення. Дійте зсередини назовні: спершу обчисліть внутрішню функцію, а потім використайте результат як вхід зовнішньої. Формулу композиції для цього знаходити не треба.

Нехай таблиця дає $g(1) = 4$, $g(2) = 0$, $g(3) = 2$ і $f(0) = 5$, $f(2) = -1$, $f(4) = 3$. Тоді $f(g(1)) = f(4) = 3$, $f(g(2)) = f(0) = 5$ і $f(g(3)) = f(2) = -1$. Якби в таблиці не було значення $f$ для числа, отриманого з $g$, композиція за цього входу просто не була б визначена.

З графіками порядок дій той самий. Щоб знайти $f(g(3))$ за двома графіками, прочитайте $g(3)$ на графіку $g$, знайдіть це значення на осі x графіка $f$ і прочитайте значення функції.

Область визначення складеної функції

Область визначення $f \circ g$ складається саме з тих значень $x$, які задовольняють дві умови: $x$ лежить в області визначення $g$, а $g(x)$ лежить в області визначення $f$. Спрощення формули композиції може приховати першу умову, тому знаходьте область визначення за початковими функціями.

Короткий приклад показує, чому це важливо. Якщо $f(x) = x^2$ і $g(x) = \sqrt{x}$, то $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$, але лише при $x \ge 0$. Одна формула $x$ створює враження, що допустиме будь-яке дійсне число, а це не так. Посібник з області визначення й множини значень докладніше розбирає використані тут обмеження.

Розкладання функції

Розкладання йде у зворотний бік: для складної функції $h$ шукають простіші функції, для яких $h = f \circ g$. Шукайте внутрішній вираз, на який діє зовнішня операція.

• $h(x) = (3x - 1)^5$: внутрішня функція $g(x) = 3x - 1$, зовнішня функція $f(u) = u^5$.
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$: внутрішня функція $g(x) = x^2 + 4$, зовнішня функція $f(u) = \sqrt{u}$.
• $h(x) = e^{\sin x}$: внутрішня функція $g(x) = \sin x$, зовнішня функція $f(u) = e^u$.
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$: внутрішня функція $g(x) = x + 2$, зовнішня функція $f(u) = \frac{1}{u^2}$, або ланцюжок із трьох кроків $u = x + 2$, $v = u^2$, $w = \frac{1}{v}$.

Розкладання не єдине, але найкорисніше зазвичай має просту внутрішню функцію. Позначати внутрішню частину через $u$ — саме та навичка, яка потрібна для правила диференціювання складеної функції й для інтегрування заміною змінної.

Композиція в аналізі й в обернених функціях

Дві великі теми будуються на композиції. Перша — правило диференціювання складеної функції: похідна $f(g(x))$ дорівнює $f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Для $(3x - 1)^5$ це дає $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$. Докладно це розібрано в посібнику з правил диференціювання.

Друга: дві функції взаємно обернені тоді й лише тоді, коли їхня композиція в обох порядках повертає вхід: $f(f^{-1}(x)) = x$ і $f^{-1}(f(x)) = x$ на відповідних множинах. Для $f(x) = 2x + 3$ і $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$ отримуємо $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$. Так зазвичай перевіряють обернену функцію, як пояснює посібник з обернених функцій.

Приклад із життя: знижки й купони

Магазин дає знижку 20%, і ви ще маєте купон на 10 доларів. Нехай $d(p) = 0.8p$ — застосування знижки до ціни $p$, а $c(p) = p - 10$ — використання купона. Порядок має значення.

• Спершу купон, потім знижка: $d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$.
• Спершу знижка, потім купон: $c(d(p)) = 0.8p - 10$.
• Для товару за 50 доларів перший порядок дає 32 долари, а другий — 30 доларів.

Якщо спершу застосувати відсоткову знижку, тут завжди заощаджується 2 долари, бо купон не зменшується на відсоток. Подібні ситуації, де один процес живить інший, — це композиції, і вони показують, що порядок $f$ і $g$ — не просто технічна деталь.

Часті помилки

• Застосовувати функції в неправильному порядку: у $f(g(x))$ першою діє $g$.
• Множити $f(x)$ на $g(x)$ замість підстановки.
• Підставляти без дужок, особливо за степенів і знаків мінус.
• Знаходити область визначення лише за спрощеною формулою й забувати значення, які виключає внутрішня функція.
• Вважати, що $f \circ g = g \circ f$.

Обидва порядки та їхні області визначення можна перевірити за допомогою калькулятора композиції функцій, який явно показує крок підстановки.

Чому композиція варта зусиль

Майже всі функції, що трапляються вам після алгебри, отримано композицією. Формула для температури напою, що холоне, відхилення маятника, що гойдається, чи вартості вкладу зазвичай є простою зовнішньою функцією — показниковою, синусом чи степенем, — застосованою до ще простішого внутрішнього виразу. Хто бачить цю структуру, може передбачити форму графіка, знає, де функцію визначено, і вибирає правильний прийом для похідних та інтегралів.

Композиція пояснює й перетворення графіків. Зсув графіка $f$ на три одиниці праворуч дає $f(x - 3)$, тобто композицію $f$ із внутрішньою функцією $x - 3$. Розтяг уздовж осі y з коефіцієнтом 2 дає $2f(x)$, тобто композицію зовнішньої функції $2u$ з $f$. З цього погляду перетворення всередині дужок змінює вхід і діє горизонтально, а перетворення ззовні змінює вихід і діє вертикально. Одне це спостереження пояснює, чому горизонтальні зсуви ніби йдуть у неправильний бік.

Вправи з розв'язаннями

Розв'яжіть на папері, а потім порівняйте. Кожна задача використовує ідею з попередніх розділів.

1. Якщо $f(x) = x^2 + 1$ і $g(x) = x - 3$, знайдіть $f(g(x))$. Розв'язання: $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$.
2. З тими самими функціями знайдіть $g(f(x))$. Розв'язання: $x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$.
3. Якщо $f(x) = \sqrt{x}$ і $g(x) = 4 - x$, знайдіть область визначення $f(g(x))$. Розв'язання: $4 - x \ge 0$, тобто $(-\infty, 4]$.
4. Розкладіть $h(x) = \ln(x^2 + 1)$. Розв'язання: внутрішня функція $x^2 + 1$, зовнішня функція $\ln u$.
5. Якщо $f(x) = 3x - 2$, знайдіть $f(f(2))$. Розв'язання: $f(2) = 4$ і $f(4) = 10$.

Якщо в першій задачі у вас вийшло $x^2 - 2$, ви застосували функції в неправильному порядку: це відповідь до другої. Переплутати порядок — найчастіша помилка, і перевірка на числі, наприклад $x = 0$, одразу її виявляє: $f(g(0)) = f(-3) = 10$, а $g(f(0)) = g(1) = -2$.

Поширені запитання