Кутовий коефіцієнт прямої за двома точками

Про калькулятор кутового коефіцієнта

Кутовий коефіцієнт прямої показує, наскільки круто вона піднімається чи опускається: це зміна $y$ , поділена на зміну $x$ між будь-якими двома точками. Пряма з додатним кутовим коефіцієнтом піднімається праворуч, з від'ємним — опускається, нульовий коефіцієнт відповідає горизонтальній прямій, а вертикальна пряма кутового коефіцієнта не має.

Знаючи кутовий коефіцієнт $m$ , за будь-якою з двох точок знаходять точку перетину з віссю y, $b$ , і отримують пряму $y = mx + b$ .

Що таке кутовий коефіцієнт прямої?

Кутовий коефіцієнт — одне число, що описує нахил і напрям прямої. Він визначається як відношення зміни по вертикалі до зміни по горизонталі: на скільки пряма піднімається чи опускається на кожну одиницю праворуч. Кутовий коефіцієнт 2 означає, що пряма на кожному кроці праворуч піднімається на 2 одиниці, коефіцієнт $-\frac32$ — що на 2 одиниці праворуч вона опускається на 3 одиниці, а коефіцієнт 0 — що вона горизонтальна.

Оскільки пряма скрізь однаково крута, будь-які дві її точки дають той самий кутовий коефіцієнт. Тому він — ключ до рівняння прямої: знаючи $m$ і одну точку, ви повністю задаєте пряму. У житті кутовий коефіцієнт — це швидкість зміни, наприклад кілометри на годину на графіку шляху або гривні за штуку на графіку витрат.

Як користуватися калькулятором кутового коефіцієнта

Введіть координати першої точки (x₁, y₁).
Введіть координати другої точки (x₂, y₂).
Натисніть «Обчислити», щоб побачити зміни по вертикалі й по горизонталі, нескоротний кутовий коефіцієнт і рівняння прямої.

Формули

Кутовий коефіцієнт

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Рівняння з кутовим коефіцієнтом

y = mx + b,\quad b = y_1 - m x_1

Рівняння прямої через точку й кутовий коефіцієнт

y - y_1 = m(x - x_1)

Розв'язаний приклад: (2, 3) і (6, 11)

У прикладі використано точки (2, 3) і (6, 11). Зміна по вертикалі дорівнює $11 - 3 = 8$ , по горизонталі — $6 - 2 = 4$ , тому кутовий коефіцієнт дорівнює $\frac84 = 2$ . За першою точкою знаходимо точку перетину з віссю y, $b = 3 - 2 \cdot 2 = -1$ , і пряма — $y = 2x - 1$ . Для перевірки підставляємо другу точку: $2 \cdot 6 - 1 = 11$ , як і очікувалося.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

m = 2,\quad y = 2x - 1

Як ми зрозуміли вашу задачу

Знаходимо кутовий коефіцієнт (швидкість зміни) прямої, що проходить через дві точки.

Покроковий розв'язок

Позначаємо точки
$(x_1, y_1) = (2, 3),\quad (x_2, y_2) = (6, 11)$
Знаходимо зміну y (підйом)
$y_2 - y_1 = 11 - 3 = 8$
Знаходимо зміну x (крок)
$x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4$
Ділимо підйом на крок
$m = \frac{8}{4} = 2$
Знаходимо точку перетину з віссю y за першою точкою
$b = y_1 - m x_1 = 3 - 2 \cdot 2 = -1$
Записуємо рівняння прямої
$y = 2x - 1$

Використані формули

Кутовий коефіцієнт
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Рівняння з кутовим коефіцієнтом
$y = mx + b$

Кутовий коефіцієнт дорівнює 2: за кожного збільшення на 1 одиницю x, y змінюється на 2. Пряма зростає зліва направо.

Перевірка

Друга точка: 2·(6) + -1 = 11 (очікувалося 11)

Докладне пояснення

Від'ємні й дробові кутові коефіцієнти, вертикальні прямі

Для точок (1, 2) і (5, −4) зміна по вертикалі дорівнює $-6$ , а по горизонталі — 4: калькулятор дає $m = -\frac32$ і пряму $y = -\frac32 x + \frac72$ , зберігаючи обидва значення точними дробами, а не −1,5 і 3,5. Для (3, 1) і (3, 7) зміна по горизонталі дорівнює нулю; ділити на нуль не можна, тому кутового коефіцієнта немає, і калькулятор видає вертикальну пряму $x = 3$ замість рівняння $y = mx + b$ .

Три способи записати пряму

Рівняння з кутовим коефіцієнтом $y = mx + b$ одразу показує нахил і точку перетину з віссю y, і більшість побудовників графіків очікують саме його. Рівняння через точку й кутовий коефіцієнт $y - y_1 = m(x - x_1)$ зручніше, коли відомі точка й нахил, а точку перетину з віссю y ще не знайдено. Загальне рівняння $Ax + By = C$ з цілими коефіцієнтами віддають перевагу в деяких курсах; з $y = 2x - 1$ виходить $2x - y = 1$ . Усі три описують ту саму множину точок.

Кутовий коефіцієнт як швидкість зміни

У прикладних задачах кутовий коефіцієнт має одиницю вимірювання: одиницю y, поділену на одиницю x. Якщо поїздка таксі на 6 км коштує 11 гривень, а на 2 км — 3 гривні, то кутовий коефіцієнт прямої через (2, 3) і (6, 11) дорівнює 2 гривням за кілометр, а точка перетину з віссю y, −1, — це значення прямої за нульової відстані. З цього погляду кутовий коефіцієнт відповідає на питання: на скільки змінюється y, коли x збільшується на одиницю? Ту саму ідею на криві переносить похідна.

Типові помилки

Віднімати в чисельнику й знаменнику в різному порядку, наприклад ділити $y_2 - y_1$ на $x_1 - x_2$ .
Ділити зміну по горизонталі на зміну по вертикалі, а не навпаки.
Стверджувати, що кутовий коефіцієнт вертикальної прямої дорівнює 0; насправді він не визначений.
Сприймати координати однієї точки як зміни по вертикалі й по горизонталі.
Неправильно скорочувати $\frac{8}{4}$ або забувати знак мінус у зміни по горизонталі, коли значення x спадають.

Поради

Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти; у перпендикулярних прямих добуток кутових коефіцієнтів дорівнює −1.
Залишайте кутовий коефіцієнт дробом, щоб не заокруглювати під час обчислення точки перетину з віссю y.
Позначте обидві точки в побудовнику графіків, щоб перевірити, чи правильний знак.
Уявіть точки до обчислень: якщо друга вище й правіше, кутовий коефіцієнт має бути додатним.
Кутовий коефіцієнт перпендикуляра — це обернене число з протилежним знаком: пряма, перпендикулярна до $y = 2x - 1$ , має кутовий коефіцієнт $-\frac12$ .

Поширені запитання

Як знайти кутовий коефіцієнт за двома точками?

Відніміть значення y, відніміть значення x у тому самому порядку й поділіть. Для (2, 3) і (6, 11): $m = \frac{11-3}{6-2} = 2$ .

Що означає від'ємний кутовий коефіцієнт?

Що пряма опускається зі зростанням x. За кутового коефіцієнта $-\frac32$ на 2 одиниці праворуч пряма опускається на 3 одиниці.

Чому вертикальна пряма не має кутового коефіцієнта?

Обидві точки мають однакове значення x, тому зміна по горизонталі дорівнює 0, і формула потребувала б ділення на нуль. Таку пряму записують як $x = c$ .

Як скласти рівняння прямої?

Знайдіть кутовий коефіцієнт, обчисліть точку перетину з віссю y за формулою $b = y_1 - m x_1$ і запишіть $y = mx + b$ .

Чи важливий порядок точок?

Ні. Якщо поміняти точки місцями, знак обох різниць зміниться, тому їхнє відношення залишиться тим самим.

Чи можна вводити десяткові координати?

Так. Десяткові дроби перетворюються на точні звичайні, щоб кутовий коефіцієнт і точка перетину з віссю y були точними.

Який кутовий коефіцієнт у горизонтальної прямої?

Нульовий. Обидві точки мають однакове значення y, тому зміна по вертикалі дорівнює 0 і $\frac{0}{\text{зміна по горизонталі}} = 0$ . Таку пряму записують як $y = c$ .

Як знайти кутовий коефіцієнт перпендикуляра?

Візьміть число, обернене до початкового кутового коефіцієнта, і змініть знак. Якщо $m = -\frac32$ , перпендикулярна пряма має кутовий коефіцієнт $\frac23$ , а добуток двох коефіцієнтів дорівнює $-1$ .

Як зрозуміти, чи паралельні дві прямі?

Порівняйте кутові коефіцієнти. Дві невертикальні прямі паралельні тоді й лише тоді, коли вони мають однакові кутові коефіцієнти й різні точки перетину з віссю y; $y = 2x - 1$ і $y = 2x + 4$ ніколи не перетинаються.

Спробуйте калькулятор кутового коефіцієнта

Введіть дві точки й отримайте точний кутовий коефіцієнт і рівняння прямої крок за кроком.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Калькулятор кутового коефіцієнта